DS-红黑树(RBTree)

爱蜜莉雅丶Emilia2024-03-23 19:07

一.红黑树

1.1 红黑树的起源

当对对AVL树做一些结构修改的操作时候，性能较为低下，比如：插入时要维护其绝对平衡，旋转的次数比较多，更差的是在删除时，有可能一直要让旋转持续到根的位置。

因此1972年Rudolf Bayer提出的对称二叉B树（Symmetric Binary B-Trees），随后在1978年Leo J. Guibas和Robert Sedgewick的工作中进一步发展和完善，最终形成了现代意义上的红黑树，它通过简单的规则和较少的旋转操作实现了有效的自平衡，广泛应用于各类需要高效查找、插入和删除操作的场合，例如在Java集合框架中的TreeMap和TreeSet类，以及哈希表中解决冲突时采用的链表+红黑树混合结构。

1.2 红黑树的概念

红黑树，是一种二叉搜索树，但在每个结点上增加一个存储位表示结点的颜色，可以是Red或Black。 通过对任何一条从根到叶子的路径上各个结点着色方式的限制，红黑树确保没有一条路径会比其他路径长出两倍，因而是接近平衡的。

红黑树具有以下性质：

  1. 每个结点不是红色就是黑色
  2. 根节点是黑色的
  3. 如果一个节点是红色的，则它的两个孩子结点是黑色的
  4. 对于每个结点，从该结点到其所有后代叶结点的简单路径上，均包含相同数目的黑色结点
  5. 每个叶子结点都是黑色的(此处的叶子结点指的是空结点)

1.3 红黑树节点的定义

cpp 复制代码 
enum Color
{
	RED,
	BLACK
};
 
template<typename T>
struct RBTreeNode
{
	RBTreeNode(const T& data)
		: _left(nullptr)
		, _right(nullptr)
		, _parent(nullptr)
		, _data(data)
		, _col(RED)
	{}

	RBTreeNode<T>* _left;
	RBTreeNode<T>* _right;
	RBTreeNode<T>* _parent; //父节点
	
	T _data;
	Color _col; //颜色
};

1.4 红黑树的插入

红黑树是在二叉搜索树的基础上加上其平衡限制条件，因此红黑树的插入可分为两步:

  1. 按照二叉搜索的树规则插入新节点。
  2. 检测新节点插入后，红黑树的性质是否造到破坏。
cpp 复制代码 
bool insert(const T& data)
{
	if (_root == nullptr)
	{
		_root = new Node(data);
		return true;
	}
	Node* grandparent = nullptr;
	Node* uncle = nullptr;
	Node* parent = nullptr;
	Node* cur = _root;
	while (cur)
	{
		parent = cur;
		if (data < cur->_data)
		{
			cur = cur->_left;
		}
		else if (data > cur->_data)
		{
			cur = cur->_right;
		}
		else
		{
			return false;
		}
	}
	cur = new Node(data);
	if (data < parent->_data)
	{
		parent->_left = cur;
	}
	else if (data > parent->_data)
	{
		parent->_right = cur;
	}
	else
	{
		assert(false);
	}
	cur->_parent = parent;
	while (parent && parent->_col == RED)
	{
		grandparent = parent->_parent;
		if (grandparent)
		{
			if (parent == grandparent->_left)
			{
				uncle = grandparent->_right;
			}
			else
			{
				uncle = grandparent->_left;
			}
		}
		else
		{
			break;
		}
		if (uncle && uncle->_col == RED)
		{
			parent->_col = BLACK;
			uncle->_col = BLACK;
			grandparent->_col = RED;
			cur = grandparent;
		}
		else
		{
			cur = Rotate(grandparent, parent, cur);
		}
		parent = cur->_parent;
		_root->_col = BLACK;
	}
	return true;
}

大致思路如下:
以下简称插入节点为cur，cur的父节点为parent，parent的父节点为grandparent，parent的兄弟节点为uncle。

  1. 先先按照二叉搜索树的规则将节点插入到红黑树中，节点颜色为红色。
  2. 插入后，红黑树的性质可能遭到破坏，此时就要根据红黑树的性质进行检测。
  3. cur插入后，如果parent颜色为黑色，则没有破坏红黑树的性质，插入结束。
  4. 若parent为红色，则此时有两种情况(uncle为红，uncle为黑/uncle不存在)
    1. uncle为红时，将parent和uncle变为黑色，grandparent变为红色，然后把grandparent视为cur，继续向上调整。
    2. uncle为黑/uncle不存在时，进行旋转。 (旋转在1.5处详细解释)

