参考文献：
- [MS18] Micciancio D, Sorrell J. Ring packing and amortized FHEW bootstrapping[J]. Cryptology ePrint Archive, 2018.
- [BGGJ20] Boura C, Gama N, Georgieva M, et al. Chimera: Combining ring-lwe-based fully homomorphic encryption schemes[J]. Journal of Mathematical Cryptology, 2020, 14(1): 316-338.
- [CDKS21] Chen H, Dai W, Kim M, et al. Efficient homomorphic conversion between (ring) LWE ciphertexts[C]//International Conference on Applied Cryptography and Network Security. Cham: Springer International Publishing, 2021: 460-479.
- [LHH+21] Lu W, Huang Z, Hong C, et al. PEGASUS: bridging polynomial and non-polynomial evaluations in homomorphic encryption[C]//2021 IEEE Symposium on Security and Privacy (SP). IEEE, 2021: 1057-1073.
文章目录
- [Conversion Between RLWE](#Conversion Between RLWE)
-
- [Tower of Cyclotomic](#Tower of Cyclotomic)
- LWE-to-LWE
- LWE-to-RLWE
- LWEs-to-RLWE
- [Lightweight Communication](#Lightweight Communication)
[MS18] 为了实现均摊 FHEW 自举，提出了 Ring packing 技术：将多个 LWE 密文（行矢）堆叠为 ( A , b ) (A,b) (A,b)，然后按列转化为多项式 a j ( x ) , b ( x ) a_j(x), b(x) aj(x),b(x)，使用 Key-Switch 执行同态线性解密 A ⋅ E ( s ) + b A\cdot E(s)+b A⋅E(s)+b（私钥被加密在多项式的常数项 ），最终获得打包了 μ ( x ) = ∑ j μ j x j \mu(x)=\sum_j \mu_jx^j μ(x)=∑jμjxj 的单个 RLWE 密文。虽然它是 Coeff Packing 的，但是 [MS18] 中的同态 InvDFT 的目标是加速同态的多项式乘法（线性解密部分），而非 SIMD 打包并行。但是其中的 SwK 是对于 LWE 私钥的各个分量分别用 RLWE 加密的 R L W E s ′ ( s i ⋅ g j ) RLWE_{s'}(s_i \cdot g_j) RLWEs′(si⋅gj)，规模大、速度慢。计算过程中不需要用到同态旋转 （主要的开销是秘钥切换），仅仅是对于 E ( s ) E(s) E(s) 的同态线性运算。
[BGGJ20] 提出的 Chimera 也使用类似的堆叠技术，将 TLWE 打包转换到 RLWE 密文上。不过它将堆叠出的矩阵 C = ( A , b ) C=(A,b) C=(A,b) 直接乘以 InvDFT ，于是 ( I n v D F T ⋅ C ) ⋅ s = I n v D F T ( μ ( x ) ) (InvDFT \cdot C) \cdot s=InvDFT(\mu(x)) (InvDFT⋅C)⋅s=InvDFT(μ(x))，这就将各个 μ j \mu_j μj 编码到了明文槽。它的 SwK 也是各个私钥分量分别被加密在系数上 R G S W s ′ ( s i ) RGSW_{s'}(s_i) RGSWs′(si)，规模很大（GB 级别）
