逆序对的数量
1.题目
给定一个长度为 n n n 的整数数列，请你计算数列中的逆序对的数量。逆序对的定义如下：对于数列的第 i i i个和第 j j j 个元素，如果满足
i < j i<j i<j 且 a [ i ] > a [ j ] a[i]>a[j] a[i]>a[j] ，则其为一个逆序对；否则不是。
输入格式
第一行包含整数 n n n，表示数列的长度。
第二行包含 n n n 个整数，表示整个数列。
输出格式
输出一个整数，表示逆序对的个数。
数据范围
1 ≤ n ≤ 100000 1≤n≤100000 1≤n≤100000，数列中的元素的取值范围 [ 1 , 1 0 9 ] [1,10^9] [1,109]。
输入样例：
6
2 3 4 5 6 1
输出样例：
5
2.基本思想
法1：
双重for暴力 ------> 时间超时O(n^2)
法2：归并排序
基于归并排序的解法一种高效的计算逆序对的方法是使用修改后的归并排序算法。基本思想是将数组分割为较小的子数组，递归地对它们进行排序，然后在合并过程中计算逆序对。
-
归并排序步骤：将数组递归地分割为两半，直到每个子数组只有一个元素。然后，将子数组按照排序顺序合并回来，同时在合并过程中计算逆序对。
-
合并过程中计算逆序对：在合并两个已排序的子数组时，如果发现逆序对（即 arr[i] > arr[j]），则将逆序对的数量递增为第一个子数组中剩余的元素数量（即
(mid - i + 1)，其中 mid 是合并的子数组的中间索引）。 -
这是因为在合并过程中，如果左边的子数组元素 arr[i] 大于右边的子数组元素 arr[j]，则 arr[i] 大于右边子数组中的所有元素，形成逆序对。
示例
假设一个数组 arr = [4, 3, 2, 1]。
使用基于归并排序的方法，我们可以如下计算逆序对的数量：
初始数组：[4, 3, 2, 1]
归并排序步骤1：[4, 3, 2, 1] -> [4, 3], [2, 1]
归并排序步骤2：[4, 3], [2, 1] -> [4], [3], [2], [1]
归并排序步骤3：合并 [4], [3]，得到[3, 4]
合并过程中计算逆序对： [4] 与 [3] 合并，总逆序对数量 = 1（因为 4 > 3 且 且 4 后面没有其他元素）
归并排序步骤4：合并 [2], [1], 得到[1, 2]
合并过程中计算逆序对：[2]与 [1] 合并，总逆序对数量 = 1（因为 2 > 1 且 且 2 后面没有其他元素）
归并排序步骤5：[3, 4], [1, 2] -> [1, 2, 3, 4]
合并过程中计算逆序对：[3, 4] 与 [1, 2] 合并，总逆序对数量 = 4（最开始 3 和 1 比较，因为3 > 1, 所以逆序对为 mid - l + 1 = 1 - 0 + 1 = 2 个。 接下来3 与 2 比较：因为3 > 2, 所以逆序对为 mid - l + 1 = 1 - 0 + 1 = 2 个。）
最终逆序对数量：1 + 1 + 2 + 2 = 6
- 时间复杂度：该方法的时间复杂度为 O(n log n)。
3.代码实现
csharp
import java.util.Scanner;
public class Main {
public static void main(String[] args) {
Scanner sc = new Scanner(System.in);
int n = sc.nextInt();
int[] arr = new int[n];
for (int i = 0; i < n; i++) arr[i] = sc.nextInt();
System.out.println((merge_sort(arr, 0, n - 1)));
}
private static long merge_sort(int[] arr, int l, int r) {
if (l >= r) return 0;
int mid = (l + r) >> 1;
long res = 0;
//子序列归并
res += merge_sort(arr, l, mid) + merge_sort(arr, mid + 1, r);
int i = l, j = mid + 1, k = 0;
int[] temp = new int[r - l + 1];
while (i <= mid && j <= r) {
if (arr[i] <= arr[j]) temp[k++] = arr[i++];
else {
temp[k++] = arr[j++];
res += mid - i + 1;
}
}
while (i <= mid) temp[k++] = arr[i++];
while (j <= r) temp[k++] = arr[j++];
for (i = l, j = 0; i <= r; i++, j++) arr[i] = temp[j];
return res;
}
}