【洛谷 P9242】[蓝桥杯 2023 省 B] 接龙数列题解（线性DP+二维数组）

$蓝桥杯 2023 省 B$ 接龙数列

题目描述

对于一个长度为 K K K 的整数数列： A 1 , A 2 , ... , A K A_{1},A_{2},\ldots,A_{K} A1,A2,...,AK，我们称之为接龙数列当且仅当 A i A_{i} Ai 的首位数字恰好等于 A i − 1 A_{i-1} Ai−1 的末位数字（ 2 ≤ i ≤ K 2 \leq i \leq K 2≤i≤K）。

例如 12 , 23 , 35 , 56 , 61 , 11 12,23,35,56,61,11 12,23,35,56,61,11 是接龙数列； 12 , 23 , 34 , 56 12,23,34,56 12,23,34,56 不是接龙数列，因为 56 56 56 的首位数字不等于 34 34 34 的末位数字。所有长度为 1 1 1 的整数数列都是接龙数列。

现在给定一个长度为 N N N 的数列 A 1 , A 2 , ... , A N A_{1},A_{2},\ldots,A_{N} A1,A2,...,AN，请你计算最少从中删除多少个数，可以使剩下的序列是接龙序列？

输入格式

第一行包含一个整数 N N N。

第二行包含 N N N 个整数 A 1 , A 2 , ... , A N A_{1},A_{2},\ldots,A_{N} A1,A2,...,AN。

输出格式

一个整数代表答案。

样例 #1

样例输入 #1

复制代码

5
11 121 22 12 2023

样例输出 #1

复制代码

提示

【样例说明】

删除 22 22 22，剩余 11 , 121 , 12 , 2023 11,121,12,2023 11,121,12,2023 是接龙数列。

【评测用例规模与约定】

对于 20 % 20 \% 20% 的数据， 1 ≤ N ≤ 20 1 \leq N \leq 20 1≤N≤20。

对于 50 % 50 \% 50% 的数据， 1 ≤ N ≤ 1 0 4 1 \leq N \leq 10^4 1≤N≤104。

对于 100 % 100 \% 100% 的数据， 1 ≤ N ≤ 1 0 5 1 \leq N \leq 10^{5} 1≤N≤105， 1 ≤ A i ≤ 1 0 9 1 \leq A_{i} \leq 10^{9} 1≤Ai≤109。所有 A i A_{i} Ai 保证不包含前导 0。

蓝桥杯 2023 省赛 B 组 E 题。

思路

使用一维数组a来存储输入的序列，每个元素是一个整数的首尾数字对。使用了二维数组dp，dp[i][j]表示到下标i，以数字j结尾的最长接龙序列的长度。

首先读取输入的序列长度n，然后读取序列，将每个元素的首尾数字对存入数组a。

接下来，使用动态规划来计算最长接龙序列的长度。对于第i个元素，遍历所有可能的末尾数字j。

状态转移方程如下：

如果末尾数字 j 等于当前数字对 a[i] 的末尾数字，那么状态 dp[i][j] 取 dp[i - 1][j] 和 dp[i - 1][a[i].first] + 1 中的较大值。这表示，如果可以在当前数字对 a[i] 的首位数字后接上 j，那么就可以选择接上 j，并使得接龙序列的长度增加 1；否则，就保持原来以 j 结尾的接龙序列不变。

d p $i$ $j$ = max ⁡ ( d p $i - 1$ $j$ , d p $i - 1$ $a \[ i$ . f i r s t ] + 1 ) , if j = = a $i$ . s e c o n d dp $i$ $j$ = \max(dp $i - 1$ $j$ , dp $i - 1$ $a\[i$ .first] + 1), \text{ if } j == a $i$ .second dp $i$ $j$ =max(dp $i-1$ $j$ ,dp $i-1$ $a\[i$ .first]+1), if j==a $i$ .second

如果末尾数字 j 不等于当前数字对 a[i] 的末尾数字，那么状态 dp[i][j] 等于 dp[i - 1][j]。这表示，不能在当前数字对 a[i] 的首位数字后接上 j，所以保持原来以 j 结尾的接龙序列不变。

d p $i$ $j$ = d p $i - 1$ $j$ , if j ≠ a $i$ . s e c o n d dp $i$ $j$ = dp $i - 1$ $j$ , \text{ if } j \neq a $i$ .second dp $i$ $j$ =dp $i-1$ $j$ , if j=a $i$ .second

最后，遍历dp[n]，找出最长的接龙序列长度m，输出n - m，即最少需要删除的数的个数。

AC代码

cpp 复制代码

#include <algorithm>
#include <iostream>
#define mp make_pair
#define AUTHOR "HEX9CF"
using namespace std;
using ll = long long;
using pii = pair<int, int>;

const int N = 1e6 + 7;
const int INF = 0x3f3f3f3f;
const ll MOD = 1e9 + 7;

int n;
pii a[N];
// 到下标i，以j结尾的最长接龙序列
ll dp[N][15];

int main() {
	ios::sync_with_stdio(0);
	cin.tie(0);
	cout.tie(0);

	cin >> n;
	for (int i = 1; i <= n; i++) {
		string s;
		cin >> s;
		a[i] = {*s.begin() - '0', *s.rbegin() - '0'};
	}

	for (int i = 1; i <= n; i++) {
		for (int j = 0; j <= 9; j++) {
			if (j == a[i].second) {
				dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][a[i].first] + 1);
			} else {
				dp[i][j] = dp[i - 1][j];
			}
		}
	}

	ll m = 0;
	for (int j = 0; j <= 9; j++) {
		m = max(m, dp[n][j]);
	}
	cout << n - m << "\n";
	return 0;
}

【洛谷 P9242】[蓝桥杯 2023 省 B] 接龙数列 题解（线性DP+二维数组）

蓝桥杯 2023 省 B 接龙数列