二叉树的详解

二叉树

【本节目标】

掌握树的基本概念
掌握二叉树概念及特性
掌握二叉树的基本操作
完成二叉树相关的面试题练习
树型结构（了解）
1. 概念

树是一种非线性 的数据结构，它是由n（n>=0）个有限结点组成一个具有层次关系的集合。把它叫做树是因为它看 起来像一棵倒挂的树，也就是说它是根朝上，而叶朝下的 。它具有以下的特点：

有一个特殊的结点，称为根结点，根结点没有前驱结点

除根结点外，其余结点被分成M(M > 0)个互不相交的集合T1、T2、......、Tm，其中每一个集合 Ti (1 <= i

<= m) 又是一棵与树类似的子树。每棵子树的根结点有且只有一个前驱，可以有0个或多个后继树是递归定义的。

注意：树形结构中，子树之间不能有交集，否则就不是树形结构

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1. 概念（重要）

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结点的度 ：一个结点含有子树的个数称为该结点的度；如上图：A的度为6 树的度 ：一棵树中，所有结点度的最大值称为树的度；如上图：树的度为6

叶子结点或终端结点 ：度为0的结点称为叶结点；如上图：B、C、H、I...等节点为叶结点

双亲结点或父结点 ：若一个结点含有子结点，则这个结点称为其子结点的父结点；如上图：A是B的父结点

孩子结点或子结点 ：一个结点含有的子树的根结点称为该结点的子结点；如上图：B是A的孩子结点根结点 ：一棵树中，没有双亲结点的结点；如上图：A

结点的层次 ：从根开始定义起，根为第1层，根的子结点为第2层，以此类推树的高度或深度 ：树中结点的最大层次；如上图：树的高度为4

树的以下概念只需了解，在看书时只要知道是什么意思即可：

非终端结点或分支结点 ：度不为0的结点；如上图：D、E、F、G...等节点为分支结点兄弟结点 ：具有相同父结点的结点互称为兄弟结点；如上图：B、C是兄弟结点

堂兄弟结点 ：双亲在同一层的结点互为堂兄弟；如上图：H、I互为兄弟结点

结点的祖先 ：从根到该结点所经分支上的所有结点；如上图：A是所有结点的祖先

子孙：以某结点为根的子树中任一结点都称为该结点的子孙。如上图：所有结点都是A的子孙森林：由m（m>=0）棵互不相交的树组成的集合称为森林

1. 树的表示形式（了解）

树结构相对线性表就比较复杂了，要存储表示起来就比较麻烦了，实际中树有很多种表示方式，如：双亲表示法 ， 孩子表示法 、孩子双亲表示法 、孩子兄弟表示法 等等。我们这里就简单的了解其中最常用的孩子兄弟表示法 。

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1. 树的应用

文件系统管理（目录和文件）

二叉树（重点）
1. 概念

一棵二叉树是结点的一个有限集合，该集合：

1. 1. 或者为空
  2. 或者是由一个根节 点加上两棵别称为左子树 和右子树 的二叉树组成。

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从上图可以看出：

二叉树不存在度大于2的结点
二叉树的子树有左右之分，次序不能颠倒，因此二叉树是有序树

注意：对于任意的二叉树都是由以下几种情况复合而成的：

大自然的奇观：

1. 两种特殊的二叉树
  1. 满二叉树 : 一棵二叉树，如果每层的结点数都达到最大值，则这棵二叉树就是满二叉树 。也就是说，如果一棵 二叉树的层数为 K ，且结点总数 是
    
    ，则它就是满二叉树 。
  2. 完全二叉树 : 完全二叉树是效率很高的数据结构，完全二叉树是由满二叉树而引出来的。对于深度为K的，有n 个结点的二叉树，当且仅当其每一个结点都与深度为K的满二叉树中编号从0至n-1的结点一一对应时称之为完全二叉树。要注意的是满二叉树是一种特殊的完全二叉树。

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1. 二叉树的性质
  1. 若规定根结点的层数为 1 ，则一棵非空二叉树的第 i 层上最多有
    
    (i>0) 个结点
    2.
    