[CDKS21] 提出了新的 LWE 的 Key-Switch 技术（后文简记 KS ），将 LWE 密文嵌入到 RLWE 密文上，对应的 SwK 将LWE 私钥作为单个多项式做 RLWE 加密 R L W E s ′ ( s ( x ) ⋅ g j ) RLWE_{s'}(s(x) \cdot g_j) RLWEs′(s(x)⋅gj)，从而极大的提高了 KS 的速度（两个数量级）。需要使用分圆域的自同构的某些特殊性质，消除一些杂项。推广这个 KS 过程，可以获得 LWE 打包到 RLWE 的过程，不过它也是 Coeff Packing 的（还应该使用 Coeff-to-Slot 过程 将它们编码到明文槽）。令 N N N 是 RLWE 的维度，打包 n = N n=N n=N 个 LWE 密文，复杂度为 O ( N ) O(N) O(N) 次同态自同构 ， O ( N ) O(N) O(N) 次同态数乘。
之后的 Pegasus 也使用密文堆叠技术，对于私钥 s s s 的密文做线性变换，来实现 LWE-to-RLWE 过程。同态线性变换过程中，采取对角线乘法（旋转+阿达玛），LWE 私钥作为一个整体被加密在明文槽上 R L W E s ′ ( E c d ( s , Δ ) ) RLWE_{s'}(Ecd(s,\Delta)) RLWEs′(Ecd(s,Δ))，规模大大减小（MB 级别），同态解密的结果直接在明文槽上 。令 N N N 是 RLWE 的维度，打包 n = N n=N n=N 个 LWE 密文，复杂度为 O ( N ) O(\sqrt{N}) O(N ) 次同态旋转 （由若干个自同构组成，完全分裂的二的幂分圆环只需要一个）， O ( N ) O(N) O(N) 次同态数乘。
Conversion Between RLWE
Tower of Cyclotomic
令 m = 2 L + 1 m=2^{L+1} m=2L+1 是二的幂， N = ϕ ( m ) = 2 L N=\phi(m)=2^L N=ϕ(m)=2L 也是二的幂，分圆域 K = Q ( ζ m ) ≅ Q [ X ] / ( X N + 1 ) K=\mathbb Q(\zeta_m) \cong \mathbb Q[X]/(X^N+1) K=Q(ζm)≅Q[X]/(XN+1)，分圆整数环 R = Z [ ζ m ] ≅ Z [ X ] / ( X N + 1 ) R=\mathbb Z[\zeta_m] \cong \mathbb Z[X]/(X^N+1) R=Z[ζm]≅Z[X]/(XN+1)，为了区分不同维度我们记为 K N , R N K_N,R_N KN,RN
根据代数理论，域扩张 K / Q K/\mathbb Q K/Q 都是 Galois 扩张，Galois 群 G a l ( K / Q ) ≅ Z m ∗ = { 1 , 3 , ⋯ , 2 N − 1 } Gal(K/\mathbb Q) \cong \mathbb Z_m^*=\{1,3,\cdots,2N-1\} Gal(K/Q)≅Zm∗={1,3,⋯,2N−1}，自同构：
τ d : ζ m → ζ m d , ∀ d ∈ Z m ∗ \tau_d: \zeta_m \to \zeta_m^d, \forall d\in\mathbb Z_m^* τd:ζm→ζmd,∀d∈Zm∗
域的迹：
T r K / Q : a ∈ K ↦ ∑ τ ∈ G a l ( K / Q ) τ ( a ) ∈ Q Tr_{K/\mathbb Q}: a \in K \mapsto \sum_{\tau \in Gal(K/\mathbb Q)} \tau(a) \in \mathbb Q TrK/Q:a∈K↦τ∈Gal(K/Q)∑τ(a)∈Q
根据代数知识， T r K / Q Tr_{K/\mathbb Q} TrK/Q 是 Q \mathbb Q Q-线性映射，并且满足
- T r K / Q ( 1 ) = [ K : Q ] = N Tr_{K/\mathbb Q}(1)=[K:\mathbb Q]=N TrK/Q(1)=[K:Q]=N
