【AI】数学基础之矩阵

线性代数中的矩阵概念和计算公式非常核心且广泛应用，以下从基础概念、计算公式到具体例子，系统梳理：

矩阵（Matrix） 是一个按照长方形排列的数表，通常用大写字母表示，如 ( A )。一个 ( m \times n ) 的矩阵有 ( m ) 行 ( n ) 列：

A = \\begin{bmatrix} a_{11} \& a_{12} \& \\dots \& a_{1n} \\ a_{21} \& a_{22} \& \\dots \& a_{2n} \\ \\vdots \& \\vdots \& \\ddots \& \\vdots \\ a_{m1} \& a_{m2} \& \\dots \& a_{mn} \\end{bmatrix}

其中 ( a_{ij} ) 表示第 ( i ) 行第 ( j ) 列的元素。

类型	定义说明
方阵	行数 = 列数（如 ( 3 \times 3 )）
零矩阵	所有元素为 0
单位矩阵 ( I )	主对角线为 1，其余为 0（如 ( I_3 = \begin{bmatrix}1 & 0 & 0\0 & 1 & 0\0 & 0 & 1\end{bmatrix} )）
对角矩阵	非对角线元素全为 0
对称矩阵	( A = A^T )（转置等于自身）
可逆矩阵	存在矩阵 ( B ) 使得 ( AB = BA = I )

A + B = \[a_{ij} + b_{ij}

]

例子：

\\begin{bmatrix}1 \& 2\\3 \& 4\\end{bmatrix} + \\begin{bmatrix}5 \& 6\\7 \& 8\\end{bmatrix} = \\begin{bmatrix}6 \& 8\\10 \& 12\\end{bmatrix}

kA = \[k \\cdot a_{ij}

]

例子：

3 \\cdot \\begin{bmatrix}1 \& 2\\3 \& 4\\end{bmatrix} = \\begin{bmatrix}3 \& 6\\9 \& 12\\end{bmatrix}

(AB)*{ij} = \\sum* {k=1}\^n a_{ik} b_{kj}

例子：

A = \\begin{bmatrix}1 \& 2\\3 \& 4\\end{bmatrix}, \\quad B = \\begin{bmatrix}5 \& 6\\7 \& 8\\end{bmatrix}

AB = \\begin{bmatrix} 1 \\cdot 5 + 2 \\cdot 7 \& 1 \\cdot 6 + 2 \\cdot 8 \\ 3 \\cdot 5 + 4 \\cdot 7 \& 3 \\cdot 6 + 4 \\cdot 8 \\end{bmatrix} = \\begin{bmatrix}19 \& 22\\43 \& 50\\end{bmatrix}

(A\^T)*{ij} = a* {ji}

例子：

A = \\begin{bmatrix}1 \& 2 \& 3\\4 \& 5 \& 6\\end{bmatrix}, \\quad A\^T = \\begin{bmatrix}1 \& 4\\2 \& 5\\3 \& 6\\end{bmatrix}

若 ( A ) 可逆，则存在 ( A^{-1} ) 使得：

A A\^{-1} = A\^{-1} A = I

2×2 矩阵求逆公式：

A = \\begin{bmatrix}a \& b\\c \& d\\end{bmatrix}, \\quad A\^{-1} = \\frac{1}{ad - bc} \\begin{bmatrix}d \& -b\\-c \& a\\end{bmatrix}

例子：

A = \\begin{bmatrix}1 \& 2\\3 \& 4\\end{bmatrix}, \\quad \\det(A) = 1 \\cdot 4 - 2 \\cdot 3 = -2

A\^{-1} = \\frac{1}{-2} \\begin{bmatrix}4 \& -2\\-3 \& 1\\end{bmatrix} = \\begin{bmatrix}-2 \& 1\\1.5 \& -0.5\\end{bmatrix}

\\det\\begin{bmatrix}a \& b\\c \& d\\end{bmatrix} = ad - bc

\\det\\begin{bmatrix} a \& b \& c \\ d \& e \& f \\ g \& h \& i \\end{bmatrix} = a(ei - fh) - b(di - fg) + c(dh - eg)

问题： 解方程组：

\\begin{cases} x + 2y = 5 \\ 3x + 4y = 6 \\end{cases}

矩阵形式： ( A\vec{x} = \vec{b} )

A = \\begin{bmatrix}1 \& 2\\3 \& 4\\end{bmatrix}, \\quad \\vec{x} = \\begin{bmatrix}x\\y\\end{bmatrix}, \\quad \\vec{b} = \\begin{bmatrix}5\\6\\end{bmatrix}

解法： ( \vec{x} = A^{-1} \vec{b} )

我们已算出：

A\^{-1} = \\begin{bmatrix}-2 \& 1\\1.5 \& -0.5\\end{bmatrix}

\\vec{x} = \\begin{bmatrix}-2 \& 1\\1.5 \& -0.5\\end{bmatrix} \\begin{bmatrix}5\\6\\end{bmatrix} = \\begin{bmatrix}-2 \\cdot 5 + 1 \\cdot 6\\1.5 \\cdot 5 - 0.5 \\cdot 6\\end{bmatrix} = \\begin{bmatrix}-4\\4.5\\end{bmatrix}

解得： ( x = -4, \quad y = 4.5 )

概念/运算	关键公式/性质
矩阵乘法	( (AB){ij} = \sum_k a{ik} b_{kj} )
逆矩阵	( A^{-1} A = I )，仅当 ( \det A \ne 0 )
行列式	判断可逆性，计算体积缩放因子
转置	( (A^T){ij} = a{ji} )
线性方程组	( A\vec{x} = \vec{b} \Rightarrow \vec{x} = A^{-1} \vec{b} )（若可逆）