题目描述
给定 L L L和 R R R，问 L ≤ x ≤ R L\leq x \leq R L≤x≤R中有多少个数 x x x满足存在整数 y y y, z z z使得 x = y 2 − z 2 x = y^{2} - z^{2} x=y2−z2。
输入格式
输入一行包含两个整数 L L L, R R R，用一个空格分隔。
输出格式
输出一行包含一个整数满足题目给定条件的 x x x 的数量。
输入输出样例
输入 #1
1 5输出 #1
4说明/提示
【样例说明】
- 1 = 1 2 − 0 2 1 = 1^{2} −0 ^{2} 1=12−02
- 3 = 2 2 − 1 2 3 = 2^{2}−1^{2} 3=22−12
- 4 = 2 2 − 0 2 4 = 2^{2}−0^{2} 4=22−02
- 5 = 3 2 − 2 2 5 = 3^{2}−2^{2} 5=32−22
题解
本篇题解适合没有思路的人群，对于数学较好的人来说就会显得比较繁琐和臃肿。
乍一看挺简单，但是如果数学不是太好的人就没有思路，所以我们来看一下思路：
首先拿到这个题，先将 x = y 2 − z 2 x = y^{2} - z^{2} x=y2−z2化简：
x = ( y + z ) ( y − z ) x = (y + z)(y - z) x=(y+z)(y−z)
我们让 a = y + z a = y + z a=y+z 然后 b = y − z b = y - z b=y−z ,得到如下式子：
{ a = y + z b = y − z \begin{cases} a = y + z \\ b = y - z \end{cases} {a=y+zb=y−z
用 a a a和 b b b替换掉原来的式子：
x = a ∗ b x = a * b x=a∗b
此时这个式子中的x是确定值， a a a和 b b b是随机量。如果仅仅是这样是不行的， a a a和 b b b是有限制条件的，当我们找到 a a a和 b b b的限制条件，我们距离解题就不远了。
那么 a a a和 b b b的限制条件是什么呢？
继续观察这个式子：
{ a = y + z b = y − z \begin{cases} a = y + z \\ b = y - z \end{cases} {a=y+zb=y−z
相加得到
a + b = 2 y a + b = 2y a+b=2y
y y y是一个随机量，但是 y y y是一个整数，又因为是 2 y 2y 2y，因此发现 a + b a + b a+b 的值一定是个偶数。
什么样的数相加为偶数呢？
- 奇 + 奇 = 偶
- 偶 + 偶 = 偶
只有以上两种情况。
因此会发现， a a a 和 b b b 的奇偶性相同。
因此，对于 x = a ∗ b x = a * b x=a∗b ，我们需要将拆分成奇偶性相同的两个随机量。
由于：
- 奇 * 奇 = 奇
- 偶 * 偶 = 偶
奇 * 偶 的情况不讨论，因为不存在
所以发现，x的奇偶性不同时，拆分情况是唯一对应的，因此分情况讨论：
- x为奇数时：令a = 1，b为本身。例如：x = 9时，a = 1， b = 9。a，b都为奇数，因此x = 9满足条件。
- x为偶数时：令a = 2，b为x / 2.例如：x = 10时，a = 2， b = 5，但是发现b是奇数，因此x = 10不满足条件。x = 12 是，a = 2， b = 6，都是偶数，因此x = 12满足条件。
我们多举出几个例子之后发现所有的奇数都满足条件。因为我们令b = 本身，而x总是奇数，因此所有的奇数x都满足条件。
对于偶数来说，我们想要让x满足条件时，需要让x / 2满足偶数的条件，也就是满足x / 2是2的倍数的条件，所以发现，a = 2， b 是 2的倍数，所以x是4的倍数。所以只要满足x为4的倍数，就满足条件。
总的来说，我们需要在 L L L到 R R R中找出所有奇数的个数和4的倍数的数的个数
程序代码如下：
cpp
// Problem: P9231 [蓝桥杯 2023 省 A] 平方差
// Contest: Luogu
// URL: https://www.luogu.com.cn/problem/P9231
// Memory Limit: 256 MB
// Time Limit: 1000 ms
//
// Powered by CP Editor (https://cpeditor.org)
/*************************************************************************
> Author:Royi
> Mail:royi990001@gmail.com
************************************************************************/
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
// 返回的是从0到x的奇数的个数
int f(int x) {
if (!x) return 0;
else return (x + 1) / 2;
}
//返回的是从0到x的4的倍数的个数
int g(int x) {
return x % 4;
}
int main() {
ios::sync_with_stdio(0), cin.tie(0), cout.tie(0);
int l, r;
cin >> l >> r;
cout << f(r) - f(l - 1) + g(r) - g(l - 1) << '\n';
return 0;
}