支持向量机 SVM | 线性可分：软间隔模型

一. 软间隔模型

为了解决上述问题，我们引入软间隔的概念：

1. 松弛因子的解释

硬间隔：线性划分SVM中的硬间隔是距离度量；在线性划分SVM中，要求函数距离一定是大于等于1的，最大化硬间隔条件为： { m i n 1 2 ∥ w → ∥ 2 s . t ： y ( i ) ( ω T ⋅ x ( i ) + b ) ≥ 1 ， i = 1 , 2 , . . . , m \left\{\begin{matrix}min\frac{1}{2}\left \| \overrightarrow{w} \right \| ^{2} \\s.t： y^{(i)} (\omega ^{T}\cdot x^{(i)} +b)\ge1，i=1,2,...,m \end{matrix}\right. {min21 w 2s.t：y(i)(ωT⋅x(i)+b)≥1，i=1,2,...,m
软间隔：SVM对于训练集中的每个样本都引入一个松弛因子 (ξ)，使得函数距离加上松弛因子后的值是大于等于1； y ( i ) ( ω T ⋅ x ( i ) + b ) ≥ 1 − ξ ； i = 1 , 2 , . . . , m ， ξ ≥ 0 y^{(i)} (\omega ^{T}\cdot x^{(i)} +b)\ge1-\xi ；i=1,2,...,m，\xi\ge 0 y(i)(ωT⋅x(i)+b)≥1−ξ；i=1,2,...,m，ξ≥0

松弛因子(ξ)表示：相对于硬间隔，对样本到超平面距离的要求放松了

当 ξ = 0 ξ=0 ξ=0 ，相当于硬间隔

当 0 < ξ < 1 0<ξ<1 0<ξ<1 ，相当于样本点位于"街"内

当 ξ > 1 ξ>1 ξ>1 ，相当于样本点位于"街"对面

当 ξ > 2 ξ>2 ξ>2 ，相当于样本点位于"街"对面外侧

注意： ξ ξ ξ只能对少量的样本起作用

ξ ξ ξ越大，表示样本点离超平面越近，
ξ > 1 ξ>1 ξ>1，那么表示允许该样本点分错

因此：加入松弛因子是有成本的，过大的松弛因子可能会导致模型分类错误

所以，我们对存有异常点的数据集划分时，目标函数就变成了：
{ m i n 1 2 ∥ w → ∥ 2 + C ∑ i = 1 n ξ ( i ) y ( i ) ( ω T ⋅ x ( i ) + b ) ≥ 1 − ξ ( i ) ， i = 1 , 2 , . . . , m \left\{\begin{matrix}min\frac{1}{2}\left \| \overrightarrow{w} \right \| ^{2}+C\sum_{i=1}^{n} \xi _{(i)} \\ \\y^{(i)} (\omega ^{T}\cdot x^{(i)} +b)\ge1-\xi ^{(i)} ，i=1,2,...,m \end{matrix}\right. ⎩ ⎨ ⎧min21 w 2+C∑i=1nξ(i)y(i)(ωT⋅x(i)+b)≥1−ξ(i)，i=1,2,...,m
ξ i ≥ 0 ， i = 1 , 2 , . . . , m \xi{i}\ge 0，i=1,2,...,m ξi≥0，i=1,2,...,m

公式 C ∑ i = 1 n ξ ( i ) C\sum_{i=1}^{n} \xi _{(i)} C∑i=1nξ(i)表式：

每个样本惩罚项的总和不能大，函数中的C>0是惩罚参数，需要调参

C越大，表示对错误分类的惩罚越大，也就越不允许存在分错的样本；

C越小表示对误分类的惩罚越小，也就是表示允许更多的分错样本存在

也就是说：

对于完全线性可分的数据来说，C的值可以给大一点

对于线性可分但存在异常的数据来说，C的值需要调小

小节

对于线性可分的m个样本(x1,y1)，(x2,y2)... ：

	x为n维的特征向量
	y为二元输出，即+1，-1

SVM的输出为w，b，分类决策函数

选择一个惩罚系数C>0，构造约束优化问题

{ min ⁡ β ≥ 0 1 2 ∑ i = 1 m ∑ j = 1 m β i β j y ( i ) y ( j ) x ( j ) T x ( i ) − ∑ i = 1 m β i s . t : ∑ i = 1 m β i y ( i ) = 0 ， 0 ≤ β i ≤ C ， i = 1 , 2 , . . . , m \left\{\begin{matrix}\min_{\beta \ge 0}\frac{1}{2}\sum_{i=1}^{m}\sum_{j=1}^{m} \beta _{i}\beta {j} y^{(i)}y^{(j)}x^{(j)^{T}} x^{(i)}-\sum{i=1}^{m} \beta {i} \\s.t:\sum{i=1}^{m} \beta _{i} y^{(i)}=0，0\le \beta _{i}\le C，i=1,2,...,m \end{matrix}\right. {minβ≥021∑i=1m∑j=1mβiβjy(i)y(j)x(j)Tx(i)−∑i=1mβis.t:∑i=1mβiy(i)=0，0≤βi≤C，i=1,2,...,m

使用SMO算法求出上述最优解 β \beta β

找到所有支持向量集合：
S = ( x ( i ) , y ( i ) ) ( 0 < β i < C , i = 1 , 2 , . . . , m ) S = (x^{(i)}, y^{(i)}) (0<\beta_{i} < C,i=1,2,...,m) S=(x(i),y(i))(0<βi<C,i=1,2,...,m)

从而更新w，b

w = ∑ i = 1 m β i x ( i ) y ( i ) w=\sum_{i=1}^{m} \beta _{i} x^{(i)}y^{(i)} w=∑i=1mβix(i)y(i)

b = 1 S ∑ i = 1 S ( y s − ∑ i = 1 m β i x ( i ) T y ( i ) x s ) b=\frac{1}{S} \sum_{i=1}^{S}(y^{s}- \sum_{i=1}^{m} \beta _{i} x^{(i)^{T}}y^{(i)}x^{s} ) b=S1∑i=1S(ys−∑i=1mβix(i)Ty(i)xs)

构造最终的分类器，为：
f ( x ) = s i g n ( w ∗ x + b ) f(x)=sign(w\ast x+b) f(x)=sign(w∗x+b)

	x<0时，y=-1
	x=0时，y=0
	x>0时，y=1
	
	注意：
		假设，不会出现0
		若出现，正负样本随意输出一个，即+0.00000001或-0.00000001都可以

2. SVM软间隔模型总结

	可以解决线性数据中存在异常点的分类模型构建问题
	
	通过引入松弛因子，可以增加模型的泛化能力，即鲁棒性；
	
	对于模型而言：
		如果给定的惩罚项系数C越小，表示在模型构建的时候，就允许存在越多的分类错误的样本，也就表示此时模型的准确率会比较低；
		如果惩罚项系数越大，表示在模型构建的时候，就越不允许存在分类错误的样本，也就表示此时模型的准确率会比较高。

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一. 软间隔模型

1. 松弛因子的解释

小节

2. SVM软间隔模型总结