快速排序：Python语言实现
什么是快速排序？
快速排序是一种常用的排序算法，比选择排序快得多。例如，C语言标准库中的函数qsort 实现的就是快速排序。像归并排序（merge sort）一样，快速排序也是一种分治的递归算法。
快速排序算法的步骤和说明
将数组 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> S S </math>S排序的基本算法由下列简单的四步组成：
- 如果 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> S S </math>S中的元素个数是 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> 0 0 </math>0和 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> 1 1 </math>1，则返回。
- 取 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> S S </math>S中任一元素 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> v v </math>v，称之为枢纽元（pivot）。
- 将 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> S − { v } S - \{v\} </math>S−{v}（即S中其余元素）划分成两个不相交的集合： <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> S 1 = { x ∈ S − { v } ∣ x ≤ v } S_{1} = \{ x \in S - \{v\} | x \le v \} </math>S1={x∈S−{v}∣x≤v}， <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> S 2 = { x ∈ S − { v } ∣ x ≥ v } S_{2} = \{ x \in S - \{v\} | x \ge v \} </math>S2={x∈S−{v}∣x≥v}。
- 返回 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> { q u i c k s o r t ( S 1 ) ，后跟 v ，继而再 q u i c k s o r t ( S 2 ) } \{quicksort(S_{1})，后跟v，继而再quicksort(S_{2})\} </math>{quicksort(S1)，后跟v，继而再quicksort(S2)}。
下图给出快速排序算法的直观说明：
快速排序算法的伪码和说明
下面是对一个典型的子数组 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> A [ l . . r ] A[l..r] </math>A[l..r]进行快速排序的伪代码：
QuickSort(A, l, r)
1 if l >= r
2 return
3 i = Partition(A, l, r)
4 QuickSort(A, l, i - 1)
5 QuickSort(A, i + 1, r)
而算法的核心是Partition过程：
Partition(A, l, r)
1 p = A[r]
2 i = l - 1
3 for j = l to r - 1
4 if A[j] <= p
5 i = i + 1
6 exchange A[i] with A[j]
7 exchange A[i + 1] with A[r]
8 return i + 1
下图显示了Partition如何在一个包含8个元素的数组上进行操作的过程。
Partition总是选择一个 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> p = A [ r ] p = A[r] </math>p=A[r]作为枢纽元 （pivot），并围绕它来划分子数组 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> A [ l . . r ] A[l..r] </math>A[l..r]。 随着程序的执行，数组被划分成4个（可能有空的）区域。 在Partition伪码的第3～6行的for循环的每一轮迭代的开始，每一个区域都满足一定的性质， 我们将这些性质作为循环不变量：
在第3～6行循环体的每一轮迭代开始时，对于任意数组下标 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> k k </math>k，有：
- 若 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> l ≤ k ≤ i l \le k \le i </math>l≤k≤i，则 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> A [ k ] ≤ p A[k] \le p </math>A[k]≤p。
- 若 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> i + 1 ≤ k ≤ j − 1 i+1 \le k \le j-1 </math>i+1≤k≤j−1，则 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> A [ k ] > p A[k] > p </math>A[k]>p。
- 若 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> k = r k = r </math>k=r，则 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> A [ k ] = p A[k] = p </math>A[k]=p。
但是上述三种情况没有覆盖下标 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> j j </math>j到 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> r − 1 r-1 </math>r−1，对应位置的值与枢纽元之间也不存在特定的大小关系。 如下图所示：
下图给出第3～6行循环体的每一轮迭代中，根据第4行中条件判断的不同结果，算法的不同处理。
快速排序算法的Python实现
基于快速排序算法的伪码，我们可以轻松的给出Python版本的实现。
首先是给出测试驱动代码：
test_quicksort.py
py
#!/usr/bin/env python3
# test_quicksort.py
from quicksort import quicksort
import random
def main(size = 1000):
lyst = []
for count in range(size):
lyst.append(random.randint(1, size + 1))
answer = sorted(lyst)
print(lyst)
quicksort(lyst)
print(lyst)
if answer == lyst:
print("quicksort is correct!")
else:
print("quicksort is not correct!")
if __name__ == "__main__":
main() 然后是quicksort的实现代码：
py
#!/usr/bin/env python3
# quicksort.py
def quicksort(lyst):
quicksortHelper(lyst, 0, len(lyst) - 1)
def quicksortHelper(lyst, left, right):
if left >= right:
return
pivotLocation = partition(lyst, left, right)
quicksortHelper(lyst, left, pivotLocation - 1)
quicksortHelper(lyst, pivotLocation + 1, right)
def partition(lyst, left, right):
pivot = lyst[right]
i = left - 1
for j in range(left, right): # left to right - 1
if lyst[j] <= pivot:
i = i + 1
swap(lyst, i, j)
swap(lyst, i + 1, right)
return i + 1
def swap(lyst, i, j):
"""Exchanges the items at positions i and j."""
