【笔记】【电子科大离散数学】 2.命题

文章目录

数理逻辑

定义

使用数学的方法研究逻辑推理的规律

命题

数理逻辑研究的中心问题是推理，而推理的前提和结论都是命题。因而命题是推理的基本单位。

定义

具有确切真值的陈述句称为命题(proposition)。该命题可以取一个"值"，称为真值。真值只有"真"和"假"两种，分别用"T"(或"1")和"F"(或"0")表示。

不是命题的例子

一切没有判断内容的句子都不是命题，比如命令句、疑问句、祈使句、二义性的陈述句。

命令句：比如，"把门关上。" 这是一个请求或指令，没有真假之分。
疑问句：例如，"你今天怎么样？" 这是一个问题，它没有表明任何可以验证的事实。
二义性的陈述句，比如："这个命题是假的（指当前这个命题）"。
- 如果这是一个真命题，那么这个命题确实是假的，那么这个命题到底是真还是假？
- 如果这是一个假命题，那么这个命题不是假命题而是真命题，跟上面一样产生了矛盾。

原子命题和复合命题

定义

原子命题(简单命题)：不能再分解为更为简单命题的命题。
复合命题：可以分解为更为简单命题的命题。这些简单命题之间是通过如"或者"、"并且"、"不"、"如果...则......"、"当且仅当"等这样的逻辑连词和标点符号复合而成。

约定

通常用大写的带或不带下标的英文字母表示命题（包括原子命题和复合命题），例如：

A , B , C , ... , P , Q , R , ... , A 1 , B 1 , C 1 , ... , P 1 , Q i , R i , ... A, B, C, \ldots, P, Q, R, \ldots, A_1, B_1, C_1, \ldots, P_1, Q_i, R_i, \ldots A,B,C,...,P,Q,R,...,A1,B1,C1,...,P1,Qi,Ri,...

命题联结词

否定联结词

定义

设 P 是任意一个命题，复合命题"非 P"(或"P 的否定")称为 P 的否定式 (negation)，记作 ¬P，其中 ¬ 为否定联结词。P 为真当且仅当 ¬P 为假。

例子

P: 四川是一个国家。
¬P: 四川不是一个国家。

否定式是自然语言中的"非"、"不"、"没有"等的逻辑抽象。

真值表

P	¬P
真(T)	假(F)
假(F)	真(T)

这个真值表表示的是，如果原命题 P 的真值为真（T），那么它的否定 ¬P 的真值为假（F），反之亦然。

合取联结词

定义

设 P、Q 是任意两个命题，复合命题"P 并且 Q"(或"P 和 Q")称为 P 与 Q 的合取式 (conjunction)，记作 P∧Q，其中 "∧" 为合取联结词。P∧Q 为真当且仅当 P，Q 同为真。

例子

P: 3 是素数。
Q: 3 是奇数。
P∧Q: 3 既是素数又是奇数。

这展示了合取命题的性质：只有当所有单独的命题都为真时，合取命题才为真。

真值表

P	Q	P∧Q
真(T)	真(T)	真(T)
真(T)	假(F)	假(F)
假(F)	真(T)	假(F)
假(F)	假(F)	假(F)

这个真值表表示的是合取命题 P∧Q 只有在两个单个命题 P 和 Q 都为真的情况下才为真，如果其中任何一个为假，合取命题 P∧Q 就为假。

析取联结词

定义

设 P、Q 是任意两个命题，复合命题 "P 或 Q" 称为 P 与 Q 的析取式 (disjunction)，记作 P∨Q，其中 "∨" 是析取联结词。P∨Q 为真当且仅当 P、Q 至少有一个为真。

例子

P: 张谦是大学生。
Q: 张谦是运动员。
P∨Q: 张谦是大学生或是运动员。

这个例子说明了析取命题 P∨Q 的性质：只要 P 和 Q 中至少有一个命题为真，P∨Q 就为真。

蕴含联结词

定义

设 P、Q 是任两个命题，复合命题 "如果 P，则 Q" 称为 P 与 Q 的蕴涵式 (implication)，记作 P → Q，其中 "→" 是蕴涵联结词。P → Q 为假当且仅当 P 为真且 Q 为假。一般把蕴涵式 P → Q 中的 P 称为该蕴涵式的前件，Q 称为蕴涵式的后件。

例子

P: 周末天气晴朗。
Q: 我们将到郊外旅游。
P → Q: 如果周末天气晴朗，则我们将到郊外旅游。

这个例子阐明了蕴涵式 P → Q 的性质：只在 P 为真且 Q 为假的情况下，P → Q 才为假。

真值表

P	Q	P → Q
真(T)	真(T)	真(T)
真(T)	假(F)	假(F)
假(F)	真(T)	真(T)
假(F)	假(F)	真(T)