- T r K / Q ( X i ) = 0 , ∀ i ≠ 0 Tr_{K/\mathbb Q}(X^i)=0, \forall i \neq 0 TrK/Q(Xi)=0,∀i=0
对于分圆塔：
K = K N ≥ K N / 2 ≥ ⋯ ≥ K 1 = Q K=K_N \ge K_{N/2} \ge \cdots \ge K_1=\mathbb Q K=KN≥KN/2≥⋯≥K1=Q
其中 K n , n = 2 l K_n,n=2^l Kn,n=2l 可以作为 K N K_N KN 的子域（ R n ≤ R N R_n \le R_N Rn≤RN 类似），设置 Y = X N / n Y=X^{N/n} Y=XN/n，
K n = { ∑ i ∈ [ n ] a i Y i : a i ∈ Q } ⊆ K N K_n = \left\{\sum_{i \in [n]} a_i Y^i: a_i \in \mathbb Q\right\} \subseteq K_N Kn=⎩ ⎨ ⎧i∈[n]∑aiYi:ai∈Q⎭ ⎬ ⎫⊆KN
基于分圆塔，可以将迹分解 ：
T r K / Q = T r K 2 / K 1 ∘ ⋯ ∘ T K N / K N / 2 Tr_{K/\mathbb Q} = Tr_{K_2/K_1} \circ \cdots \circ T_{K_N/K_{N/2}} TrK/Q=TrK2/K1∘⋯∘TKN/KN/2
易知，相邻的域扩张的次数为 2 2 2，仅包含一个非凡自同构 （另一个是恒等映射）：
G a l ( K 2 l / K 2 l − 1 ) = { τ 1 ∣ K 2 l , τ 2 l + 1 ∣ K 2 l } , 1 ≤ l ≤ L Gal(K_{2^l}/K_{2^{l-1}}) = \{\tau_1|{K{2^l}},\,\, \tau_{2^l+1}|{K{2^l}}\},\,\, 1 \le l \le L Gal(K2l/K2l−1)={τ1∣K2l,τ2l+1∣K2l},1≤l≤L
其中的 τ 2 l + 1 ∣ K 2 l \tau_{2^l+1}|{K{2^l}} τ2l+1∣K2l 是自同构映射 τ 2 l + 1 ∈ G a l ( K / Q ) \tau_{2^l+1} \in Gal(K/\mathbb Q) τ2l+1∈Gal(K/Q) 限制在 K 2 l ⊆ K N K_{2^l} \subseteq K_N K2l⊆KN 上，容易验证它是 K 2 l K_{2^l} K2l 的 K 2 l − 1 K_{2^{l-1}} K2l−1-自同构。进一步的，简记 n = 2 l n=2^l n=2l， Y = X N / n Y=X^{N/n} Y=XN/n 是 K n / Q K_n/\mathbb Q Kn/Q 的扩张元，那么有：
T r K n / K n / 2 ( Y i ) = { 2 Y i , ∀ 2 ∣ i 0 , ∀ 2 ∤ i Tr_{K_{n}/K_{n/2}}(Y^i) = \left\{\begin{aligned} 2Y^i, &&\forall 2\mid i\\ 0, &&\forall 2\nmid i\\ \end{aligned}\right. TrKn/Kn/2(Yi)={2Yi,0,∀2∣i∀2∤i
因此，映射 μ ∈ K n ↦ T r K n / K n / 2 ( μ ) ∈ K n / 2 \mu \in K_n \mapsto Tr_{K_{n}/K_{n/2}}(\mu) \in K_{n/2} μ∈Kn↦TrKn/Kn/2(μ)∈Kn/2，记号 a ∥ b a\|b a∥b 表示 "恰好整除"，
- 将系数 μ [ i ] , ( 2 N / n ) ∥ i \mu[i], (2N/n)\|i μ[i],(2N/n)∥i，加倍
- 将系数 μ [ i ] , ( N / n ) ∥ i \mu[i], (N/n)\|i μ[i],(N/n)∥i，清零
- 元素 μ ∈ K n ⊆ K N \mu \in K_n \subseteq K_N μ∈Kn⊆KN 的其他系数本来就是零，保持
我们定义 [ N ] = { 0 , 1 , ⋯ , N − 1 } [N]=\{0,1,\cdots,N-1\} [N]={0,1,⋯,N−1} 的一组划分 （子域的系数索引），