# You could say lyst[i], lyst[j] = lyst[j], lyst[i]
# but the following code shows what is really going on
temp = lyst[i]
lyst[i] = lyst[j]
lyst[j] = temp快速排序算法的改进和优化
接下来，我们逐步改进和优化快速排序，最终的算法接近于C++标准库中std::sort的实现。
STEP1
首先我们把Partition过程修改成最早由C.A.R.Hoare提出时的模样， 当然这里的伪码可能与最原始Hoare版本有所出入：
Hoare-Partition(A, l, r)
01 p = A[r]
02 i = l - 1
03 j = r
04 while TRUE
05 repeat
06 i = i + 1
07 until A[i] >= p
08 repeat
09 j = j - 1
10 until j == l or A[j] <= p
11 if i < j
12 exchange A[i] with A[j]
13 else
14 break
15 exchange A[i] with A[r]
16 return i
下图显示了Hoare-Partition如何在一个包含10个元素的数组上进行操作的过程。
更新了Partition过程的完整代码如下：
py
#!/usr/bin/env python3
# quicksort.py
def quicksort(lyst):
quicksortHelper(lyst, 0, len(lyst) - 1)
def quicksortHelper(lyst, left, right):
if left >= right:
return
pivotLocation = partition(lyst, left, right)
quicksortHelper(lyst, left, pivotLocation - 1)
quicksortHelper(lyst, pivotLocation + 1, right)
def partition(lyst, left, right):
pivot = lyst[right]
i = left - 1
j = right
while True:
while True:
i = i + 1
if lyst[i] >= pivot:
break
while True:
j = j - 1
if j == left or lyst[j] <= pivot:
break
if i < j:
swap(lyst, i, j)
else:
break
swap(lyst, i, right)
return i
def swap(lyst, i, j):
"""Exchanges the items at positions i and j."""
# You could say lyst[i], lyst[j] = lyst[j], lyst[i]
# but the following code shows what is really going on
temp = lyst[i]
lyst[i] = lyst[j]
lyst[j] = tempSTEP2
据说，对于很小的数组（ <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> N ≤ 20 N \le 20 </math>N≤20），快速排序不如插入排序。 所以，我们修正QuickSort算法，当数组长度小于某个值（这里选了10）时， 改成调用插入排序：
QuickSort(A, l, r)
1 if r - l <= 10
2 return InsertionSort(A, l, r)
3 i = Partition(A, l, r)
4 QuickSort(A, l, i - 1)
5 QuickSort(A, i + 1, r)
由于修改一目了然，且这里也不打算介绍插入排序算法，就直接给出Python实现：
py
#!/usr/bin/env python3
# quicksort.py
def quicksort(lyst):
quicksortHelper(lyst, 0, len(lyst) - 1)
def quicksortHelper(lyst, left, right):
if right - left <= 10:
return insertionSort(lyst, left, right)
pivotLocation = partition(lyst, left, right)
quicksortHelper(lyst, left, pivotLocation - 1)
quicksortHelper(lyst, pivotLocation + 1, right)
def partition(lyst, left, right):
pivot = lyst[right]
i = left - 1
j = right
while True:
while True:
i = i + 1
if lyst[i] >= pivot:
break
while True:
j = j - 1
if j == left or lyst[j] <= pivot:
break
if i < j:
swap(lyst, i, j)
else:
break
swap(lyst, i, right)
return i
def swap(lyst, i, j):
"""Exchanges the items at positions i and j."""
