跳表（Skip List）是一种概率性数据结构，它通过在普通有序链表的基础上增加多级索引层来实现快速的查找、插入和删除操作。跳表的效率可以与平衡树相媲美，其操作的时间复杂度也是O(log n)，但跳表的结构更简单，更易于实现。
跳表的核心特征
- 多层结构：跳表包含多个层级。最底层（第0层）包含所有的元素。每一层都是下一层的"快速通道"，每个元素出现在上层的概率通常是1/2。
- 头节点：跳表有一个头节点（head），它在所有层级中都存在。头节点的值通常不存储实际的数据，它的目的是为了搜索、插入和删除操作提供一个统一的起点。
- 随机层级：每个新插入的节点的层数是通过随机过程决定的，以确保跳表的平衡性。这意味着高层索引不会过于密集或稀疏。
数据结构组件
- 节点（SkipListNode） ：每个节点包含的信息有：
- 值（value）：存储的数据值。
- 前进指针（forward）：一个指针数组，指向同一层级的下一个节点以及上层对应的节点。
- 头节点（Head） ：是一个特殊的节点，它的
forward指针数组的长度等于跳表的最大层数。它在所有层级上都指向该层的第一个实际节点（如果存在）。 - 层数（Level）：跳表当前的最大层数。这个值是动态的，随着新节点的插入可以增加。
操作原理
- 搜索（Search）：从头节点开始，在最高层级搜索，如果当前节点的下一个节点的值小于目标值，则向前移动；如果大于目标值，则下降到下一层级继续搜索，直至找到目标值或搜索失败。
- 插入（Insert）：首先通过随机过程确定新节点的层数。然后从最高层开始寻找插入位置，逐层向下直到达到新节点应存在的最低层级。在每一层，将新节点插入到适当的位置，并更新相关节点的指针。
- 删除（Delete）：与搜索类似，首先定位要删除的节点。然后从其所在的最高层开始，逐层向下删除节点，并更新指针。
优点与应用
- 简单性：跳表的数据结构和算法相对简单，特别是与平衡树和B树等结构相比。
- 动态性：跳表可以很容易地支持动态数据集合的操作，如实时插入和删除。
- 效率：对于大多数操作，跳表可以提供对数时间复杂度的性能，适用于需要快速搜索操作的场景，如数据库索引和内存数据库。
跳表通过简单的随机化过程来避免复杂的重平衡操作，使得它成为一种既高效又易于实现的数据结构选项。
简单的跳表实现示例
java
import java.util.Random;
class SkipListNode {
int value;
SkipListNode[] forward; // 指向不同层的指针数组
public SkipListNode(int value, int level) {
this.value = value;
this.forward = new SkipListNode[level + 1];
}
}
public class SkipList {
private static final float P = 0.5f;
private static final int MAX_LEVEL = 16;
private SkipListNode head;
private int level;
private Random random;
public SkipList() {
level = 0;
head = new SkipListNode(0, MAX_LEVEL);
random = new Random();
}
// 随机生成节点的层数
private int randomLevel() {
int lvl = 1;
while (random.nextFloat() < P && lvl < MAX_LEVEL) {
lvl++;
}
return lvl;
}
// 插入节点
public void insert(int value) {
int lvl = randomLevel();
SkipListNode newNode = new SkipListNode(value, lvl);
SkipListNode current = head;
SkipListNode[] update = new SkipListNode[MAX_LEVEL + 1];
for (int i = level; i >= 0; i--) {
while (current.forward[i] != null && current.forward[i].value < value) {
current = current.forward[i];
}
update[i] = current;
}
for (int i = 0; i <= lvl; i++) {
newNode.forward[i] = update[i].forward[i];
update[i].forward[i] = newNode;
}
if (lvl > level) {
level = lvl;
}
}
// 查找节点
public boolean search(int value) {
SkipListNode current = head;
for (int i = level; i >= 0; i--) {
while (current.forward[i] != null && current.forward[i].value < value) {
current = current.forward[i];
}
}
current = current.forward[0];
return current != null && current.value == value;
}
// 删除节点
