最短路dp，LeetCode 1976. 到达目的地的方案数

一、题目

1、题目描述

你在一个城市里，城市由 n 个路口组成，路口编号为 0 到 n - 1 ，某些路口之间有双向道路。输入保证你可以从任意路口出发到达其他任意路口，且任意两个路口之间最多有一条路。

给你一个整数 n 和二维整数数组 roads ，其中 roads[i] = [ui, vi, timei] 表示在路口 ui 和 vi 之间有一条需要花费 timei 时间才能通过的道路。你想知道花费 最少时间 从路口 0 出发到达路口 n - 1 的方案数。

请返回花费 最少时间 到达目的地的 路径数目 。由于答案可能很大，将结果对 109 + 7 取余后返回。

2、接口描述

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class Solution {
public:
    int countPaths(int n, vector<vector<int>>& roads) {

    }
};

3、原题链接

1976. 到达目的地的方案数

二、解题报告

1、思路分析

比较经典的最短路问题

对于所有的最短路上的每一个点都满足沿着路径到源点的距离最短

思考我们的Dijkstra算法，只有dist $u$ + w < dist $v$ 时会更新，而对于dist $u$ + w = dist $v$ 的情况选择略去，而我们如果利用这一点便可以累加最短路数目

定义f $u$ 为s到u的最短路数目

执行Dijkstra

如果dist $u$ + w < dist $v$ ，那么f $v$ = f $u$ ，更新距离的同时v入堆

如果dist $u$ + w = dist $v$ ，那么f $v$ += f $u$ ，不更新距离也不入堆

2、复杂度

时间复杂度：O(mlogm) 空间复杂度：O(m)

3、代码详解

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class Solution {
public:
typedef long long ll;
typedef pair<ll, ll> pll;
ll f[205], dist[205], mod = 1e9 + 7;
    int countPaths(int n, vector<vector<int>>& roads) {
        vector<vector<pll>> g(n);
        for(auto& e : roads) g[e[0]].emplace_back(e[1], e[2]), g[e[1]].emplace_back(e[0], e[2]);
        
        memset(f, 0, sizeof f), memset(dist, 0x3f, sizeof dist);
        priority_queue<pll, vector<pll>, greater<pll>> pq;
        dist[0] = 0, f[0] = 1, pq.emplace(0, 0);
        
        while(pq.size()){
            auto [d, u] = pq.top(); pq.pop();
            if(d > dist[u]) continue;
            for(auto [v, w] : g[u]){
                if(d + w < dist[v]) f[v] = f[u], pq.emplace(dist[v] = d + w, v);
                else if(d + w == dist[v]) f[v] = (f[v] + f[u]) % mod;
            }
        }
        return f[n - 1];
    }
};