1.5 红黑树的旋转

此处的旋转与AVL树的旋转思路较为相似。

当uncle为黑/uncle不存在时，parent为cur的（左/右）孩子且parent为grandparent的（左/右）孩子，进行（右单旋）/（左单旋）。
右单旋

cpp 复制代码 
void RotateR(Node* parent)
{
	Node* ppnode = parent->_parent;
	Node* cur = parent->_left;
	Node* cur_right = cur->_right;

	if (ppnode)
	{
		if (ppnode->_left == parent)
		{
			ppnode->_left = cur;
		}
		else if (ppnode->_right == parent)
		{
			ppnode->_right = cur;
		}
		else
		{
			assert(false);
		}
	}
	else
	{
		_root = cur;
	}
	cur->_parent = ppnode;

	parent->_left = cur_right;
	if (cur_right)
	{
		cur_right->_parent = parent;
	}

	cur->_right = parent;
	parent->_parent = cur;
}

左单旋

cpp 复制代码 
void RotateL(Node* parent)
{
	Node* ppnode = parent->_parent;
	Node* cur = parent->_right;
	Node* cur_left = cur->_left;

	if (ppnode)
	{
		if (ppnode->_right == parent)
		{
			ppnode->_right = cur;
		}
		else if (ppnode->_left == parent)
		{
			ppnode->_left = cur;
		}
		else
		{
			assert(false);
		}
	}
	else
	{
		_root = cur;
	}
	cur->_parent = ppnode;

	parent->_right = cur_left;
	if (cur_left)
	{
		cur_left->_parent = parent;
	}

	cur->_left = parent;
	parent->_parent = cur;
}

当uncle为黑/uncle不存在时，parent为cur的（右/左）孩子且parent为grandparent的（左/右）孩子，进行（右单旋）/（左单旋）。

cpp 复制代码 
Node* Rotate(Node* grandparent, Node* parent, Node* cur)
{
	if (parent == grandparent->_left)
	{
		if (cur == parent->_left)
		{
			RotateR(grandparent);
			parent->_col = RED;
			grandparent->_col = BLACK;
			cur->_col = BLACK;
			return parent;
		}
		else
		{
			RotateL(parent);
			RotateR(grandparent);
			parent->_col = BLACK;
			grandparent->_col = BLACK;
			cur->_col = RED;
			return cur;
		}
	}
	else
	{
		if (cur == parent->_left)
		{
			RotateR(parent);
			RotateL(grandparent);
			parent->_col = BLACK;
			grandparent->_col = BLACK;
			cur->_col = RED;
			return cur;
		}
		else
		{
			RotateL(grandparent);
			parent->_col = RED;
			grandparent->_col = BLACK;
			cur->_col = BLACK;
			return parent;
		}
	}

1.6 红黑树的特点与应用

  1. 红黑树是一棵不追求绝对平衡的二叉搜索树，其只需保证最长路径不超过最短路径的2倍，降低了插入和旋转的次数，所以在经常进行增删的结构中性能比AVL树更优。
  2. 红黑树在C++ STL库中 map/set 等结构中充当底层结构，据说在java中哈希表中的哈希桶下的链表长度超过一定的阈值时，也会转换为红黑树提高效率。使得在处理大量冲突键时，极大的缓解了链表过长导致的哈希表查找效率退化。

1.7 完整代码

cpp 复制代码 
#pragma once
#include <iostream>
#include <assert.h>
using namespace std;

enum Color
{
	RED,
	BLACK
};
 
template<typename T>
struct RBTreeNode
{
	RBTreeNode(const T& data)
		: _left(nullptr)
		, _right(nullptr)
		, _parent(nullptr)
		, _data(data)
		, _col(RED)
	{}

	RBTreeNode<T>* _left;
	RBTreeNode<T>* _right;
	RBTreeNode<T>* _parent;
	
	T _data;
	Color _col;
};

template<typename T>
class RBTree
{
public:


	typedef RBTreeNode<T> Node;
	
