[蓝桥杯 2017 省 B] k 倍区间

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[蓝桥杯 2017 省 B] k 倍区间

题目描述

给定一个长度为 N N N 的数列， A 1 , A 2 , A 3 , . . , A N A_1,A_2,A_3,..,A_N A1,A2,A3,..,AN，如果其中一段连续的子序列 A i , A i + 1 , . . . , A j A_i,A_{i+1},...,A_j Ai,Ai+1,...,Aj 之和是 K K K 的倍数，我们就称这个区间 [ i , j ] [i,j] [i,j] 是 K K K倍区间。

你能求出数列中总共有多少个 K K K倍区间嘛？

输入格式

第一行包含两个整数 N N N 和 K K K。

以下 N N N 行每行包含一个整数 A i A_i Ai。

输出格式

输出一个整数，代表 K K K 倍区间的数目。

输入输出样例

输入

5 2

1

2

3

4

5

输出

6

数据范围

1 ≤ N , K ≤ 1 0 5 1 \leq N,K \leq 10^5 1≤N,K≤105
1 ≤ A i ≤ 1 0 5 1 \leq A_i \leq 10^5 1≤Ai≤105

解法：前缀和 + 哈希表

我们用 s s s 表示数列 a a a 的前 n n n 项和：

s [ 0 ] = 0 s[0] = 0 s[0]=0
s [ 1 ] = a [ 1 ] + 0 s[1] = a[1] + 0 s[1]=a[1]+0
s [ 2 ] = a [ 2 ] + a [ 1 ] + 0 s[2] = a[2] + a[1] + 0 s[2]=a[2]+a[1]+0
...

如果区间 [ i , j ] [i,j] [i,j] 是一个 K K K倍区间，那么显然 [ i , j ] [i,j] [i,j] 的区间和 s [ j ] − s [ i − 1 ] s[j] - s[i - 1] s[j]−s[i−1]是 K K K 的倍数，也就是 ( s [ j ] − s [ i − 1 ] ) % K = 0 (s[j] - s[i -1]) \% K = 0 (s[j]−s[i−1])%K=0，即 s [ j ] % K = s [ i − 1 ] % K s[j] \% K = s[i -1] \% K s[j]%K=s[i−1]%K，也就是 s [ j ] s[j] s[j] 模 K K K 的余数和 s [ i − 1 ] s[i-1] s[i−1] 模 K K K 的余数相等！

那么对于每一个 s [ j ] s[j] s[j]，我们只需要找到前面与 s [ j ] % K s[j] \% K s[j]%K 相同的前缀和的个数即可。

所以我们可以直接使用哈希表 m a p map map 来存储 s [ j ] % K s[j] \% K s[j]%K的出现次数。

为了不漏掉从第一个元素开始的 K K K倍区间的个数。初始时， m a p [ 0 ] = 1 map[0] = 1 map[0]=1。

时间复杂度： O ( n ) O(n) O(n)

C++代码：

cpp 复制代码

#include <iostream>
#include <vector>
#include <unordered_map>

using namespace std;

using LL = long long;

int main(){
    int n,k;
    cin>>n>>k;
    
    vector<int> a(n);
    for(int i = 0;i < n;i++) cin>>a[i];
    
    unordered_map<int,int> cnt;
    cnt[0] = 1;
    
    LL sum = 0, ans = 0;
    for(auto x:a){
        sum += x;
        int t = sum % k;
        ans += cnt[t];
        cnt[t]++;
    }
    
    cout<<ans<<'\n';
}

Java代码：

java 复制代码

import java.util.*;
import java.io.*;

public class Main {
	static BufferedReader in = new BufferedReader(new InputStreamReader(System.in));
	static int n;
	
	public static void main(String[] args) throws Exception 
	{
		String[] str = in.readLine().split(" ");
		n = Integer.parseInt(str[0]);
		int k = Integer.parseInt(str[1]);
		
		int[] a = new int[n];
		for(int i = 0;i < n;i++) a[i] = Integer.parseInt(in.readLine().trim());
		
		Map<Long,Integer> map = new HashMap<>();
		map.put(0L, 1);
		long sum = 0, ans = 0;
		
		for(int i = 0;i < n;i++) {
			sum += a[i];
			long t = sum % k;
			ans += map.getOrDefault(t, 0);
			map.put(t, map.getOrDefault(t, 0) + 1);
		}
		
		System.out.println(ans);
	}
}