I k : = { i ∈ [ N ] : 2 k ∥ i } , 0 ≤ k < L I_k := \{ i \in [N]: 2^k\|i \},\,\, 0 \le k< L Ik:={i∈[N]:2k∥i},0≤k<L
特别地设置 I L = { 0 } I_L=\{0\} IL={0}，容易验证 [ N ] = ⋃ k I k [N] = \bigcup_k I_k [N]=⋃kIk
对于 d = 2 l + 1 , 1 ≤ l ≤ L d=2^l+1, 1\le l \le L d=2l+1,1≤l≤L，简记 i = 2 k j ∈ I k i=2^kj \in I_k i=2kj∈Ik，其中 j j j 是奇数，
i ⋅ d = 2 k + l j + 2 k j = { 2 k ( 2 l j + j ) ∈ I k ∀ 0 ≤ k ≤ L 2 k j = i ( m o d 2 N ) , ∀ k > L − l 2 L + 2 k j = N + i ( m o d 2 N ) , k = L − l i \cdot d = 2^{k+l}j + 2^kj = \left\{\begin{array}{ll} 2^k(2^lj+j) \in I_k &\forall 0 \le k \le L\\ 2^kj = i \pmod{2N}, &\forall k>L-l\\ 2^L+2^kj = N+i \pmod{2N}, &k=L-l\\ \end{array}\right. i⋅d=2k+lj+2kj=⎩ ⎨ ⎧2k(2lj+j)∈Ik2kj=i(mod2N),2L+2kj=N+i(mod2N),∀0≤k≤L∀k>L−lk=L−l
因此， τ d : ζ i → ζ i ⋅ d \tau_d: \zeta^i \to \zeta^{i\cdot d} τd:ζi→ζi⋅d 是对各个索引 I k I_k Ik 做了符号置换 （signed permutation）， ∀ i ∈ I k , ∃ r ∈ I k , τ d ( X i ) = ± X r \forall i \in I_k,\exist r \in I_k,\tau_d(X^i) = \pm X^r ∀i∈Ik,∃r∈Ik,τd(Xi)=±Xr。特别地对于 k ≥ L − l k \ge L-l k≥L−l 的那些 I k I_k Ik，
τ d ( X i ) = { X i , ∀ i ∈ ⋃ k > L − l I k − X i , ∀ i ∈ I L − l . . . o t h e r w i s e \tau_d(X^i) = \left\{\begin{aligned} X^i, &&\forall i \in \bigcup_{k>L-l}I_k\\ -X^i, &&\forall i \in I_{L-l}\\ ... &&otherwise \end{aligned}\right. τd(Xi)=⎩ ⎨ ⎧Xi,−Xi,...∀i∈k>L−l⋃Ik∀i∈IL−lotherwise
因此，映射 μ ∈ K N ↦ μ + τ d ( μ ) ∈ K N \mu \in K_N \mapsto \mu+\tau_d(\mu) \in K_N μ∈KN↦μ+τd(μ)∈KN，
- 将系数 μ [ i ] , 2 L − l + 1 ∣ i \mu[i],2^{L-l+1}|i μ[i],2L−l+1∣i，加倍
- 将系数 μ [ i ] , i ∈ I L − l \mu[i], i \in I_{L-l} μ[i],i∈IL−l，清零
- 其他系数的变化较为复杂
LWE-to-LWE
LWE 密文 ( b , a ) ∈ Z q 1 + N (b,a) \in \mathbb Z_q^{1+N} (b,a)∈Zq1+N，私钥 s ∈ Z N s \in \mathbb Z^N s∈ZN，线性解密获得相位（不考虑纠错），
μ 0 = b + ⟨ a , s ⟩ ( m o d q ) \mu_0 = b+\langle a,s \rangle \pmod q μ0=b+⟨a,s⟩(modq)