# You could say lyst[i], lyst[j] = lyst[j], lyst[i]
# but the following code shows what is really going on
temp = lyst[i]
lyst[i] = lyst[j]
lyst[j] = temp
def insertionSort(lyst, left, right):
i = left + 1
while i <= right:
itemToInsert = lyst[i]
j = i - 1
while j >= 0:
if itemToInsert < lyst[j]:
lyst[j + 1] = lyst[j]
j -= 1
else:
break
lyst[j + 1] = itemToInsert
i += 1STEP3
当Partition（划分）n个元素的子数组，产生包含了 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> n − 1 n-1 </math>n−1个元素和 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> 0 0 </math>0个元素时， 快速排序的最坏情况发生了。为了避免这种情况，通常会采用随机选择枢纽元的方式。
这里给出一个叫Median-of-Three Partitioning（三数中值分隔法）的方式，一句话来描述： 将子数组的左端、右端和中心位置上的三个元素的中值作为枢纽元。
这次先给出Python实现代码，稍后再给出解释说明：
py
#!/usr/bin/env python3
# quicksort.py
def quicksort(lyst):
quicksortHelper(lyst, 0, len(lyst) - 1)
def quicksortHelper(lyst, left, right):
if right - left <= 10:
return insertionSort(lyst, left, right)
pivotLocation = partition(lyst, left, right)
quicksortHelper(lyst, left, pivotLocation - 1)
quicksortHelper(lyst, pivotLocation + 1, right)
def partition(lyst, left, right):
median3(lyst, left, right)
pivot = lyst[right - 1]
i = left
j = right - 1
while True:
while True:
i = i + 1
if lyst[i] >= pivot:
break
while True:
j = j - 1
if lyst[j] <= pivot:
break
if i < j:
swap(lyst, i, j)
else:
break
swap(lyst, i, right - 1)
return i
def median3(lyst, left, right):
center = (left + right) // 2
if lyst[center] < lyst[left]:
swap(lyst, center, left)
if lyst[right] < lyst[left]:
swap(lyst, left, right)
if lyst[right] < lyst[center]:
swap(lyst, center, right)
swap(lyst, center, right - 1)
def swap(lyst, i, j):
"""Exchanges the items at positions i and j."""
# You could say lyst[i], lyst[j] = lyst[j], lyst[i]
# but the following code shows what is really going on
temp = lyst[i]
lyst[i] = lyst[j]
lyst[j] = temp
def insertionSort(lyst, left, right):
i = left + 1
while i <= right:
itemToInsert = lyst[i]
j = i - 1
while j >= 0:
if itemToInsert < lyst[j]:
lyst[j + 1] = lyst[j]
j -= 1
else:
break
lyst[j + 1] = itemToInsert
i += 1下图显示了median3（Median-of-Three）如何在一个包含10个元素的数组上进行操作的过程。
当median3调用完，枢纽元在子数组的从右数第二个元素（索引为 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> r − 1 r-1 </math>r−1），
子数组的左端元素（索引为 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> l l </math>l）小于枢纽元，
子数组的右端元素（索引为 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> r r </math>r）大于枢纽元，
所以Partition过程需要处理的区间就从原来的 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> [ l , r − 1 ] [l, r-1] </math>[l,r−1]（索引 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> r r </math>r为pivot）
变成 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> [ l + 1 , r − 2 ] [l+1, r-2] </math>[l+1,r−2]（索引 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> r − 1 r-1 </math>r−1为pivoit），而且由于左右端的元素可以作为哨兵元素，
所以对于索引 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> j j </math>j是否越过子数组左端的判断也可以去掉了。
至此，我们就用Python实现了一个相对完整快速排序算法。
最后给出所有实现的工程代码路径：
- 《算法导论》第7章原始版本
- 《算法导论》第7章Hoare partition版本，书中伪码有问题，已修正
- Hoare partition版本，枢纽元选成最右侧元素
- Hoare partition版本，枢纽元选成最右侧元素，小于等于10个元素的子数组用插入排序
- Hoare partition版本，枢纽元选成最右侧元素，小于等于10个元素的子数组用插入排序，Pivot选择采用Median-of-Three方法
参考文档：
- 《算法导论（原书第3版）》
- 《算法详解（卷1）------算法基础》
- 《算法：C语言实现(第1-4部分)基础知识、数据结构、排序及搜索（原书第3版）》
- 《算法Ⅰ～Ⅳ（C++实现）------基础、数据结构、排序和搜索（第三版）》
- 《数据结构与算法分析------C语言描述（原书第2版）》
- 《数据结构与算法分析------C++语言描述（第四版）》
- 《数据结构（Python语言描述）》