这个真值表表示的是蕴涵式 P → Q 的真值条件。只有当 P 为真而 Q 为假时，P → Q 才为假。在其他所有情况下，P → Q 都为真。

当前件P为假，无论后件Q真假如何， P → Q都为真，这被称为善意推定。打个比方，我们将"罪证为假"设定为P，"犯人无罪"设定为Q，那么，"如果罪证为假，则犯人无罪"设定为P → Q，显然，即使P这个命题是假的，也不影响P → Q为真。

等价联结词

定义

设 P、Q 是任两个命题，复合命题 "P 当且仅当 Q" 称为 P 与 Q 的等价式 (equivalence)，记作 P ↔ Q，其中 "↔" 是等价联结词（也称作双条件联结词）。P ↔ Q 为真当且仅当 P、Q 同为真或者同为假。

例子

P: 两个三角形全等。
Q: 三角形的三条边全部相等。
P ↔ Q: 两个三角形全等当且仅当三角形的三条边全部相等。

这个例子表明了等价命题 P ↔ Q 的性质：它只在 P 和 Q 同时为真或同时为假的情况下为真。

真值表

P	Q	P ↔ Q
真(T)	真(T)	真(T)
真(T)	假(F)	假(F)
假(F)	真(T)	假(F)
假(F)	假(F)	真(T)

此真值表描述了等价联结词 P ↔ Q 的逻辑行为：当 P 和 Q 都为真或都为假时，P ↔ Q 是真；当 P 和 Q 之一为真而另一为假时，P ↔ Q 是假。

命题符号化及其应用

速查表格

联结词	记号	复合命题	读法	记法	真值结果
否定	¬ \neg ¬	¬ P \neg P ¬P	非 P	P 的否定	-P 的真值为"真"当且仅当 P的真值为"假"
合取	∧ \land ∧	P ∧ Q P \land Q P∧Q	P 并且 Q	P 合取 Q	P ∧ Q P \land Q P∧Q 的真值为"真"当且仅当 P、Q 的真值同为"真"
析取	∨ \lor ∨	P ∨ Q P \lor Q P∨Q	P 或者 Q	P 析取 Q	P ∨ Q P \lor Q P∨Q 的真值为"真"当且仅当 P、Q 的真值至少一个为"真"
蕴涵	→ \rightarrow →	P → Q P \rightarrow Q P→Q	若 P，则 Q	P 蕴涵 Q	P → Q P \rightarrow Q P→Q 的真值为"假"当且仅当 P的真值为"真"、Q 的真值为"假"
等价	↔ \leftrightarrow ↔	P ↔ Q P \leftrightarrow Q P↔Q	当且仅当 Q	P 等价于 Q	P ↔ Q P \leftrightarrow Q P↔Q 的真值为"真"当且仅当 P、Q 的真值同为"真"或同为"假"

注意：

∧ \land ∧与 ∨ \lor ∨还有 ↔ \leftrightarrow ↔是有对称性的，而 ¬ \neg ¬和 → \rightarrow →没有。
联结词是两个命题真值之间的联结 ，而不是命题内容之间的连接，因此复合命题的真值只取决于构成他们的各简单命题的真值，而与它们的内容无关，与二者之间是否有关系无关。

优先级

所有五个联接词的优先顺序（数字越小越优先）为

否定
合取
析取
蕴涵
等价

同级的联结词，按其出现的先后次序(从左到右)；
若运算要求与优先次序不一致时，可使用括号；
同级符号相邻时，也可使用括号。括号中的运算为最高优先级。

在大多数编程语言中，否定（表现为!或者not）、合取（&&或者and）、析取（||或者or），这一顺序同样适用。

复合命题符号化

假设有命题：

P: 你陪伴我
Q: 你代我叫车子
R: 我将出去

下面是这些语句的符号化表示：

如果你陪伴我并且代我叫辆车子，则我将出去。
- 符号化为: ( P ∧ Q ) → R (P\land Q)\rightarrow R (P∧Q)→R
如果你不陪伴我或不代我叫辆车子，我将不出去。
- 符号化为: ( ¬ P ∨ ¬ Q ) → ¬ R (\neg P \lor \neg Q)\rightarrow \neg R (¬P∨¬Q)→¬R
除非你陪伴我或代我叫车子，否则我将不出去。
- 符号化为: ( ¬ P ∧ ¬ Q ) → ¬ R (\neg P \land \neg Q)\rightarrow \neg R (¬P∧¬Q)→¬R 或者可以表示为 ¬ ( P ∨ Q ) → ¬ R \neg(P \lor Q)\rightarrow \neg R ¬(P∨Q)→¬R，依据德摩根定律。如果不使用否定符号，还可以写 R → ( P ∨ Q ) R \rightarrow (P \lor Q) R→(P∨Q)，也就是反过来。