执行 KS 时，抽象思路是 K = { L W E s ′ ( s i ) } K=\{LWE_{s'}(s_i)\} K={LWEs′(si)}，然后同态解密获得 L W E s ′ ( μ 0 ) LWE_{s'}(\mu_0) LWEs′(μ0)，但是这么做的复杂度太高了。[CDKS21] 提出了一种新的 KS 过程：
- 将 a a a 转化为多项式 a ( x ) = ι ( a ) ∈ R N , q a(x) = \iota(a) \in R_{N,q} a(x)=ι(a)∈RN,q，其中的映射 ι : Z N → R N \iota: \mathbb Z^N \to R_N ι:ZN→RN 是将向量作为多项式系数
- 将 s s s 转化为多项式 s ( x ) = τ − 1 ∘ ι ( s ) ∈ R N s(x) = \tau_{-1} \circ \iota(s) \in R_N s(x)=τ−1∘ι(s)∈RN，其中的 τ − 1 \tau_{-1} τ−1 是因为多项式乘积是向量反卷积
那么，获得的 ( b , a ( x ) ) ∈ R N , q 2 (b,a(x)) \in R_{N,q}^2 (b,a(x))∈RN,q2 可以视为 s ( x ) s(x) s(x) 加密的 RLWE 密文，容易验证 μ ( x ) = b + a ( x ) s ( x ) ∈ R N , q \mu(x) = b+a(x)s(x) \in R_{N,q} μ(x)=b+a(x)s(x)∈RN,q，它的常数项 μ [ 0 ] \mu[0] μ[0] 恰好就是 μ 0 \mu_0 μ0 了。
因此我们可以使用 K = { R L W E s ′ ( s ( x ) ⋅ g i ) } K=\{RLWE_{s'}(s(x) \cdot g_i)\} K={RLWEs′(s(x)⋅gi)} 作为 SwK，执行 RLWE 的秘钥切换，最后提取出常数项对应的 LWE 密文。其中的 g = ( g 1 , ⋯ , g d ) g=(g_1,\cdots,g_d) g=(g1,⋯,gd) 是 Gadget Vector，可使用 [BGV12] 的 Base decomposition 或者 [BEHZ16] 的 Prime decomposition（用于兼容 RNS 系统）。
具体算法为：
LWE Key-Switch 的噪声为 e k s = ⟨ g − 1 ( c 1 ) , e ⟩ e_{ks} = \langle g^{-1}(c_1), e \rangle eks=⟨g−1(c1),e⟩，其中 e ← χ σ e \gets \chi_\sigma e←χσ 是 SwK 的噪声。为了兼容 RNS 系统，我们使用素数分解 g − 1 : a ↦ { [ a ] q i ∈ R N , q i } g^{-1}: a \mapsto \{[a]{q_i} \in R{N,q_i}\} g−1:a↦{[a]qi∈RN,qi}，那么可以计算出 e k s e_{ks} eks 各个系数的方差
V k s ≤ 1 12 N σ 2 ⋅ ∑ i q i 2 V_{ks} \le \frac{1}{12}N\sigma^2 \cdot \sum_i q_i^2 Vks≤121Nσ2⋅i∑qi2
易知 LWE-to-LWE 的噪声就是 Key-Switch 的噪声。
LWE-to-RLWE
上述的 LWE-to-LWE 过程中，产生的 c t ′ ct' ct′ 并非是有效 RLWE 密文（相位只有常数项是有意义的，其他位置都是无效数据）。[CDKS21] 使用迹 T r K / Q Tr_{K/\mathbb Q} TrK/Q 来消除 X i , i ≠ 0 X^i,i \neq 0 Xi,i=0 的系数，只保留常数项（缩放因子 N N N）。
直接计算 T r K / Q Tr_{K/\mathbb Q} TrK/Q 需要分别计算各个 τ d , d ∈ Z m ∗ \tau_d, d\in \mathbb Z_m^* τd,d∈Zm∗，共计需要 N N N 个自同构映射（每一次都需要做 KS 过程）。因此，借助分圆塔将 T r K / Q Tr_{K/\mathbb Q} TrK/Q 分解 ，成为 L = log N L=\log N L=logN 个相邻分圆域的迹 T r K 2 l / K 2 l − 1 Tr_{K_{2^l}/K_{2^{l-1}}} TrK2l/K2l−1 的组合，这样就只需要计算 log N \log N logN 个非凡自同构。