    若规定只有根结点的二叉树的深度为 1 ，则深度为 K 的二叉树的最大结点数是
    
    (k>=0)
  2. 对任何一棵二叉树, 如果其叶结点个数为 n0, 度为 2 的非叶结点个数为 n2, 则有 n0 ＝ n2 ＋ 1
  3. 具有n 个结点的完全二叉树的深度 k 为
    
    上取整
  4. 对于具有n 个结点的完全二叉树 ，如果按照从上至下从左至右的顺序对所有节点从 0 开始编号 ，则对于序号为 i 的结点有 ：

若i>0，双亲序号： (i-1)/2 ；i=0 ， i 为根结点编号 ，无双亲结点若 2i+1<n ，左孩子序号： 2i+1 ，否则无左孩子

若 2i+2<n ，右孩子序号： 2i+2 ，否则无右孩子

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1. 二叉树的存储

二叉树的存储结构 分为：顺序存储 和类似于链表的链式存储 。顺序存储在下节介绍。

二叉树的链式存储是通过一个一个的节点引用起来的，常见的表示方式有二叉和三叉表示方式 ，具体如下：

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孩子双亲表示法后序在平衡树位置介绍，本文采用孩子表示法来构建二叉树。

1. 二叉树的基本操作
  1. 前置说明

在学习二叉树的基本操作前，需先要创建一棵二叉树，然后才能学习其相关的基本操作。由于现在大家对二叉树结构掌握还不够深入，为了降低大家学习成本，此处手动快速创建一棵简单的二叉树，快速进入二叉树操作学习，等二叉树结构了解的差不多时，我们反过头再来研究二叉树真正的创建方式。

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注意：上述代码并不是创建二叉树的方式，真正创建二叉树方式后序详解重点讲解。再看二叉树基本操作前，再回顾下二叉树的概念，二叉树是：

1. 1. 1. 空树
    2. 非空：根节点，根节点的左子树、根节点的右子树组成的。

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从概念中可以看出，二叉树定义是递归式的，因此后序基本操作中基本都是按照该概念实现的。

1. 1. 二叉树的遍历
    1. 前中后序遍历

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学习二叉树结构，最简单的方式就是遍历。所谓遍历 (Traversal) 是指沿着某条搜索路线，依次对树中每个结点均做一次且仅做一次访问 。 访问结点所做的操作依赖于具体的应用问题 ( 比如：打印节点内容、节点内容加 1) 。遍历是二叉树上最重要的操作之一，是二叉树上进行其它运算之基础。

在遍历二叉树时，如果没有进行某种约定，每个人都按照自己的方式遍历，得出的结果就比较混乱，如果按照某种规则进行约定，则每个人对于同一棵树的遍历结果肯定是相同的 。如果N代表根节点，L代表根节点的左子树，R代表根节点的右子树，则根据遍历根节点的先后次序有以下遍历方式：

NLR：前序遍历(Preorder Traversal 亦称先序遍历)------访问根结点--->根的左子树--->根的右子树。LNR：中序遍历(Inorder Traversal)------根的左子树--->根节点--->根的右子树。LRN：后序遍历(Postorder Traversal)------根的左子树--->根的右子树--->根节点。

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下面主要分析前序递归遍历，中序与后序图解类似，同学们可自己动手绘制。

前序遍历结果： 1 2 3 4 5 6

中序遍历结果： 3 2 1 5 4 6

后序遍历结果： 3 1 5 6 4 1

1. 1. 1. 层序遍历

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层序遍历 ：除了先序遍历、中序遍历、后序遍历外，还可以对二叉树进行层序遍历。设二叉树的根节点所在层数为 1 ，层序遍历就是从所在二叉树的根节点出发，首先访问第一层的树根节点，然后从左到右访问第 2 层上的节点，接着是第三层的节点，以此类推，自上而下，自左至右逐层访问树的结点的过程就是层序遍历。

【练习】请同学们根据以上二叉树的三种遍历方式，给出以下二叉树的：

选择题

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1. 1. 二叉树的基本操作