上一节 ：【高等数学】第八章 向量代数与空间解析几何------第二节 数量积 向量积 混合积
总目录 ：【高等数学】 目录
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- [1. 曲面方程与空间曲线方程的概念](#1. 曲面方程与空间曲线方程的概念)
- [2. 平面的点法式方程](#2. 平面的点法式方程)
- [3. 平面的一般方程](#3. 平面的一般方程)
- [4. 两平面的夹角](#4. 两平面的夹角)
1. 曲面方程与空间曲线方程的概念
- 曲面方程
如果曲面 S S S与三元方程 F ( x , y , z ) = 0 F(x,y,z) = 0 F(x,y,z)=0
有下述关系:
(1) 曲面 S S S上任一点的坐标都满足方程;
(2) 不在曲面 S S S上的点的坐标都不满足方程.
那么方程就叫做曲面 S S S的方程 ，而曲面 S S S就叫做方程的图形. - 空间曲线方程
空间曲线可以看作两个曲面 S 1 S_1 S1、 S 2 S_2 S2的交线.
设 F ( x , y , z ) = 0 ， G ( x , y , z ) = 0 F(x,y,z) = 0，G(x,y,z) = 0 F(x,y,z)=0，G(x,y,z)=0
分别是这两个曲面的方程，它们的交线为 C C C
因为曲线 C C C上的任何点的坐标应同时满足这两个曲面的方程
所以应满足方程组 { F ( x , y , z ) = 0 , G ( x , y , z ) = 0. \begin{cases} F(x,y,z) = 0, \\ G(x,y,z) = 0. \end{cases} {F(x,y,z)=0,G(x,y,z)=0.
反过来，如果点 M M M不在曲线 C C C上
那么它不可能同时在两个曲面上
所以它的坐标不满足方程组.
因此，曲线 C C C可以用方程组来表示，方程组就叫做空间曲线 C C C的方程
而曲线 C C C就叫做方程组的图形.
2. 平面的点法式方程
- 如果一非零向量垂直于一平面，这向量就叫做该平面的法线向量
- 已知平面上的点 M 0 ( x 0 , y 0 , z 0 ) M_0(x_0,y_0,z_0) M0(x0,y0,z0)以及它的一个法向量 n = ( A , B , C ) \boldsymbol{n}=(A,B,C) n=(A,B,C)，可得平面的点法式方程 A ( x − x 0 ) + B ( y − y 0 ) + C ( z − z 0 ) = 0 A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)=0 A(x−x0)+B(y−y0)+C(z−z0)=0 容易验证平面上的点都满足方程，不在平面上的点不满足
3. 平面的一般方程
- 任一三元一次方程的图形总是一个平面，平面的一般方程为 A x + B y + C z + D = 0 Ax+By+Cz+D=0 Ax+By+Cz+D=0其中 x , y , z x,y,z x,y,z的系数是该平面的一个法线向量的坐标 取满足方程的数 x 0 , y 0 , z 0 x_0,y_0,z_0 x0,y0,z0，与一般方程相减可得平面的点法式方程
- 平面的截距式方程 x a + y b + z c = 1 \dfrac{x}{a} + \dfrac{y}{b} + \dfrac{z}{c} = 1 ax+by+cz=1其中 a , b , c a,b,c a,b,c分别是平面在 x , y , z x,y,z x,y,z轴上的截距 将截点坐标代入平面一般方程，解方程组求得
平面过原点不能使用该形式
4. 两平面的夹角
- 两平面的法线向量的夹角（通常指锐角或直角）称为两平面的夹角
cos ⟨ n 1 , n 2 ⟩ = n 1 ⋅ n 2 ∣ n 1 ∣ ∣ n 2 ∣ \cos\langle \boldsymbol{n_1},\boldsymbol{n_2}\rangle=\frac{\boldsymbol{n_1}\cdot\boldsymbol{n_2}}{|\boldsymbol{n_1}||\boldsymbol{n_2}|} cos⟨n1,n2⟩=∣n1∣∣n2∣n1⋅n2 - 平面 Π 1 \varPi_1 Π1、 Π 2 \varPi_2 Π2互相垂直相当于 A 1 A 2 + B 1 B 2 + C 1 C 2 = 0 A_1A_2 + B_1B_2 + C_1C_2 = 0 A1A2+B1B2+C1C2=0
- 平面 Π 1 \varPi_1 Π1、 Π 2 \varPi_2 Π2互相平行或重合相当于 A 1 A 2 = B 1 B 2 = C 1 C 2 \dfrac{A_1}{A_2} = \dfrac{B_1}{B_2} = \dfrac{C_1}{C_2} A2A1=B2B1=C2C1
- 点 P 0 ( x 0 , y 0 , z 0 ) P_0(x_0,y_0,z_0) P0(x0,y0,z0)到平面 A x + B y + C z + D = 0 Ax + By + Cz + D = 0 Ax+By+Cz+D=0的距离公式
d = ∣ A x 0 + B y 0 + C z 0 + D ∣ A 2 + B 2 + C 2 . d = \dfrac{\vert Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D \vert}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}. d=A2+B2+C2 ∣Ax0+By0+Cz0+D∣.