由于Matlab不让用，只能"你不让爷用，爷就用别的"，选择开源的Octave以及scilab进行相关领域的学习。Octave的代码和Matlab几乎是100%相同的，只有一些专用的包的函数，可能有些还没来得及写，或者有些差异。但这种差异，新手一般体会不到，老手应该能自己解决了吧。
目录
数字PID控制
PID控制器是一种线性控制器，根据给定值 r i r_i ri与实际值构成控制偏差 e r r ( t ) = r i ( t ) − y o ( t ) err(t)=r_i(t)-y_o(t) err(t)=ri(t)−yo(t)。其控制规律为
u ( t ) = k p ( e r r ( t ) + 1 T 1 ∫ 0 t e r r ( t ) d t + T D d e r r ( t ) d t ) u(t)=k_p(err(t)+\frac{1}{T_1}\int^{t}_{0}err(t)\text dt+\frac{T_D\text derr(t)}{\text dt}) u(t)=kp(err(t)+T11∫0terr(t)dt+dtTDderr(t))
写成传递函数的形式为
G ( s ) = U ( s ) E ( s ) = k p ( 1 + 1 T 1 s + T D s ) G(s)=\frac{U(s)}{E(s)}=k_p(1+\frac{1}{T_1s}+T_Ds) G(s)=E(s)U(s)=kp(1+T1s1+TDs)
其中， k p k_p kp为比例系数； T 1 T_1 T1为积分时间常数； T D T_D TD为微分时间常数。 U ( s ) U(s) U(s)为输出量的拉氏量， E ( s ) E(s) E(s)为输入量的拉氏量。
PID控制器各校正环节如下：
- 比例环节：成比例地反应控制系统的偏差信号 e r r ( t ) err(t) err(t)，偏差一旦产生，控制器立即产生控制作用，从而减少偏差。
- 积分环节：用于消除静差，提高系统的无差度。积分作用的强弱与积分时间常数 T 1 T_1 T1成负相关。
- 微分环节：反应偏差信号的变化趋势（变化速率），并能在偏差信号变得太大之前，在系统中引入一个有效的早期修正信号，从而加快系统的动作速度，减少调节时间。
位置式PID控制算法
以一系列的采样时刻点 k T kT kT代表连续时间 t t t，以举行法数值积分代替积分，以一阶后向差分近似代替微分，即
{ t ≈ k T , k = 0 , 1 , 2... ∫ 0 1 e r r ( t ) d t ≈ T ∑ j = 0 k e r r ( j T ) = T ∑ j = 0 k e r r j d e r r ( t ) d t ≈ e r r ( k T ) − e r r ( ( k − 1 ) T ) T = e r r k − e r r k − 1 T \left\{\begin{aligned} &t\approx kT, k=0,1,2...\\ &\int^1_0err(t)\text dt\approx T\sum^k_{j=0}err(jT)=T\sum^k_{j=0}err_j\\ &\frac{\text derr(t)}{\text dt}\approx\frac{err(kT)-err((k-1)T)}{T}=\frac{err_k-err_{k-1}}{T} \end{aligned}\right. ⎩ ⎨ ⎧t≈kT,k=0,1,2...∫01err(t)dt≈Tj=0∑kerr(jT)=Tj=0∑kerrjdtderr(t)≈Terr(kT)−err((k−1)T)=Terrk−errk−1
可得离散PID表达式
u ( k ) = k p ( e r r k + T T 1 ∑ j = 0 k e r r j + T D T ( e r r k − e r r k − 1 ) ) = k p e r r k + k I ∑ j = = 0 k e r r j T + k d e r r k − e r r k − 1 T \begin{aligned} u(k)=&k_p(err_k+\frac{T}{T_1}\sum^k_{j=0}err_j+\frac{T_D}{T}(err_k-err_{k-1}))\\ =&k_perr_k+k_I\sum^k_{j==0}err_jT+k_d\frac{err_k-err_{k-1}}{T} \end{aligned} u(k)==kp(errk+T1Tj=0∑kerrj+TTD(errk−errk−1))kperrk+kIj==0∑kerrjT+kdTerrk−errk−1
其中， k I = k p T 1 , k d = k p T D k_I=\frac{k_p}{T_1},k_d=k_pT_D kI=T1kp,kd=kpTD， T T T为采样周期， k k k为采样序号， k = 1 , 2 , . . . k=1,2,... k=1,2,...。其控制系统为
偏微分方程求解
设被控对象为电机模型传递函数
G ( s ) = 1 J s 2 + B s , J = 0.0067 , B = 0.10 G(s)=\frac{1}{Js^2+Bs},J=0.0067,B=0.10 G(s)=Js2+Bs1,J=0.0067,B=0.10
则我们可以通过Octave通过ODE45的方法来求解方程，输入信号为 r i n ( k ) = 0.50 sin ( 2 π t ) r_{in}(k)=0.50\sin(2\pi t) rin(k)=0.50sin(2πt)，采用PID控制方法设计控制器，其中 k p = 20.0 , k d = 0.50 k_p=20.0,k_d=0.50 kp=20.0,kd=0.50。
其中，ODE45的调用方法为
m
[t,x]=ode45(func,tspan,x0,op,para)其返回值t是一个列向量，x是一个矩阵；参数func为待处理函数或其路径，tspan=[t0 tf]为微分方程组的积分区间，
