引言
YouTubeDNN的排序模型在训练和推理阶段的目标是存在差异的，一个是输出加权LR，一个是输出幂，哪一个和宣称的用于预期观看时长都是不一致的，理论而言应该直接输出标量预测值比较合适。本文将尽量简单的介绍为什么这样做是合理的。
推导
推理阶段的输出是？
首先我们知道LR的输出是:
p = 1 1 + e w x + b p=\frac{1}{1+e^{wx+b}} p=1+ewx+b1
代指了我们要预测的概率输出值，而根据数学推导有：
e w x + b = p 1 − p e^{wx+b}=\frac{p}{1-p} ewx+b=1−pp
那么如果模型训练的足够好的话，那么推理阶段的输出应当为 p 1 − p \frac{p}{1-p} 1−pp(标准称呼为 O d d s Odds Odds)，也就是两个概率的比值，那么接下来只需要证明这两个概率的比值有观看时长的意义即可。
加权LR
实际YouTubeDNN使用的weighted LR, 加权的意义是说当模型接收了正点击样本的输入时，输出 p p p是加权点击率而非普通的点击率。普通点击率计算公式为所有展示样本中，用户点击的频次：
p ′ = k N p'=\frac{k}{N} p′=Nk
而加权点击率计算公式，总的观看时长除以分母，为：
p = ∑ i ∈ 点击 T i ∑ i ∈ 点击 T i + ( N − k ) p=\frac{\sum_{i\in 点击}T_i}{\sum_{i\in 点击}T_i+(N-k)} p=∑i∈点击Ti+(N−k)∑i∈点击Ti
令总观看时长为 T T T,那么化简可以得到:
p 1 − p = T N − k = T N ∗ 1 1 − k N = E ( T i ) 1 − p ′ \frac{p}{1-p}=\frac{T}{N-k}=\frac{T}{N}*\frac{1}{1-\frac{k}{N}}=\frac{E(T_i)}{1-p'} 1−pp=N−kT=NT∗1−Nk1=1−p′E(Ti)
又用户点击的频次非常少，分母约等于0，所以 p 1 − p ≈ E ( T i ) \frac{p}{1-p}\approx E(T_i) 1−pp≈E(Ti)。
那么 e w x + b = E ( T i ) e^{wx+b}=E(T_i) ewx+b=E(Ti)
参考
经典推荐算法学习（十）| Youtube DNN serving目标解析 | 从odds到Logit 、Logistic Regression
揭开YouTube深度推荐系统模型Serving之谜