public void delete(int value) {
SkipListNode[] update = new SkipListNode[MAX_LEVEL + 1];
SkipListNode current = head;
for (int i = level; i >= 0; i--) {
while (current.forward[i] != null && current.forward[i].value < value) {
current = current.forward[i];
}
update[i] = current;
}
current = current.forward[0];
if (current.value == value) {
for (int i = 0; i <= level; i++) {
if (update[i].forward[i] != current) break;
update[i].forward[i] = current.forward[i];
}
while (level > 0 && head.forward[level] == null) {
level--;
}
}
}
// 打印跳表的内容
public void display() {
System.out.println("SkipList: ");
for (int i = 0; i <= level; i++) {
SkipListNode node = head.forward[i];
System.out.print("Level " + i + ": ");
while (node != null) {
System.out.print(node.value + " ");
node = node.forward[i];
}
System.out.println();
}
}
}
// 使用示例
public class Main {
public static void main(String[] args) {
SkipList list = new SkipList();
list.insert(3);
list.insert(6);
list.insert(7);
list.insert(9);
list.insert(12);
list.insert(19);
list.insert(17);
list.display();
System.out.println("Searching 6: " + list.search(6));
System.out.println("Searching 15: " + list.search(15));
list.delete(6);
System.out.println("After deleting 6: ");
list.display();
}
}这段代码首先定义了SkipListNode类，它是跳表节点的结构，包括节点值和一个数组forward，数组中每个元素是对应层级的下一个节点的引用。SkipList类实现了跳表，包括初始化、插入、查找、删除和打印跳表的方法。
insert方法用于插入新的节点。search方法用于查找一个值，如果找到，则返回true。delete方法用于删除一个值。display方法用于打印跳表的所有层级和节点。
通过一个具体的例子来说明跳表的插入过程
假设我们有一个跳表，它当前的状态如下，其中每一行代表一个层级（层级0是最底层，包含所有元素）：
java
层级3：1 --------------------------------> 9
层级2：1 ------------> 5 ------------> 9
层级1：1 ----> 3 ----> 5 ----> 7 ----> 9
层级0：1 -> 2 -> 3 -> 4 -> 5 -> 6 -> 7 -> 9现在，我们想要插入一个新的节点，值为8，并假设通过随机过程，决定新节点8将出现在层级0、1和2上（不出现在层级3上）。下面是插入过程的步骤：
步骤1：寻找每一层的插入位置
从跳表的最高层（在这个例子中是层级3）开始寻找，直到找到比插入值小的最大节点。因为8不会被插入到层级3，我们直接从层级2开始：
- 层级2 ：从
1开始，遍历到5，因为9大于8，所以5是层级2的插入位置。 - 层级1 ：同样从
1开始，遍历到5，然后到7，因为9大于8，所以7是层级1的插入位置。 - 层级0 ：从
1开始，按顺序遍历，直到7，因为9大于8，所以7是层级0的插入位置。
步骤2：插入节点并更新指针
- 层级2 ：在
5和9之间插入8，更新5的下一个指针为8，8的下一个指针为9。 - 层级1 ：在
7和9之间插入8，更新7的下一个指针为8，8的下一个指针为9。 - 层级0 ：在
7和9之间插入8，更新7的下一个指针为8，8的下一个指针为9。
插入8后，跳表变为：
java
层级3：1 --------------------------------> 9
层级2：1 ------------> 5 -------> 8 ----> 9
层级1：1 ----> 3 ----> 5 ----> 7 -> 8 -> 9
层级0：1 -> 2 -> 3 -> 4 -> 5 -> 6 -> 7 -> 8 -> 9步骤3：调整跳表的总层数（如果需要）
在这个例子中，新插入的节点8并没有增加跳表的总层数，因此不需要调整。
通过这个例子，你可以看到插入过程如何在每一层找到正确的插入位置，并更新指针来维护跳表的结构。这个过程确保了跳表的搜索效率，使得搜索、插入和删除操作的时间复杂度都为O(log n)。