AVL树讲解

AVL树

• [1. 概念](#1. 概念)
• [2. AVL节点的定义](#2. AVL节点的定义)
• [3. AVL树插入](#3. AVL树插入)
• • [3.1 旋转](#3.1 旋转)
• 4.AVL树的验证

1. 概念

1. AVL树是一种自平衡二叉搜索树 。它的每个节点的左子树和右子树的高度差（平衡因子，我们这里按右子树高度减左子树高度）的绝对值不超过1。
2. AVL的左子树和右子树都是AVL树。
3. 比起二叉搜索树AVL树可以很好的优化二叉搜索树最坏的情况，使查询的效率达到O（log2 N）。

2. AVL节点的定义

和搜索二叉树节点相比，AVL树节点多了一个父节点和平衡因子（不是必要）需要维护。

template<class T>
typedef struct AVLTreeNode
{
	AVLTreeNode(const T& data)
	:_pLeft(nullptr)
	,_pRight(nullptr)
	,_pParent(nullptr)
	,_data(data)
	,_bf(0)
	{};
	//左节点、右节点、父节点
	AVLTreeNode<T>* _pLeft;
	AVLTreeNode<T>* _pRight;
	AVLTreeNode<T>* _pParent;
	T _data;
	//平衡因子
	int bf;
};

3. AVL树插入

和搜索二叉树的插入操作相比较，AVL树的插入需要多维护父节点和平衡因子。维护父节点比较简单，我们需要学习的是维护平衡因子。

当我们按照搜索二叉树的逻辑插入一个节点后，在插入这个节点之前父节点的平衡因子可能是-1/0/1这三种，如果该节点插入到父节点的左边需要将平衡因子减1，插入到右边则加1。所以插入之后平衡因子有这几种情况±1/0/±2。如果是±1，那么需要继续判断上面节点的平衡因子、如果是0，那么不需要判断了、如果是±2，那么就需要进行旋转操作。

3.1 旋转

我们先说结论：1、旋转之后节点所在子树的高度会回到插入之前。2、旋转不会对上面节点平衡因子产生影响。

1. 右单旋
   初始情况：
   

// 右单旋
	void RotateR(Node* pParent)
	{
		Node* parent = pParent->_parent;
		//变成局部的根
		Node* pParentL = pParent->_left;
		Node* pParentR = pParentL->_right;
		if (pParent == _proot)
			_proot = pParentL;

		pParent->_left = pParentR;
		if (pParentR)
			pParentR->_parent = pParent;
		pParentL->_left = pParent;
		pParent->_parent = pParentL;
		pParentL->_parent = parent;

		//只需要修改pParent和pParentL的平衡因子
		pParent->_bf = 0;
		pParentL->_bf = 0;

		return;
	}

旋转之后情况

2. 左单旋
   初始情况：
   

// 左单旋
	void RotateL(Node* pParent)
	{
		Node* parent = pParent->_parent;
		//变成局部的根
		Node* pParentR = pParent->_right;
		Node* pParentL = pParentR->_left;
		//如果pParnet为根，则要修改根
		if (pParent == _proot)
			_proot = pParentR;
		pParent->_right = pParentL;
		if (pParentL)
			pParentL->_parent = pParent;
		pParentR->_left = pParent;
		pParent->_parent = pParentR;
		pParentR->_parent = parent;

		//只需要修改pParent和pParentR的平衡因子
		pParent->_bf = 0;
		pParentR->_bf = 0;

		return;
	}

旋转之后的情况：

3. 左右双旋
   初始情况（插入可以插入到左边或右边，情况不同平衡因子也会不同）：
   

// 左右双旋
	void RotateLR(Node* pParent)
	{
		Node* pParentL = pParent->_left;
		Node* pParentLR = pParentL->_right;
		int bf = pParentLR->_bf;
		RotateL(pParentL);
		RotateR(pParent);
		if (bf == 0)
		{
			pParent->_bf = 0;
			pParentL->_bf = 0;
			pParentLR->_bf = 0;
		}
		else if (bf == 1)
		{
			pParentL->_bf = -1;
			pParentLR->_bf = 0;
			pParent->_bf = 0;
		}
		else if (bf == -1)
		{
			pParentL->_bf = 0;
			pParent->_bf = 1;
			pParentLR->_bf = 0;
		}

		return;
	}

旋转之后的情况：

4. 右左双旋转
   初始情况：
   

// 右左双旋
	void RotateRL(Node* pParent)
	{
		Node* pParnetR = pParent->_right;
		Node* pParentRL = pParnetR->_left;
		int bf = pParentRL->_bf;
		RotateR(pParnetR);
		RotateL(pParent);

		if (bf == 0)
		{
			pParent->_bf = 0;
			pParnetR->_bf = 0;
			pParentRL->_bf = 0;
		}
		else if (bf == -1)
		{
			pParent->_bf = 0;
			pParnetR->_bf = 1;
			pParentRL->_bf = 0;
		}
		else if (bf == 1)
		{
			pParent->_bf = -1;
			pParnetR->_bf = 0;
			pParentRL->_bf = 0;
		}
		return;
	}

旋转之后的情况：

4.AVL树的验证

1. 验证为二叉搜索树
   中序遍历得到有序的序列就可以证明为二叉搜索树。
2. 验证为平衡树
   看平衡因子

bool _IsBalance(Node* root, int& height)
	{
		if (root == nullptr)
		{
			height = 0;
			return true;
		}

		int leftHeight = 0, rightHeight = 0;
		if (!_IsBalance(root->_left, leftHeight) 
			|| !_IsBalance(root->_right, rightHeight))
		{
			return false;
		}

		if (abs(rightHeight - leftHeight) >= 2)
		{
			cout <<root->_kv.first<<"不平衡" << endl;
			return false;
		}

		if (rightHeight - leftHeight != root->_bf)
		{
			cout << root->_kv.first <<"平衡因子异常" << endl;
			return false;
		}

		height = leftHeight > rightHeight ? leftHeight + 1 : rightHeight + 1;

		return true;
	}