具体算法为：
为了消除 N N N 缩放因子，可以预先对输入的 LWE 密文缩放 [ N − 1 ] q [N^{-1}]_q [N−1]q 因子，从而上述算法的输出自然地消除了它们。
因为自同构 τ d \tau_d τd 是保长的，因此不会导致噪声过度膨胀。同态迹的噪声是
V a r ≤ 1 3 ( ( N n ) 2 − 1 ) ⋅ V k s Var \le \frac{1}{3}((\frac{N}{n})^2-1) \cdot V_{ks} Var≤31((nN)2−1)⋅Vks
选取 n = 1 n=1 n=1，LWE-to-RLWE 的噪声就是 V a r ≤ 1 3 ( N 2 − 1 ) ⋅ V k s Var \le \frac{1}{3}(N^2-1) \cdot V_{ks} Var≤31(N2−1)⋅Vks
LWEs-to-RLWE
假如我们希望将相位是 μ j , j ∈ [ n ] \mu_j, j \in [n] μj,j∈[n] 的多个 LWE 密文打包到单个 RLWE 密文中：直接使用上述的转换得到 c t j ct_j ctj，然后计算 c t ′ = ∑ j ∈ [ n ] c t j ⋅ Y j , Y = X N / n ct' = \sum_{j \in [n]} ct_j \cdot Y^j, Y=X^{N/n} ct′=∑j∈[n]ctj⋅Yj,Y=XN/n，那么它的相位就是：
μ ′ = N ⋅ ∑ j ∈ [ n ] μ j Y j ∈ R n ⊆ R N \mu' = N \cdot \sum_{j \in [n]} \mu_j Y^j \in R_n \subseteq R_N μ′=N⋅j∈[n]∑μjYj∈Rn⊆RN
然而上述算法的计算效率和噪声增长都不算好。[CDKS21] 提出了 FFT-style 递归算法：假设 n = 2 l n=2^l n=2l，为了计算 μ ′ \mu' μ′，可以将 μ j \mu_j μj 分为大小 2 l − 1 2^{l-1} 2l−1 的两组，分别计算出
μ e v e n ′ = N / 2 ⋅ ∑ j ∈ [ n / 2 ] μ 2 j Y 2 j ∈ R n / 2 μ o d d ′ = N / 2 ⋅ ∑ j ∈ [ n / 2 ] μ 2 j + 1 Y 2 j ∈ R n / 2 \begin{aligned} \mu_{even}' &= N/2 \cdot \sum_{j \in [n/2]} \mu_{2j} Y^{2j} \in R_{n/2}\\ \mu_{odd}' &= N/2 \cdot \sum_{j \in [n/2]} \mu_{2j+1} Y^{2j} \in R_{n/2}\\ \end{aligned} μeven′μodd′=N/2⋅j∈[n/2]∑μ2jY2j∈Rn/2=N/2⋅j∈[n/2]∑μ2j+1Y2j∈Rn/2
但是实际上我们只需要计算出 μ e v e n , μ o d d ∈ R N \mu_{even},\mu_{odd} \in R_N μeven,μodd∈RN，使得它们的 Y 2 j Y^{2j} Y2j 系数组成了 μ e v e n ′ , μ o d d ′ ∈ R n / 2 \mu_{even}',\mu_{odd}' \in R_{n/2} μeven′,μodd′∈Rn/2，然后将 μ o d d \mu_{odd} μodd 旋转 Y Y Y 加到 μ e v e n \mu_{even} μeven 上，并使用自同构 τ d , d = 2 l + 1 \tau_{d}, d=2^l+1 τd,d=2l+1 来消除 μ o d d \mu_{odd} μodd 那些恰好被旋转到 μ e v e n ′ \mu_{even}' μeven′ 位置上的杂项 ：
