快速排序：Python语言实现

快速排序：Python语言实现

什么是快速排序？

快速排序是一种常用的排序算法，比选择排序快得多。例如，C语言标准库中的函数qsort 实现的就是快速排序。像归并排序（merge sort）一样，快速排序也是一种分治的递归算法。

快速排序算法的步骤和说明

将数组 $S\; S$S排序的基本算法由下列简单的四步组成：

1. 如果 $S\; S$S中的元素个数是 $0\; 0$0和 $1\; 1$1，则返回。
2. 取 $S\; S$S中任一元素 $v\; v$v，称之为枢纽元（pivot）。
3. 将 $S\; -\; \{\; v\; \}\; S\; -\; \backslash \{v\backslash \}$S−{v}（即S中其余元素）划分成两个不相交的集合： $S\; 1\; =\; \{\; x\; \in \; S\; -\; \{\; v\; \}\; \mid \; x\; \le \; v\; \}\; S\_\{1\}\; =\; \backslash \{\; x\; \backslash in\; S\; -\; \backslash \{v\backslash \}\; |\; x\; \backslash le\; v\; \backslash \}$S1={x∈S−{v}∣x≤v}， $S\; 2\; =\; \{\; x\; \in \; S\; -\; \{\; v\; \}\; \mid \; x\; \ge \; v\; \}\; S\_\{2\}\; =\; \backslash \{\; x\; \backslash in\; S\; -\; \backslash \{v\backslash \}\; |\; x\; \backslash ge\; v\; \backslash \}$S2={x∈S−{v}∣x≥v}。
4. 返回 $\{\; q\; u\; i\; c\; k\; s\; o\; r\; t\; (\; S\; 1\; )\; ，后跟\; v\; ，继而再\; q\; u\; i\; c\; k\; s\; o\; r\; t\; (\; S\; 2\; )\; \}\; \backslash \{quicksort(S\_\{1\})，后跟v，继而再quicksort(S\_\{2\})\backslash \}${quicksort(S1)，后跟v，继而再quicksort(S2)}。

下图给出快速排序算法的直观说明：

快速排序算法的伪码和说明

下面是对一个典型的子数组 $A$ l . . r Al..r Al..r进行快速排序的伪代码：

QuickSort(A, l, r)

1   if l >= r

2    return

3   i = Partition(A, l, r)

4   QuickSort(A, l, i - 1)

5   QuickSort(A, i + 1, r)

而算法的核心是Partition过程：

Partition(A, l, r)

1   p = Ar

2   i = l - 1

3   for j = l to r - 1

4    if Aj <= p

5     i = i + 1

6     exchange Ai with Aj

7   exchange Ai + 1 with Ar

8   return i + 1

下图显示了Partition如何在一个包含8个元素的数组上进行操作的过程。

Partition总是选择一个 $p\; =\; A$ r p = Ar p=Ar作为枢纽元 （pivot），并围绕它来划分子数组 $A$ l . . r Al..r Al..r。 随着程序的执行，数组被划分成4个（可能有空的）区域。 在Partition伪码的第3～6行的for循环的每一轮迭代的开始，每一个区域都满足一定的性质， 我们将这些性质作为循环不变量：

在第3～6行循环体的每一轮迭代开始时，对于任意数组下标 $k\; k$k，有：

1. 若 $l\; \le \; k\; \le \; i\; l\; \backslash le\; k\; \backslash le\; i$l≤k≤i，则 $A$ k ≤ p Ak \le p Ak≤p。
2. 若 $i\; +\; 1\; \le \; k\; \le \; j\; -\; 1\; i+1\; \backslash le\; k\; \backslash le\; j-1$i+1≤k≤j−1，则 $A$ k > p Ak > p Ak>p。
3. 若 $k\; =\; r\; k\; =\; r$k=r，则 $A$ k = p Ak = p Ak=p。

但是上述三种情况没有覆盖下标 $j\; j$j到 $r\; -\; 1\; r-1$r−1，对应位置的值与枢纽元之间也不存在特定的大小关系。 如下图所示：

下图给出第3～6行循环体的每一轮迭代中，根据第4行中条件判断的不同结果，算法的不同处理。

快速排序算法的Python实现

基于快速排序算法的伪码，我们可以轻松的给出Python版本的实现。

首先是给出测试驱动代码：

test_quicksort.py

#!/usr/bin/env python3
# test_quicksort.py

from quicksort import quicksort
import random

def main(size = 1000):
    lyst = []
    for count in range(size):
        lyst.append(random.randint(1, size + 1))

    answer = sorted(lyst)
    print(lyst)
    quicksort(lyst)
    print(lyst)

    if answer == lyst:
        print("quicksort is correct!")
    else:
        print("quicksort is not correct!")

