算法竞赛例题讲解:平方差 第十四届蓝桥杯大赛软件赛省赛 C/C++ 大学 A 组 C平方差

题目描述

给定 L L L和 R R R,问 L ≤ x ≤ R L\leq x \leq R L≤x≤R中有多少个数 x x x满足存在整数 y y y, z z z使得 x = y 2 − z 2 x = y^{2} - z^{2} x=y2−z2。

输入格式

输入一行包含两个整数 L L L, R R R,用一个空格分隔。

输出格式

输出一行包含一个整数满足题目给定条件的 x x x 的数量。

输入输出样例

输入 #1

1 5

输出 #1

4

说明/提示

【样例说明】
  • 1 = 1 2 − 0 2 1 = 1^{2} −0 ^{2} 1=12−02
  • 3 = 2 2 − 1 2 3 = 2^{2}−1^{2} 3=22−12
  • 4 = 2 2 − 0 2 4 = 2^{2}−0^{2} 4=22−02
  • 5 = 3 2 − 2 2 5 = 3^{2}−2^{2} 5=32−22

题解

本篇题解适合没有思路的人群,对于数学较好的人来说就会显得比较繁琐和臃肿。

乍一看挺简单,但是如果数学不是太好的人就没有思路,所以我们来看一下思路:

首先拿到这个题,先将 x = y 2 − z 2 x = y^{2} - z^{2} x=y2−z2化简:

x = ( y + z ) ( y − z ) x = (y + z)(y - z) x=(y+z)(y−z)

我们让 a = y + z a = y + z a=y+z 然后 b = y − z b = y - z b=y−z ,得到如下式子:

{ a = y + z b = y − z \begin{cases} a = y + z \\ b = y - z \end{cases} {a=y+zb=y−z

用 a a a和 b b b替换掉原来的式子:

x = a ∗ b x = a * b x=a∗b

此时这个式子中的x是确定值, a a a和 b b b是随机量。如果仅仅是这样是不行的, a a a和 b b b是有限制条件的,当我们找到 a a a和 b b b的限制条件,我们距离解题就不远了。

那么 a a a和 b b b的限制条件是什么呢?

继续观察这个式子:

{ a = y + z b = y − z \begin{cases} a = y + z \\ b = y - z \end{cases} {a=y+zb=y−z

相加得到

a + b = 2 y a + b = 2y a+b=2y

y y y是一个随机量,但是 y y y是一个整数,又因为是 2 y 2y 2y,因此发现 a + b a + b a+b 的值一定是个偶数

什么样的数相加为偶数呢?

  • 奇 + 奇 = 偶
  • 偶 + 偶 = 偶

只有以上两种情况。

因此会发现, a a a 和 b b b 的奇偶性相同

因此,对于 x = a ∗ b x = a * b x=a∗b ,我们需要将拆分成奇偶性相同的两个随机量。

由于:

  • 奇 * 奇 = 奇
  • 偶 * 偶 = 偶

奇 * 偶 的情况不讨论,因为不存在

所以发现,x的奇偶性不同时,拆分情况是唯一对应的,因此分情况讨论:

  • x为奇数时:令a = 1,b为本身。例如:x = 9时,a = 1, b = 9。a,b都为奇数,因此x = 9满足条件。
  • x为偶数时:令a = 2,b为x / 2.例如:x = 10时,a = 2, b = 5,但是发现b是奇数,因此x = 10不满足条件。x = 12 是,a = 2, b = 6,都是偶数,因此x = 12满足条件。

我们多举出几个例子之后发现所有的奇数都满足条件。因为我们令b = 本身,而x总是奇数,因此所有的奇数x都满足条件

对于偶数来说,我们想要让x满足条件时,需要让x / 2满足偶数的条件,也就是满足x / 2是2的倍数的条件,所以发现,a = 2, b 是 2的倍数,所以x是4的倍数。所以只要满足x为4的倍数,就满足条件。

总的来说,我们需要在 L L L到 R R R中找出所有奇数的个数和4的倍数的数的个数

程序代码如下:

cpp 复制代码
// Problem: P9231 [蓝桥杯 2023 省 A] 平方差
// Contest: Luogu
// URL: https://www.luogu.com.cn/problem/P9231
// Memory Limit: 256 MB
// Time Limit: 1000 ms
// 
// Powered by CP Editor (https://cpeditor.org)

/*************************************************************************
	> Author:Royi 
	> Mail:royi990001@gmail.com 
 ************************************************************************/

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
// 返回的是从0到x的奇数的个数
int f(int x) {
	if (!x) return 0;
	else return (x + 1) / 2;
}

//返回的是从0到x的4的倍数的个数
int g(int x) {
	return x % 4;
}

int main() {
	ios::sync_with_stdio(0), cin.tie(0), cout.tie(0);
	int l, r;
	cin >> l >> r;
	cout << f(r) - f(l - 1) + g(r) - g(l - 1) << '\n';
	return 0;
}
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