矩阵重叠问题判断

创作背景

看到一道题目有感而发想写一篇题解，涉及的是一种逆向思维

桌面窗体重叠 - 洛谷https://www.luogu.com.cn/problem/U399827题目来源于《信息学奥赛课课通》

大致就是给一个长方形的左上顶点坐标（x1,y1）和右下顶点坐标（x2,y2）,一个长方形的左上顶点坐标（x3,y3）,右下顶点（x4,y4），然后判断这两个长方形是否重合。

思路呈现

1.一开始想的是从判断一个点是否在一个长方体内->判断一个长方形是否有点在另一个长方形中

代码如图：（显而易见的蠢）

2.逆向思维的利用

判断两个长方形是否不重叠判断两条线段是否不相交->判断两个长方形是否相交

比如说在x轴上，我判断（x1，0）和（x2，0）的线段和（x3,0）和（x4,0）的线段是否相交的话，要考虑四种情况（因为不知道x1和x3的大小、x2和x4的大小）

if（x3<x1<x4||x3<x2<x4||x1<x3<x2||x1<x4<x2）

但是如果考虑不相交的话,最小值大于最大值，最大值小于最小值就不想交了

if（x3>x2||x4<x1）

显然简单了很多。

然后在y轴上考虑不相交

if（y3>y2||y4<y1）

只要在x、y轴上有一个判断不相交，这这两个长方形也不会相交，所以逻辑用或

合起来判断是否相交，true为相交。

if(!(x3>x2||x4<x1||y3>y2||y4<y1))

再利用德·摩根定律

非(P 且 Q) = (非 P) 或 (非 Q)

非(P 或 Q) = (非 P) 且 (非 Q)

可以把条件更改为如下的条件：

if（x3<=x2&&x4>=x1&&y3<=y2&&y4>=y1）

完整代码：

cpp 复制代码

#include<iostream>
#include<cmath>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
int main() {
int x1,x2,x3,x4,y1,y2,y3,y4;
cin>>x1>>x2>>y1>>y2>>x3>>x4>>y3>>y4;
if(x3<=x2&&x4>=x1&&y3<=y2&&y4>=y1){
	int left=max(x1,x3);
	int right=min(x2,x4);
	int top=max(y1,y3);
	int bottom=min(y2,y4);
//	cout<<left<<endl;
//	cout<<right<<endl;
//	cout<<top<<endl;
//	cout<<bottom<<endl;
	int s=(right - left) * (bottom - top);
	cout<<s;
}else{
	cout<<0;
} 
return 0;
}

扩展

如何用编程N个人中解决至少两个人的生日在同一天的问题

1.至少两个人，那要考虑2个人，3个人，......n个人生日在同一天的情况。就比较复杂。

2.使用了逆向思维的话

过来想,N个人生日全不相同的概率：365/365*(364/365)*(363/365)*...* $(366－n)/365$ ............ $即后N－1个人与前面的人都不一样$

＝364!/ $(365－n)!·365\^(N-1)$

（第一个人的生日可以在任何一天，第二个人的生日是除了第一个人生日那天外的任何一天.......）

所以至少有两人是同一天生日的概率为1－364!/ $(365－n)!·365\^(N-1)$ .