布尔检索演示

同时包含"量子物理"和"弦理论"
- Google搜索框输入: 量子物理 AND 弦理论
- 数学符号表达式: 量子物理 ∧ 弦理论量子物理 \land 弦理论量子物理∧弦理论
包含"量子物理"但不包含"弦理论"
- Google搜索框输入: 量子物理 -弦理论
- 数学符号表达式: 量子物理 ∧ ¬ 弦理论量子物理 \land \neg 弦理论量子物理∧¬弦理论
包含"量子物理"或"相对论"
- Google搜索框输入: 量子物理 OR 相对论
- 数学符号表达式: 量子物理 ∨ 相对论量子物理 \lor 相对论量子物理∨相对论

命题变元

一个特定的命题是一个常值命题，不是真就是假。

一个任意的没有赋予具体内容的原子命题是一个变量命题，常称为命题变量（命题变元），无具体真值。

当原子命题是命题变元，包含此原子命题的复合命题也即命题变元的函数，该函数称为真值函数或者命题公式。

如下是一个命题函数：
G = P ∧ Q → ¬ R G = P \land Q \rightarrow \neg R G=P∧Q→¬R

命题公式

命题演算的合式公式（well formed formula, wff），又称为命题公式，简称公式。

有三条规则生成合式公式：

命题变元本身是一个公式。
G是公式，则 ( ¬ G ) (\neg G) (¬G)也是公式
如G、H是公式， ( G ∧ H ) (G \land H) (G∧H)是公式，诸如此类都是公式

由有限步使用上述三个规则后得到的符号串才是命题公式。

原子命题变元是最简单的合式公式，称为原子合式公式，简称原子公式。
命题公式没有真值，只有对命题变元进行真值指派后才可确定真值。
整个公式最外层括号可以省略，不影响运算次序的括号也可省略。
可以使用二元树的方式表达，如下图。

公式的解释

设 P 1 , P 2 , P 3 . . . , P n P_1, P_2, P_3..., P_n P1,P2,P3...,Pn是出现在公式 G G G中的所有命题变元，指定 P 1 , P 2 , P 3 . . . , P n P_1, P_2, P_3..., P_n P1,P2,P3...,Pn的一组真值，这组真值称为 G G G的一个解释，常记为 I I I。

如果公式在解释 I I I下为真，称 I I I为 G G G的成真赋值，为假则称为成假赋值。

真值表

一般来说，如果有 n n n个命题变元，则有 2 n 2^n 2n个不同解释。

由公式 G G G在其所有可能解释下所取真值构成的表，称为 G G G的真值表。

真值表画法 ：

示例真值表：

命题公式的分类

永真公式（重言式, tautology）：公式的所有解释下真值都为真。
永假公式（矛盾式, contradiction）：公式的所有解释下真值都为假。
可满足公式（satisfiable），在此公式不是永假公式的情况下，永真公式一定是可满足公式。

公式的逻辑等价

定义

对于两个命题公式 G , H G, H G,H，如果它们的命题变元是 P 1 , P 2 , P 3 . . . P n P_1, P_2, P_3 ... P_n P1,P2,P3...Pn，那么对应的有 2 n 2^n 2n个解释，如果这些解释中，G和H的真值结果全都相同，则称G和H为等价的，记作 G = H G = H G=H（或者 G ⇔ H G \Leftrightarrow H G⇔H）。

定理

G = H G = H G=H的充分必要条件为： G ↔ H G \leftrightarrow H G↔H是永真公式。

可判定性 ：可完成对任意公式的判定类问题，命题公式是可判定的。（类型或等价判定）

命题公式的逻辑律、基本等价关系

有了这些逻辑律和等价关系，我们就可以进行巧妙地证明、化简、求解了。

可用于化简门电路、化简判断逻辑来进行优化性能。

幂等律 (Idempotent Laws)

逻辑与的幂等律： G ∧ G ≡ G G \land G \equiv G G∧G≡G
逻辑或的幂等律： G ∨ G ≡ G G \lor G \equiv G G∨G≡G

交换律 (Commutative Laws)