μ = ( μ e v e n + Y ⋅ μ o d d ) + τ d ( μ e v e n − Y ⋅ μ o d d ) \mu = (\mu_{even} + Y \cdot \mu_{odd}) + \tau_d(\mu_{even} - Y \cdot \mu_{odd}) μ=(μeven+Y⋅μodd)+τd(μeven−Y⋅μodd)
由于 − Y ⋅ μ o d d -Y \cdot \mu_{odd} −Y⋅μodd 的有效系数 − μ 2 j + 1 -\mu_{2j+1} −μ2j+1 是在 Y 2 j + 1 Y^{2j+1} Y2j+1 上，因此 τ d \tau_d τd 将它们取反为 μ 2 j + 1 \mu_{2j+1} μ2j+1 ，而那些被旋转到 Y 2 j Y^{2j} Y2j 的杂项 − e -e −e 则保持不变，正好和 Y ⋅ μ o d d Y \cdot \mu_{odd} Y⋅μodd 添加到 μ e v e n \mu_{even} μeven 上的杂项 e e e 相互消除。最终，相位 μ ∈ R N \mu \in R_N μ∈RN 的那些 Y j Y^j Yj 的系数恰好是 N ⋅ μ j N \cdot \mu_j N⋅μj，只要再消除其他的杂项就可以得到 μ ′ ∈ R n \mu' \in R_n μ′∈Rn，这里可以使用 T r K N / K n Tr_{K_N/K_n} TrKN/Kn 来消除它们。
具体算法为：
这个算法 Step 2 需要 n − 1 n-1 n−1 次自同构，step 3 需要 log ( N / n ) \log(N/n) log(N/n) 次自同构，均摊成本为 n + log ( N / n ) − 1 n \frac{n+\log(N/n)-1}{n} nn+log(N/n)−1，只要打包的 LWEs 够多 n = Ω ( log N ) n=\Omega(\log N) n=Ω(logN)，均摊成本仅为 O ( 1 ) O(1) O(1)（但是打包 n ≥ 2 10 n \ge 2^{10} n≥210 个 LWEs 的延迟应该挺高了？）
注意到 μ j \mu_j μj 是打包在系数上的，一般 FHE 可能需要使得消息是打包在明文槽里的，这可以使用 [GHS12] [HS15] [HHC19] 的 Coeff-to-Slot 技术进行转换。[CDKS21] 说这些转换的速度特别快（真的么？秒的量级吧，不算快），因此主要开销还是在 LWEs-to-RLWE 上面。
可以证明 LWEs-to-RLWE 的噪声也是 V a r ≤ 1 3 ( N 2 − 1 ) ⋅ V k s Var \le \frac{1}{3}(N^2-1) \cdot V_{ks} Var≤31(N2−1)⋅Vks
Lightweight Communication
三种转换的效率和噪声：
优势：
- 原始的 KS 过程，对于前两个参数，执行时间为 203 203 203、 1628 1628 1628 毫秒，因此嵌入到 RLWE 后的效率提升了 2 2 2 个数量级（例如 1.03 1.03 1.03 毫秒）
- 噪声仅为 O ( log N ) O(\log N) O(logN)-bit，因此可以使用 LWE 密文，留出足够的噪声空间， b ∈ Z q b \in \mathbb Z_q b∈Zq 的大部分空间都可用于存储消息（例如 389 − 23 389-23 389−23 比特）
对于云计算场景，我们使用对称版本的 LWE 加密方案 ，那么多个密文的 a j ∈ Z q N a_j \in \mathbb Z_q^N aj∈ZqN 完全可以被替代为随机种子， a j = P R F ( s e e d , j ) a_j=PRF(seed,j) aj=PRF(seed,j)，这导致了 Rate 高达 1 − o ( 1 ) 1-o(1) 1−o(1) 的对称加密。在同态运算之前，需要同态解密，因为 LWE-based 是 FHE 友好的 （只需要部分的同态解密，不必纠错），直接使用上述的 LWEs-to-RLWE 就可以转化为合适的 FHE 密文（这三种转换都是保护相位的，通用于任意的 FHE 方案）