备战蓝桥杯---数学基础1

质数的性质:

1.n>3,n与n+1必然有一个不是质数。

2.质数有无穷多个:

如果有限个,那么他们的乘积+1必然也是质数,矛盾。

3.存在任意长的一段连续的数都是合数。

我们令长度为n,构造a=(n+1)!,则(a+2)%2=0,(a+3)%3=0......(a+n+1)%(n+1)=0.

4.n以内的素数个数随n增大趋于logn

5.从不大于n的自然数随机选一个,他是素数的概率约1/lnn;

6.素数随着n增大愈加稀疏

7.a>1,(a,2a]中必然存在一个素数。

8。n与n+2都为素数情况很多

9.任意>2的正偶数都可以写成两个素数的和(哥德巴赫猜想)

素数的判定:

1.埃氏筛:

从2开始,是质数的话就划掉他的倍数,显然,我们每一次枚举的数只要不被划掉就是素数。

!一个小优化:

每个合数都可表示:a*b,a是素数,如果a>b,那么他就没必要用a再一次筛,因此,在用a筛时,我们从a^2开始。

我们可以进一步优化,使其不会重新筛。

2.欧拉筛:

比如30=2*3*5,我们如何保证它只被5筛一次呢?

于是我们引进.欧拉筛,先看代码:

cpp 复制代码
for(int i=2;i<=n;i++){
    if(v[i]==0){
        v[i]=i;
        prime[++cnt]=i;}
    for(int j=1;j<=cnt;j++){
        if(prime[j]>v[i]||i*prime[j]>n) break;
        b[i*prime[j]]=prime[j];}}
        

下面分析一下它的思路:

对于一个合数a1*a2*a3(a1<a2<a3并都是素数),为了保证不重复计算,我们规定用一个数去筛时,乘它的数要小于等于他的最小质因子,我们先得到a1,在a2筛的时候筛了a1*a2,并标记它的最小质因子为a1,在求a3时我们用它筛了a1*a3,a2*a3,而在a2*a3时,a1<a2,因此它就把a1*a2*a3给筛了。

概括一下,就是我们先得出最大的质因子,然后再*第二大的,依次类推,递减的*质因子。

而一个合数的质因子肯定有非递减的顺序,这也就保证了不重复性。(如果说埃氏筛的筛法类似于求排列,那么欧拉筛则是求组合)

还有一点,如何保证v[i]=i的就是素数。

我们可以想对于一个合数a1*a2*a3,在a2*a3那就筛了,显然a1>1,因此v[i]=i的就是素数

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