	RBTree()
		:_root(nullptr)
	{}

	bool insert(const T& data)
	{
		if (_root == nullptr)
		{
			_root = new Node(data);
			return true;
		}
		Node* grandparent = nullptr;
		Node* uncle = nullptr;
		Node* parent = nullptr;
		Node* cur = _root;
		while (cur)
		{
			parent = cur;
			if (data < cur->_data)
			{
				cur = cur->_left;
			}
			else if (data > cur->_data)
			{
				cur = cur->_right;
			}
			else
			{
				return false;
			}
		}
		cur = new Node(data);
		if (data < parent->_data)
		{
			parent->_left = cur;
		}
		else if (data > parent->_data)
		{
			parent->_right = cur;
		}
		else
		{
			assert(false);
		}
		cur->_parent = parent;
		while (parent && parent->_col == RED)
		{
			grandparent = parent->_parent;
			if (grandparent)
			{
				if (parent == grandparent->_left)
				{
					uncle = grandparent->_right;
				}
				else
				{
					uncle = grandparent->_left;
				}
			}
			else
			{
				break;
			}
			if (uncle && uncle->_col == RED)
			{
				parent->_col = BLACK;
				uncle->_col = BLACK;
				grandparent->_col = RED;
				cur = grandparent;
			}
			else
			{
				cur = Rotate(grandparent, parent, cur);
			}
			parent = cur->_parent;
			_root->_col = BLACK;
		}
		return true;
	}

	Node* get_Root()
	{
		return _root;
	}

	bool checkColour(Node* root, int blacknum, int benchmark)
	{
		if (root == nullptr)
		{
			if (blacknum != benchmark)
				return false;

			return true;
		}

		if (root->_col == BLACK)
		{
			++blacknum;
		}

		if (root->_col == RED && root->_parent && root->_parent->_col == RED)
		{
			cout << root->_data << "出现连续红色节点" << endl;
			return false;
		}

		return checkColour(root->_left, blacknum, benchmark)
			&& checkColour(root->_right, blacknum, benchmark);
	}

	bool isBalance()
	{
		return isBalance(_root);
	}

	int height()
	{
		return height(_root);
	}
private:

	Node* _root;

	void RotateR(Node* parent)
	{
		Node* ppnode = parent->_parent;
		Node* cur = parent->_left;
		Node* cur_right = cur->_right;

		if (ppnode)
		{
			if (ppnode->_left == parent)
			{
				ppnode->_left = cur;
			}
			else if (ppnode->_right == parent)
			{
				ppnode->_right = cur;
			}
			else
			{
				assert(false);
			}
		}
		else
		{
			_root = cur;
		}
		cur->_parent = ppnode;

		parent->_left = cur_right;
		if (cur_right)
		{
			cur_right->_parent = parent;
		}

		cur->_right = parent;
		parent->_parent = cur;
	}

	void RotateL(Node* parent)
	{
		Node* ppnode = parent->_parent;
		Node* cur = parent->_right;
		Node* cur_left = cur->_left;

		if (ppnode)
		{
			if (ppnode->_right == parent)
			{
				ppnode->_right = cur;
			}
			else if (ppnode->_left == parent)
			{
				ppnode->_left = cur;
			}
			else
			{
				assert(false);
			}
		}
		else
		{
			_root = cur;
		}
		cur->_parent = ppnode;

		parent->_right = cur_left;
		if (cur_left)
		{
			cur_left->_parent = parent;
		}

		cur->_left = parent;
		parent->_parent = cur;
	}

	Node* Rotate(Node* grandparent, Node* parent, Node* cur)
	{
		if (parent == grandparent->_left)
		{
			if (cur == parent->_left)
			{
				RotateR(grandparent);
				parent->_col = RED;
				grandparent->_col = BLACK;
				cur->_col = BLACK;
				return parent;
			}
			else
			{
				RotateL(parent);
				RotateR(grandparent);
				parent->_col = BLACK;
				grandparent->_col = BLACK;
				cur->_col = RED;
				return cur;
			}
		}
		else
		{
			if (cur == parent->_left)
			{
				RotateR(parent);
				RotateL(grandparent);
				parent->_col = BLACK;
				grandparent->_col = BLACK;
				cur->_col = RED;
				return cur;
			}
			else
			{
				RotateL(grandparent);
				parent->_col = RED;
				grandparent->_col = BLACK;
				cur->_col = BLACK;
				return parent;
			}
		}
	}

	bool isBalance(Node* root)
	{
		if (root == nullptr)
			return true;

		if (root->_col != BLACK)
		{
			return false;
		}

		// 基准值
		int benchmark = 0;
		Node* cur = _root;
		while (cur)
		{
			if (cur->_col == BLACK)
				++benchmark;

			cur = cur->_left;
		}

		return checkColour(root, 0, benchmark);
	}

	int height(Node* root)
	{
		if (root == nullptr)
			return 0;

		int leftHeight = height(root->_left);
		int rightHeight = height(root->_right);

		return leftHeight > rightHeight ? leftHeight + 1 : rightHeight + 1;
	}
};

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如有错误，随时纠正，谢谢大家

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