第十四届蓝桥杯国赛 C++ B 组 C 题——班级活动（AC）

目录

• [1. 班级活动](#1. 班级活动)
• • [1. 问题描述](#1. 问题描述)
  • [2. 输入格式](#2. 输入格式)
  • [3. 输出格式](#3. 输出格式)
  • [4. 样例输入](#4. 样例输入)
  • [5. 样例输出](#5. 样例输出)
  • [6. 样例说明](#6. 样例说明)
  • [7. 评测用例规模与约定](#7. 评测用例规模与约定)
  • [8. 原题链接](#8. 原题链接)
• [2. 解题思路](#2. 解题思路)
• [3. AC_Code](#3. AC_Code)

1. 班级活动

前置知识点：思维，分类讨论

1. 问题描述

小明的老师准备组织一次班级活动。班上一共有 n n n 名 ( n n n 为偶数) 同学，老师想把所有的同学进行分组，每两名同学一组。为了公平，老师给每名同学随机分配了一个 n n n 以内的正整数作为 id \text{id} id，第 i i i 名同学的 id \text{id} id 为 a i a_i ai。

老师希望通过更改若干名同学的 id \text{id} id 使得对于任意一名同学 i i i，有且仅有另一名同学 j j j 的 id \text{id} id 与其相同 ( a i = a j a_i = a_j ai=aj)。请问老师最少需要更改多少名同学的 id \text{id} id？

2. 输入格式

输入共 2 2 2 行。

第一行为一个正整数 n n n。

第二行为 n n n 个由空格隔开的整数 a 1 , a 2 , . . . , a n a_1, a_2, ..., a_n a1,a2,...,an。

3. 输出格式

输出共 1 1 1 行，一个整数。

4. 样例输入

4
1 2 2 3

5. 样例输出

1

6. 样例说明

仅需要把 a 1 a_1 a1 改为 3 3 3 或者把 a 3 a_3 a3 改为 1 1 1 即可。

7. 评测用例规模与约定

对于 20 % 20\% 20% 的数据，保证 n ≤ 1 0 3 n ≤ 10^3 n≤103。

对于 100 % 100\% 100% 的数据，保证 n ≤ 1 0 5 n ≤ 10^5 n≤105。

8. 原题链接

班级活动

2. 解题思路

首先明确一点，假设某个 id \text{id} id 的同学数量为 x ( x > 2 ) x(x>2) x(x>2)，因为题目要求任意 id \text{id} id 只能有两名同学，所以一定会有 x − 2 x-2 x−2 名同学修改自己的 id \text{id} id。我们可以计算出每个 id \text{id} id 需要修改自身的同学数量之和，并将这个数量设为 b b b，即满足：
b = ∑ i = 1 n max ⁡ ( 0 , a i − 2 ) b=\sum_{i=1}^{n}\max(0,a_i-2) b=i=1∑nmax(0,ai−2)

还有一个特殊群体我们不能忽略，就是编号 id \text{id} id 唯一的同学，我们设这群同学的数量为 a a a。他们特殊在有可能需要修改自身 id \text{id} id，也有可能不需要，我们需要进行分类讨论。

• 当 b ≥ a b \ge a b≥a 时：

在这种情况下， id \text{id} id 唯一的 a a a 名同学是不需要修改自身 id \text{id} id 的。我们可以从 b b b 名同学中选出 a a a 名同学修改自身 id \text{id} id 去与 id \text{id} id 唯一的同学对应，剩下的 b − a b-a b−a 名同学仍然是需要修改自身 id \text{id} id 的，所以答案即是 b b b。

假设有一个 id \text{id} id 集合 A = { 1 , 2 , 3 , 4 , 4 , 4 , 4 , 5 , 5 , 5 , 5 , 5 } A= \lbrace1,2,3,4,4,4,4,5,5,5,5,5\rbrace A={1,2,3,4,4,4,4,5,5,5,5,5}，此时 id \text{id} id 唯一的集合为 { 1 , 2 , 3 } \lbrace1,2,3\rbrace {1,2,3}，必须修改的 id \text{id} id 集合为 { 4 , 4 , 5 , 5 , 5 } \lbrace4,4,5,5,5\rbrace {4,4,5,5,5}。我们只需要让后一个集合的 id \text{id} id 分别修改为 { 1 , 2 , 3 , 6 , 6 } \lbrace 1,2,3,6,6\rbrace {1,2,3,6,6} 即可符合要求。

