第一节、二次型的基本概念及其标准型
一、基本概念
①二次型
含n个变量x1,x2,...,xn,且每项都是2次的齐次多项式
②标准二次型
只含有平方项不含交叉项的二次型称为标准二次型
③二次型的标准化
设f(X)=X^TAX 为一个二次型,经过可逆的线性变换X=PY(即P为可逆矩阵)把二次型f(X)=X^TAX化为
这个过程称为二次型的标准化
注意:
(1)任何一个二次型f(x1,x2,...,xn)都可以表示为矩阵形式,且A^T = A,其中X^TAX 为标准二次型的充分必要条件是A为对角阵;X^TAX是非标准二次型的充分必要条件是A是对称而非对角的矩阵
(2)二次型X^TAX标准化的过程即实对称矩阵A对角化的过程,二次型标准化过程必须遵循两点原则:
①线性变换X=PY中的矩阵P一定为可逆矩阵
②P^TAP为对角矩阵
(4)(惯性定理)二次型的标准形不唯一,但标准形中正、负系数的个数是唯一确定的
④规划二次型
系数为1和-1的标准形,称为二次型的规范形
⑤可逆的坐标变换
⑥矩阵合同
设A,B为n阶实对称矩阵,若存在可逆矩阵P,使得P^TAP=B,称矩阵A与B合同,记为A≌B.
注意:
(1)经过可逆线性变换的二次型的矩阵与原矩阵之间合同
(2)矩阵合同关系具有:
①A≌A(反身性)
②若A≌B,则B≌A(对称性)
③若A≌B,B≌C,则A≌C(传递性)
(3)要正确区分矩阵的三大关系:即等价关系、相似关系、合同关系
①矩阵等价
设A,B为同型矩阵(不一定为方阵),若A经过有限次初等变换化为B,称A与B等价
判别法:
方法一:设A,B为同型矩阵,则A,B等价的充分必要条件是r(A)=r(B)
方法二:设A,B为同型矩阵,则A,B等价的充分必要条件是存在可逆矩阵P,Q,使得PAQ=B
②矩阵相似
设A,B为n阶矩阵,若存在可逆矩阵P,使得P^-1AP=B,称A与B相似,记为A~B
判别法:
设A,B为n阶矩阵,若A,B的特征值相同且A,B都可相似对角化,则A~B
③矩阵合同
设A,B为n阶实对称矩阵,若存在可逆矩阵P,使得P^TAP=B,称A与B合同,记为A≌B
判别法:设A,B为实对称矩阵,则A≌B的充分必要条件是A,B的正、负、零特征值个数相同
二、基本定理
三、二次型标准化方法
①配方法
即通过配方的方法把二次型化为若干部分的平方和与差,然后进行变换的方法
②正交交换法
即可逆线性变换X=QY中,Q是正交矩阵,且经过变换X=QY可把二次型化为标准形的变换
第二节、正定矩阵与正定二次型
一、基本概念
(1)例子
(2)正定二次型概念
对二次型f(x1,x2,...,xn)=X^TAX,若对任意的X≠0,总有 X^TAX>0,称 X^TAX为正定二次型，A称为正定矩阵
一、正定二次型的判别
定理1 二次型X^TAX为正定二次型的充分必要条件是A的特征值全为正数
定理2 二次型X^TAX 为正定二次型的充分必要条件是A的顺序主子式都大于零,即
定理3 设A^T=A, 则A为正定矩阵的充分必要条件是存在可逆矩阵B,使得A=B^TB
定理4 设A^T=A,则A为正定矩阵的充分必要条件是A与E合同.
定理5 设A^T=A,则A正定的充分必要条件是A的正性指数为n
注意:
(1)二次型f(X)=X^TAX 正定的必要条件是:aij>0(i=1,2,...,n);|A|>0
(2)若A是正定矩阵,则A一定是可逆矩阵
(3)若A是正定矩阵,则A^-1 及 A^*是正定矩阵
(4)若A,B都是正定矩阵,则 A+B 是正定矩阵