[蓝桥杯]机器人塔

题目描述

X 星球的机器人表演拉拉队有两种服装，A 和 B。

他们这次表演的是搭机器人塔。

类似：

B B

A B A

A A B B

B B B A B

A B A B B A

队内的组塔规则是：

A 只能站在 AA 或 BB 的肩上。

B 只能站在 AB 或 BA 的肩上。

你的任务是帮助拉拉队计算一下，在给定 A 与 B 的人数时，可以组成多少种花样的塔。

输入描述

输入一行两个整数 M,NM,N（0<M,N<5000<M,N<500）,分别表示 A、B 的人数，保证人数合理性。

输出描述

要求输出一个整数，表示可以产生的花样种数。

输入输出样例

示例

输入

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1 2

输出

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运行限制

最大运行时间：10s
最大运行内存: 512M

总通过次数: 2263 | 总提交次数: 2708 | 通过率: 83.6%

方法思路

为了解决机器人塔问题，我们需要计算在给定A和B机器人数量时，能组成的塔的种类数。塔的构建规则是：

A只能站在AA或BB的肩上
B只能站在AB或BA的肩上

解决思路

算法特点

确定塔的层数：根据总人数M+N，求解满足k(k+1)/2 = M+N的整数k
枚举基座层：基座层有k个机器人，每个机器人可以是A或B，共2^k种可能
模拟建塔过程：
- 从基座层开始向上构建
- 每层机器人由下一层的两个相邻机器人决定：若两个机器人相同，则上层为A；若不同，则上层为B
统计A的数量：在构建过程中统计整个塔中A的数量
匹配条件：若塔中A的数量等于M，则计数加1

输出结果：符合条件的基座层配置数量

cpp 复制代码

#include <iostream>
#include <vector>
#include <cmath>
#include <unordered_map>
using namespace std;

int main() {
    int M, N;
    cin >> M >> N;
    int total = M + N;
    int k = 0;
    while (k * (k + 1) / 2 < total) k++;
    if (k * (k + 1) / 2 != total) {
        cout << 0 << endl;
        return 0;
    }

    int ans = 0;
    for (int mask = 0; mask < (1 << k); mask++) {
        int countA = 0;
        int current_mask = mask;
        int current_len = k;
        
        while (current_len > 0) {
            countA += current_len - __builtin_popcount(current_mask);
            if (current_len > 1) {
                current_mask = (current_mask ^ (current_mask >> 1)) & ((1 << (current_len - 1)) - 1);
            }
            current_len--;
        }
        
        if (countA == M) {
            ans++;
        }
    }
    
    cout << ans << endl;
    return 0;
}

代码解释

输入处理：读取A和B的数量M和N
计算总人数：total = M + N
时间复杂度：O(2^k * k)，其中k是塔的层数
空间复杂度：O(1)，仅使用常数空间
优化：使用位运算高效模拟建塔过程
适用性：在k较小（k ≤ 30）时高效，k较大时需优化
- 确定塔的层数k：求解满足k(k+1)/2 = total的最小整数k
- 枚举基座层配置：
  - 使用位掩码mask表示基座层，1表示B，0表示A
  - 遍历所有可能的基座层配置（0到2^k-1）
- 模拟建塔过程：
  - 对于每个基座层配置，从下向上构建塔
  - 计算每层A的数量：层长 - 1的数量
  - 更新上层掩码：(current_mask ^ (current_mask >> 1)) & ( (1 << (len-1)) - 1)
- 统计符合条件的配置：若整个塔中A的数量等于M，则有效配置计数加1
- 输出结果：输出满足条件的配置数量