逻辑与的交换律： G ∧ H ≡ H ∧ G G \land H \equiv H \land G G∧H≡H∧G
逻辑或的交换律： G ∨ H ≡ H ∨ G G \lor H \equiv H \lor G G∨H≡H∨G

结合律 (Associative Laws)

逻辑与的结合律： ( G ∧ H ) ∧ I ≡ G ∧ ( H ∧ I ) (G \land H) \land I \equiv G \land (H \land I) (G∧H)∧I≡G∧(H∧I)
逻辑或的结合律： ( G ∨ H ) ∨ I ≡ G ∨ ( H ∨ I ) (G \lor H) \lor I \equiv G \lor (H \lor I) (G∨H)∨I≡G∨(H∨I)

同一律 (Identity Laws)

逻辑与的同一律： G ∧ True ≡ G G \land \text{True} \equiv G G∧True≡G
逻辑或的同一律： G ∨ False ≡ G G \lor \text{False} \equiv G G∨False≡G

零律 (Domination Laws)

逻辑与的零律： G ∧ False ≡ False G \land \text{False} \equiv \text{False} G∧False≡False
逻辑或的零律： G ∨ True ≡ True G \lor \text{True} \equiv \text{True} G∨True≡True

分配律 (Distributive Laws)

逻辑与对逻辑或的分配律： G ∧ ( H ∨ I ) ≡ ( G ∧ H ) ∨ ( G ∧ I ) G \land (H \lor I) \equiv (G \land H) \lor (G \land I) G∧(H∨I)≡(G∧H)∨(G∧I)
逻辑或对逻辑与的分配律： G ∨ ( H ∧ I ) ≡ ( G ∨ H ) ∧ ( G ∨ I ) G \lor (H \land I) \equiv (G \lor H) \land (G \lor I) G∨(H∧I)≡(G∨H)∧(G∨I)

吸收率 (Absorption Laws)

逻辑与的吸收率： G ∧ ( G ∨ H ) ≡ G G \land (G \lor H) \equiv G G∧(G∨H)≡G
逻辑或的吸收率： G ∨ ( G ∧ H ) ≡ G G \lor (G \land H) \equiv G G∨(G∧H)≡G

矛盾律 (Contradiction Law)

G ∧ ¬ G ≡ False G \land \lnot G \equiv \text{False} G∧¬G≡False

排中律 (Law of Excluded Middle)

G ∨ ¬ G ≡ True G \lor \lnot G \equiv \text{True} G∨¬G≡True

双重否定律 (Double Negation Law)

¬ ( ¬ G ) ≡ G \lnot (\lnot G) \equiv G ¬(¬G)≡G

德摩根律 (De Morgan's Laws)

¬ ( G ∧ H ) ≡ ¬ G ∨ ¬ H \lnot (G \land H) \equiv \lnot G \lor \lnot H ¬(G∧H)≡¬G∨¬H
¬ ( G ∨ H ) ≡ ¬ G ∧ ¬ H \lnot (G \lor H) \equiv \lnot G \land \lnot H ¬(G∨H)≡¬G∧¬H

蕴含式 (Implication)

G → H ≡ ¬ G ∨ H G \rightarrow H \equiv \lnot G \lor H G→H≡¬G∨H

假言易位 (Contrapositive)

( G → H ) ≡ ( ¬ H → ¬ G ) (G \rightarrow H) \equiv (\lnot H \rightarrow \lnot G) (G→H)≡(¬H→¬G)

等价式 (Equivalence)

( G ↔ H ) ≡ ( G → H ) ∧ ( H → G ) (G \leftrightarrow H) \equiv (G \rightarrow H) \land (H \rightarrow G) (G↔H)≡(G→H)∧(H→G)

等价否定式 (Negation of Equivalence)

( G ↔ H ) ≡ ¬ G ↔ ¬ H (G \leftrightarrow H) \equiv \neg G \leftrightarrow \neg H (G↔H)≡¬G↔¬H

归谬论 (Reductio ad absurdum)

( ¬ G → False ) → G (\lnot G \rightarrow \text{False}) \rightarrow G (¬G→False)→G

范式 (Normal Form)

有限个简单合取式（短语）的析取称为析取范式（disjunctive normal form）。
有限个简单析取式（子句）的合取成为合取范式（conjunctive normal form）。

文字 (Literal)

命题变元和命题变元的否定都是文字。

例如，在表达式 ( p ∨ ¬ q ) (p \lor \lnot q) (p∨¬q) 中， p p p 和 ¬ q \lnot q ¬q 都是文字。

子句 (Clause)

有限个文字的析取成为简单析取式（或子句）。

短语 (Phrase)

有限个文字的合取成为简单合取式（或短语）。

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