【算法】一维、二维前缀和算法的模板

前缀和（Prefix Sum）的概念：

定义： 前缀和是指数组中从开头到当前位置的元素的累加和。
用途： 前缀和主要用于快速计算数组中某一区间的元素和，通过提前计算好前缀和数组，可以在O(1)时间内得到区间和。

一维前缀和模板：

cpp 复制代码

#include <iostream>
#include <vector>

using namespace std;

typedef long long ll;

int main()
{
    // 1. 读取数据
    int n, q;
    cin >> n >> q;
    ll tmp;

    vector<ll> dp;
    dp.push_back(0);

    for (int i = 1; i <= n; i++)
    {
        cin >> tmp;
        dp.push_back(tmp + dp[i - 1]);
    }

    for (int i = 0; i < q; i++)
    {
        int left, right;
        cin >> left >> right;

        cout << dp[right] - dp[left - 1] << endl;
    }

    return 0;
}

二维前缀和模板：

cpp 复制代码

#include <iostream>
#include <vector>

typedef long long ll;
using namespace std;

int main()
{
    // 1. 输入数据
    int n, m, q; // 行  列
    cin >> n >> m >> q;
    vector<vector<int>> arr(n + 1, vector<int>(m + 1, 0));
    for (int i = 1; i <= n; i++)
    {
        for (int j = 1; j <= m; j++)
        {
            cin >> arr[i][j];
        }
    }

    // 2. 预处理出前缀和数组dp
    vector<vector<ll>> dp(n + 1, vector<ll>(m + 1, 0));
    for (int i = 1; i <= n; i++)//行
    {
        for (int j = 1; j <= m; j++)//列
        {
            dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i][j - 1] + arr[i][j] - dp[i - 1][j - 1];
        }
    }

    // 3. 使用前缀和矩阵
    int x1, y1, x2, y2;
    for (int i = 0; i < q; i++)
    {
        cin >> x1 >> y1 >> x2 >> y2;
        cout << dp[x2][y2] - dp[x1 - 1][y2] - dp[x2][y1 - 1] + dp[x1 - 1][y1 - 1];
        cout << endl;
    }
}

为什么前缀和算法可以将一个O(n)的算法优化成O(1)？

前缀和算法之所以能够将某些问题的时间复杂度从 O(n) 优化到 O(1)，主要是因为它提供了一种有效的方式来避免重复计算。

考虑一个典型的应用场景，即计算数组中任意区间的元素和。在没有前缀和的情况下，对于每个区间 $l, r$ ，我们可能需要遍历数组并累加所有元素，这样的操作需要 O(n) 的时间。如果我们多次计算相同的区间和，就会导致重复计算，使得总体时间复杂度达到 O(n^2)。

而通过使用前缀和，我们可以提前计算出数组的前缀和数组 prefixSum（计算前缀和数组的时间复杂度一般为O(n)）。这样，在计算区间 $l, r$ 的元素和时，我们只需要通过简单的减法操作得到 prefixSum $r$ - prefixSum $l-1$ ，而不需要重新遍历数组。这种方法避免了重复计算相同区间的和，将计算复杂度降低到 O(1)。

总的来说，前缀和的优势在于提前计算出部分信息，通过存储中间结果避免了重复计算，从而显著提高了算法的效率。这种优化在涉及多次区间和计算的情况下特别显著，比如动态规划中的一些子问题。