Leetcode 583. 两个字符串的删除操作
题目链接：583 两个字符串的删除操作
题干： 给定两个单词
word1和word2，返回使得word1和word2相同 所需的最小步数。每步可以删除任意一个字符串中的一个字符。
**思考：**动态规划。本题中的步数可以看作删除字母，使得两单词最终处理为相同字母组。
- 确定dp数组（dp table）以及下标的含义
dpij：使得 以i - 1结尾的单词word1和以j - 1结尾的单词word2 相同所需的最小步数。
- 确定递推公式
从dpij的定义可以看出，字母比较就两种情况
- 当word1i - 1 与 word2j - 1相同的时候
- 当word1i - 1 与 word2j - 1不相同的时候
当word1i - 1 与 word2j - 1相同的时候，dpij = dpi - 1j - 1;
当word1i - 1 与 word2j - 1不相同的时候，有三种情况：
情况一：删word1i - 1，最少操作次数为dpi - 1j + 1
情况二：删word2j - 1，最少操作次数为dpij - 1 + 1
情况三：同时删word1i - 1和word2j - 1，最少的操作次数为dpi - 1j - 1 + 2
当然要取最小值，所以当word1i - 1 与 word2j - 1不相同的时候，递推公式：dpij = min({dpi - 1j - 1 + 2, dpi - 1j + 1, dpij - 1 + 1});
又因为 dpij - 1 + 1 = dpi - 1j - 1 + 2，所以递推公式可简化为：dpij = min(dpi - 1j + 1, dpij - 1 + 1);
- dp数组如何初始化
从递推公式中，可以看出来，dpi0 和 dp0j是一定要初始化的。
dpi0：word2为空字符串，以i-1为结尾的字符串word1要删除多少个元素，才能和word2相同呢，很明显dpi0 = i。同理 dp0j = j。
- 确定遍历顺序
从递推公式 dpij = min(dpi - 1j, dpij - 1) + 1; 和dpij = dpi - 1j - 1可以看出dpij都是根据左上方、正上方、正左方推出来的。
所以遍历的时候一定是从上到下，从左到右，这样保证dpij可以根据之前计算出来的数值进行计算。
- 举例推导dp数组
举例：word1:"sea"，word2:"eat"，推导dp数组状态图如下：
代码：
cpp
class Solution {
public:
int minDistance(string word1, string word2) {
//dp[i][j]:使得 以i - 1结尾的单词word1和以j - 1结尾的单词word2 相同所需的最小步数
vector<vector<int>> dp(word1.size() + 1, vector<int>(word2.size() + 1));
for (int i = 1; i <= word1.size(); i++) //单词word2为空的情况
dp[i][0] = i;
for (int j = 1; j <= word2.size(); j++) //单词word1为空的情况
dp[0][j] = j;
for (int i = 1; i <= word1.size(); i++) { //遍历单词word1
for(int j = 1; j <= word2.size(); j++) { //遍历单词word2
if (word1[i - 1] == word2[j - 1])
dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1]; //字母相同则无需无需删除字母
else
dp[i][j] = min(dp[i][j - 1], dp[i - 1][j]) + 1; //字母不相同则选一单词删除字母，取最小值
}
}
return dp[word1.size()][word2.size()];
}
};思考： 动态规划。本题也可以从求公共子序列入手，要删除的元素个数（即步数）为两单词长度减去两倍公共子序列长度。具体如何求公共子序列：1143 最长公共子序列。
代码：
cpp
class Solution {
public:
int minDistance(string word1, string word2) {
//dp[i][j]:单词word1的处理区间[0, i - 1]与单词word2的处理区间[0, j - 1]中，存在的最长公共子序列的长度
vector<vector<int>> dp(word1.size() + 1, vector<int>(word2.size() + 1, 0));
for (int i = 1; i <= word1.size(); i++) { //遍历单词word1
for (int j = 1; j <= word2.size(); j++) { //遍历单词word2
if (word1[i - 1] == word2[j - 1])
//当前处理两字母相等 则 取两单词均缩小处理区间的最长公共子序列长度加一
dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1;
else
//当前处理两字母不相等 则 取任选一单词缩小处理区间的最长公共子序列长度，两长度中的较大值
dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]);
}
}
return word1.size() + word2.size() - 2 * dp[word1.size()][word2.size()]; //两单词去除最长公共子序列
}
};Leetcode 72. 编辑距离
题目链接：72 编辑距离
题干： 给你两个单词
word1和word2， 请返回将word1转换成word2所使用的最少操作数 。你可以对一个单词进行如下三种操作：
- 插入一个字符
- 删除一个字符
- 替换一个字符
**思考：**动态规划。本题要先想清楚：真正要求的是将word1和word2变成相同单词的操作次数。
题干中删除word1字母的操作 可以等价为 插入word2字母的操作；插入word1字母的操作 可以等价为 删除word2字母的操作。下面就直接考虑删除操作不考虑插入操作。
因此本题与上题的区别在 确定递推公式中：
当word1i - 1 与 word2j - 1不相同的时候，有不同的三种操作：
情况一：删word1i - 1，最少操作次数为dpi - 1j + 1
情况二：删word2j - 1(同向word1中插入)，最少操作次数为dpij - 1 + 1
情况三：替换word1i - 1，最少的操作次数为dpi - 1j - 1 + 1
当然要取最小值，所以当word1i - 1 与 word2j - 1不相同的时候，递推公式：dpij = min({dpi - 1j - 1 + 1, dpi - 1j + 1, dpij - 1 + 1});
代码：
cpp
class Solution {
public:
int minDistance(string word1, string word2) {
//dp[i][j]:对以i- 1结尾的单词word1和以j - 1结尾的单词word2操作，让处理后两单词相同的最少操作次数
vector<vector<int>> dp(word1.size() + 1, vector<int>(word2.size() + 1));
for (int i = 0; i <= word1.size(); i++) //单词word2为空的情况
dp[i][0] = i;
for (int j = 1; j <= word2.size(); j++) //单词word1为空的情况
dp[0][j] = j;
for (int i = 1; i <= word1.size(); i++) { //遍历单词word1
for (int j = 1; j <= word2.size(); j++) { //遍历单词word2
if (word1[i - 1] == word2[j - 1])
//当前两字母相同则不用处理
dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1];
else
//当前两字母不同则考虑替换word1的字母，删除word1的字母以及删除word2的字母
dp[i][j] = min(dp[i - 1][j - 1], min(dp[i - 1][j], dp[i][j -1])) + 1;
}
}
return dp[word1.size()][word2.size()];
}
};自我总结：
理解公共子序列问题的关键在于删除操作，两字符串的操作含义同dp数组的含义变化而变化。动态规划是在每次操作中考虑每种情况，统一处理。