if __name__ == "__main__":
    main() 

然后是quicksort的实现代码：

quicksort.py

#!/usr/bin/env python3
# quicksort.py

def quicksort(lyst):
    quicksortHelper(lyst, 0, len(lyst) - 1)

def quicksortHelper(lyst, left, right):
    if left >= right:
        return
    pivotLocation = partition(lyst, left, right)
    quicksortHelper(lyst, left, pivotLocation - 1)
    quicksortHelper(lyst, pivotLocation + 1, right)

def partition(lyst, left, right):
    pivot = lyst[right]
    i = left - 1
    for j in range(left, right):    # left to right - 1
        if lyst[j] <= pivot:
            i = i + 1
            swap(lyst, i, j)
    swap(lyst, i + 1, right)
    return i + 1

def swap(lyst, i, j):
    """Exchanges the items at positions i and j."""
    # You could say lyst[i], lyst[j] = lyst[j], lyst[i]
    # but the following code shows what is really going on
    temp = lyst[i]
    lyst[i] = lyst[j]
    lyst[j] = temp

快速排序算法的改进和优化

接下来，我们逐步改进和优化快速排序，最终的算法接近于C++标准库中std::sort的实现。

STEP1

首先我们把Partition过程修改成最早由C.A.R.Hoare提出时的模样， 当然这里的伪码可能与最原始Hoare版本有所出入：

Hoare-Partition(A, l, r)

01   p = Ar

02   i = l - 1

03   j = r

04   while TRUE

05    repeat

06     i = i + 1

07    until Ai >= p

08    repeat

09     j = j - 1

10    until j == l or Aj <= p

11    if i < j

12     exchange Ai with Aj

13    else

14     break

15   exchange Ai with Ar

16   return i

下图显示了Hoare-Partition如何在一个包含10个元素的数组上进行操作的过程。

更新了Partition过程的完整代码如下：

quicksort.py

#!/usr/bin/env python3
# quicksort.py

def quicksort(lyst):
    quicksortHelper(lyst, 0, len(lyst) - 1)

def quicksortHelper(lyst, left, right):
    if left >= right:
        return
    pivotLocation = partition(lyst, left, right)
    quicksortHelper(lyst, left, pivotLocation - 1)
    quicksortHelper(lyst, pivotLocation + 1, right)

def partition(lyst, left, right):
    pivot = lyst[right]
    i = left - 1
    j = right
    while True:
        while True:
            i = i + 1
            if lyst[i] >= pivot:
                break
        while True:
            j = j - 1
            if j == left or lyst[j] <= pivot:
                break
        if i < j:
            swap(lyst, i, j)
        else:
            break
    swap(lyst, i, right)
    return i

def swap(lyst, i, j):
    """Exchanges the items at positions i and j."""
    # You could say lyst[i], lyst[j] = lyst[j], lyst[i]
    # but the following code shows what is really going on
    temp = lyst[i]
    lyst[i] = lyst[j]
    lyst[j] = temp

STEP2

据说，对于很小的数组（ $N\; \le \; 20\; N\; \backslash le\; 20$N≤20），快速排序不如插入排序。 所以，我们修正QuickSort算法，当数组长度小于某个值（这里选了10）时， 改成调用插入排序：

QuickSort(A, l, r)

1   if r - l <= 10

2    return InsertionSort(A, l, r)

3   i = Partition(A, l, r)

4   QuickSort(A, l, i - 1)

5   QuickSort(A, i + 1, r)

由于修改一目了然，且这里也不打算介绍插入排序算法，就直接给出Python实现：

quicksort.py

#!/usr/bin/env python3
# quicksort.py

def quicksort(lyst):
    quicksortHelper(lyst, 0, len(lyst) - 1)

def quicksortHelper(lyst, left, right):
    if right - left <= 10:
        return insertionSort(lyst, left, right)
    pivotLocation = partition(lyst, left, right)
    quicksortHelper(lyst, left, pivotLocation - 1)
    quicksortHelper(lyst, pivotLocation + 1, right)

def partition(lyst, left, right):
    pivot = lyst[right]
    i = left - 1
    j = right
    while True:
        while True:
            i = i + 1
            if lyst[i] >= pivot:
                break
        while True:
            j = j - 1
            if j == left or lyst[j] <= pivot:
                break
        if i < j:
            swap(lyst, i, j)
        else:
            break
    swap(lyst, i, right)
    return i

def swap(lyst, i, j):
    """Exchanges the items at positions i and j."""
    # You could say lyst[i], lyst[j] = lyst[j], lyst[i]
    # but the following code shows what is really going on
    temp = lyst[i]
    lyst[i] = lyst[j]
    lyst[j] = temp

def insertionSort(lyst, left, right):
    i = left + 1
    while i <= right:
        itemToInsert = lyst[i]
        j = i - 1
        while j >= 0:
            if itemToInsert < lyst[j]:
                lyst[j + 1] = lyst[j]
                j -= 1
            else:
                break
        lyst[j + 1] = itemToInsert
        i += 1