• 当 b < a b<a b<a 时：

在这种情况下，部分 id \text{id} id 唯一的 a a a 名同学是需要修改自身 id \text{id} id 的。同样假设有一个 id \text{id} id 集合 A = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 5 , 5 , 5 , 5 , 5 , 6 , 7 } A=\lbrace1,2,3,4,5,5,5,5,5,5,6,7\rbrace A={1,2,3,4,5,5,5,5,5,5,6,7}，此时 id \text{id} id 唯一的集合为 { 1 , 2 , 3 , 4 , 6 , 7 } \lbrace1,2,3,4,6,7\rbrace {1,2,3,4,6,7}，必须修改的 id \text{id} id 集合为 { 5 , 5 , 5 , 5 } \lbrace5,5,5,5\rbrace {5,5,5,5}。按照同样策略，我们让必须修改的 id \text{id} id 集合与 id \text{id} id 唯一的集合对应上，即将必须修改的 id \text{id} id 集合变为 { 1 , 2 , 3 , 4 } \lbrace1,2,3,4\rbrace {1,2,3,4}。

但此时仍然发现 id \text{id} id 唯一的集合剩余的两个 id \text{id} id 为 { 6 , 7 } \lbrace6,7\rbrace {6,7}，我们需要让他们它们一致，所以需要修改其中一个。

假设剩余 4 4 4 个呢？那我们需要修改 2 2 2 个。

假设剩余 8 8 8 个呢？那我们需要修改 4 4 4 个。

显然结论就是需要修改剩余 id \text{id} id 个数的一半，即这种情况下答案是：
a − b 2 + b \dfrac{a-b}{2}+b 2a−b+b
小疑问：如果 a-b 为奇数怎么办？

结论： a − b a-b a−b 一定为偶数。我们可以假设数组已经存在 c c c 对匹配好的 id \text{id} id，根据我们对 a , b a,b a,b 的定义，显然符合式子 a + b + 2 × c = n a+b+2\times c=n a+b+2×c=n。题目告知我们 n n n 一定为偶数，且 2 × c 2 \times c 2×c 也一定为偶数，那么 a + b a+b a+b 也一定为偶数，即说明 a , b a,b a,b 奇偶性一定相同，得证 a − b a-b a−b 一定为偶数。

时间复杂度： O ( n ) O(n) O(n)。

3. AC_Code

• C++

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long LL;

int n;
int main()
{
    cin >> n;
    map<int, int> cnt;
    for (int i = 0; i < n; ++i)
    {
        int x;
        cin >> x;
        cnt[x]++;
    }
    int a = 0, b = 0;
    for (auto [x, y] : cnt)
    {
        if (y == 1)
        {
            a++;
        }
        else if (y > 2)
        {
            b += y - 2;
        }
    }
    if (b >= a)
    {
        cout << b << '\n';
    }
    else
    {
        cout << (a - b) / 2 + b << '\n';
    }
    return 0;
}

• Java

import java.util.*;

public class Main {
    public static void main(String[] args) {
        Scanner sc = new Scanner(System.in);
        int n = sc.nextInt();
        Map<Integer, Integer> cnt = new HashMap<>();
        for (int i = 0; i < n; ++i) {
            int x = sc.nextInt();
            cnt.put(x, cnt.getOrDefault(x, 0) + 1);
        }
        int a = 0, b = 0;
        for (Map.Entry<Integer, Integer> entry : cnt.entrySet()) {
            int y = entry.getValue();
            if (y == 1) {
                a++;
            } else if (y > 2) {
                b += y - 2;
            }
        }
        if (b >= a) {
            System.out.println(b);
        } else {
            System.out.println((a - b) / 2 + b);
        }
    }
}

• Python

n = int(input())
line = list(map(int, input().split()))
cnt = {}
for i in range(n):
    x = line[i]
    if x in cnt:
        cnt[x] += 1
    else:
        cnt[x] = 1
a = 0
b = 0
for y in cnt.values():
    if y == 1:
        a += 1
    elif y > 2:
        b += y - 2
if b >= a:
    print(b)
else:
    print((a - b) // 2 + b)