代码为
python
ts = 0.001; %Sampling time
xk = zeros(2,1);
e1 = 0; u1 = 0; %初始化误差
time = ts:ts:2000*ts
rin = 0.5*sin(1*2*pi*time);
for k = 1:1:2000
para = u1;
tSpan = [0 ts];
[tt, xx] = ode45("test1_func", tSpan, xk, [], para);
xk = xx(length(xx),:);
yout(k) = xk(1);
e(k) = rin(k) - yout(k); %误差
de(k) = (e(k)-e1)/ts; %误差的一阶导数
u(k) = 20.0*e(k)+0.5*de(k);
u(k) = min(u(k),10.0); %限制u(k)所在区间为[-10,10]
u(k) = max(u(k),-10.0);
u1 = u(k);
e1 = e(k);
end
subplot(1,2,1)
plot(time, rin, 'r', time ,yout, 'b');
xlabel('time(s)'), ylabel('rin,yout');
subplot(1,2,2)
plot(time, rin-yout, 'r');
xlabel('time(s)'), ylabel('error');函数文件为
python
% test1_func.m
function dy=PlantModel(t,y,flag,para)
u = para;J = 0.0067;B = 0.1;
dy = zeros(2,1);
dy(1) = y(2);
dy(2) = -(B/J)*y(2)+(1/J)*u;得到其结果为
此外，可以通过XCOS进行仿真，被控对象为三阶传递函数，采用XCOS与脚本结合的方式。主程序由XCOS实现，控制由scilab实现。
离散系统的数字PID控制仿真
控制对象为
G ( S ) = 523500 s 3 + 87.35 s 2 + 10470 s G(S)=\frac{523500}{s^3+87.35s^2+10470s} G(S)=s3+87.35s2+10470s523500
采样时间为1ms，采用z变换进行离散化，经过z变换后的离散化对象为
y o u t = − d e n ( 2 ) y o u t ( k − 1 ) − d e n ( 3 ) y o u t ( k − 2 ) − d e n ( 4 ) y o u t ( k − 3 ) + n u m ( 2 ) u ( k − 1 ) + n u m ( 3 ) u ( k − 2 ) + n u m ( 1 ) u ( k − 3 ) \begin{aligned} y_{out}=&-den(2)y_{out}(k-1)-den(3)y_{out}(k-2)-den(4)y_{out}(k-3)\\ &+num(2)u(k-1)+num(3)u(k-2)+num(1)u(k-3) \end{aligned} yout=−den(2)yout(k−1)−den(3)yout(k−2)−den(4)yout(k−3)+num(2)u(k−1)+num(3)u(k−2)+num(1)u(k−3)
其Octave控制代码为
python
ts = 0.001; %采样时间
N = 1000; %采样个数
pkg load control %载入control包，内含tf函数
pkg load tisean %内含c2d函数
sys = tf(2.235e5,[1,87.35,1.047e4,0]);
dsys = c2d(sys,ts,'z'); %z变换
[num,den] = tfdata(dsys, 'v');
titles = ["step signal";"square signal";"sin signal"]
for s = 1:3
%参数初始化
u = zeros(1,3);y = zeros(1,3);x = zeros(1,3);
err = 0;
time = ts:ts:ts*N;
rin = ones(1,N);
PDI = [2 0.001 0.001]; %表示P，D，I的分量
if s==2
rin = sign(sin(2*2*pi*time)); %方波信号
elseif s==3
rin = 0.5*sin(2*2*pi*time); %正弦信号
endif
for k = 1:1:N
yout(k) = -sum(den(2:4).*y)+sum(num.*u);
error(k) = rin(k)-yout(k);
u(2:3) = u(1:2);
u(1) = sum(PDI.*x); %PID 控制
u(1) = sort([u(1),10,-10])(2) %区间限制
y = [yout(k) y(1:2)];
x(1) = error(k);
x(2) = (error(k)-err)/ts;
x(3) = x(3) + error(k)*ts;
err = error(k);
end
subplot(230+s)
plot(time, rin, 'b', time, yout, 'r')
xlabel('time(s)'), ylabel('rin, rout')
title(titles(s,:))
subplot(233+s)
plot(time,error)
xlabel('time(s)'),ylabel('error')
end
这种PID控制算法的缺点是，每次输出均与过去的状态有关，故需要对误差量进行累加，如果位置传感器出现故障， u ( k ) u(k) u(k)可能会出现大幅度变化，从而引起执行机构位置的大幅度变化，从而产生事故。为避免这种情况发生，可采用增量式PID控制算法。