STEP3

当Partition（划分）n个元素的子数组，产生包含了 $n\; -\; 1\; n-1$n−1个元素和 $0\; 0$0个元素时， 快速排序的最坏情况发生了。为了避免这种情况，通常会采用随机选择枢纽元的方式。

这里给出一个叫Median-of-Three Partitioning（三数中值分隔法）的方式，一句话来描述： 将子数组的左端、右端和中心位置上的三个元素的中值作为枢纽元。

这次先给出Python实现代码，稍后再给出解释说明：

quicksort.py

#!/usr/bin/env python3
# quicksort.py

def quicksort(lyst):
    quicksortHelper(lyst, 0, len(lyst) - 1)

def quicksortHelper(lyst, left, right):
    if right - left <= 10:
        return insertionSort(lyst, left, right)
    pivotLocation = partition(lyst, left, right)
    quicksortHelper(lyst, left, pivotLocation - 1)
    quicksortHelper(lyst, pivotLocation + 1, right)

def partition(lyst, left, right):
    median3(lyst, left, right)

    pivot = lyst[right - 1]
    i = left
    j = right - 1
    while True:
        while True:
            i = i + 1
            if lyst[i] >= pivot:
                break
        while True:
            j = j - 1
            if lyst[j] <= pivot:
                break
        if i < j:
            swap(lyst, i, j)
        else:
            break
    swap(lyst, i, right - 1)
    return i

def median3(lyst, left, right):
    center = (left + right) // 2

    if lyst[center] < lyst[left]:
        swap(lyst, center, left)
    if lyst[right] < lyst[left]:
        swap(lyst, left, right)
    if lyst[right] < lyst[center]:
        swap(lyst, center, right)

    swap(lyst, center, right - 1)

def swap(lyst, i, j):
    """Exchanges the items at positions i and j."""
    # You could say lyst[i], lyst[j] = lyst[j], lyst[i]
    # but the following code shows what is really going on
    temp = lyst[i]
    lyst[i] = lyst[j]
    lyst[j] = temp

def insertionSort(lyst, left, right):
    i = left + 1
    while i <= right:
        itemToInsert = lyst[i]
        j = i - 1
        while j >= 0:
            if itemToInsert < lyst[j]:
                lyst[j + 1] = lyst[j]
                j -= 1
            else:
                break
        lyst[j + 1] = itemToInsert
        i += 1

下图显示了median3（Median-of-Three）如何在一个包含10个元素的数组上进行操作的过程。

当median3调用完，枢纽元在子数组的从右数第二个元素（索引为 $r\; -\; 1\; r-1$r−1），

子数组的左端元素（索引为 $l\; l$l）小于枢纽元，

子数组的右端元素（索引为 $r\; r$r）大于枢纽元，

所以Partition过程需要处理的区间就从原来的 $$ l , r − 1 l, r-1 l,r−1（索引 $r\; r$r为pivot）

变成 $$ l + 1 , r − 2 l+1, r-2 l+1,r−2（索引 $r\; -\; 1\; r-1$r−1为pivoit），而且由于左右端的元素可以作为哨兵元素，

所以对于索引 $j\; j$j是否越过子数组左端的判断也可以去掉了。

至此，我们就用Python实现了一个相对完整快速排序算法。

最后给出所有实现的工程代码路径：

• 《算法导论》第7章原始版本
• 《算法导论》第7章Hoare partition版本，书中伪码有问题，已修正
• Hoare partition版本，枢纽元选成最右侧元素
• Hoare partition版本，枢纽元选成最右侧元素，小于等于10个元素的子数组用插入排序
• Hoare partition版本，枢纽元选成最右侧元素，小于等于10个元素的子数组用插入排序，Pivot选择采用Median-of-Three方法

参考文档：

• 《算法导论（原书第3版）》
• 《算法详解（卷1）------算法基础》
• 《算法：C语言实现(第1-4部分)基础知识、数据结构、排序及搜索（原书第3版）》
• 《算法Ⅰ～Ⅳ（C++实现）------基础、数据结构、排序和搜索（第三版）》
• 《数据结构与算法分析------C语言描述（原书第2版）》
• 《数据结构与算法分析------C++语言描述（第四版）》
• 《数据结构（Python语言描述）》