【No.17】蓝桥杯图论上|最短路问题|Floyd算法|Dijkstra算法|蓝桥公园|蓝桥王国(C++)

图的基本概念

图:

  • 由点(node,或者 vertex)和连接点的边(edge)组成。
  • 图是点和边构成的网。
    树:
  • 特殊的图
  • 树,即连通无环图树的结点从根开始,层层扩展子树,是一种层次关系,这种层次关系,保证了树上不会出现环路。
  • 两点之间的路径:有且仅有一条路径。
  • 最近公共祖先。
图应用背景
  • 地图:路口、道路、过路费
  • 计算机网络:路由协议
  • 人际关系:六度空间理论
图的种类
  1. 无向无权图,边没有权值、没有方向;
  2. 有向无权图,边有方向、无权值;
  3. 加权无向图,边有权值,但没有方向;
  4. 加权有向图;
  5. 有向无环图(Directed Acyclic Graph,DAG)。
图算法的时间分析

图算法的复杂度和边的数量 E、点的数量 V 相关。

O(V+E):几乎是图问题中能达到的最好程度。

O(VlogE)、O(ElogV):很好的算法。

O(V^2)、O(E^2)或更高:不算是好的算法。

图的存储

能快速访问:图的存储,能让程序很快定位结点 uv 的边(u, v)

  • 数组存边:简单、空间使用最少;无法快递定位
  • 邻接矩阵:简单、空间使用最大;定位最快 dis[a][b]
  • 邻接表:空间很少,定位较快
  • 链式前向星:空间更少,定位较快
    注: 存储方式跟题目相匹配,占用空间少定位快也不一定是问题的最优存储方式。
数组存边

优点:简单、最省空间。

缺点:无法定位某条边。

应用:bellman-ford 算法、最小生成树的 kruskal 算法

c++ 复制代码
struct Edge
{
    int from, to, dis;  //from起始点,to终止点,dis权值
}e[M]; //结构体数组存边

cin >> n >> m;

for(int i = 1; i <= m; ++ i)
    cin >> e[i].from >> e[i].to >> e[i].dis;
邻接矩阵

二维数组: graph[NUM][NUM]

无向图: graph[i][j] = graph[j][i]

有向图: graph[i][j] != graph[j][i]

权值: graph[i][j]存结点i到j的边的权值。 例如 graph[1][2]=3,graph[2][1]=5等等。 用 graph[i][j]=INF表示i,j之间无边。

优点:
  • 适合稠密图;
  • 编码非常简短;
  • 对边的存储、查询、更新等操作又快又简单。
缺点:
  • 存储复杂度 O(V^2)太高。V=10000 时,空间 100M。
  • 不能存储重边。
邻接表和链式前向星

邻接表(指针或数组下标)和链式前向星(容器模拟)的思路一样,只是表达方式不同。

应用场景:大稀疏图

优点:
  • 存储效率非常高,存储复杂度O(V+E)
  • 能存储重边
c 复制代码
struct edge{
    int from, to; long long w; //起点,终点,权值。起点from并没有用到,e[i]的i就是from
    edge(int a, int b,long long c){from=a; to=b; w=c;}
};
vector<edge>e[N];          //用于存储图

最短路问题

最广为人知的图论问题就是最短路径问题。

简单图的最短路径

  • 树上的路径:任意 2 点之间只有一条路径
  • 所有边长都为 1 的图:用 BFS 搜最短路径,复杂度 O(n+m)
    普通图的最短路径
  • 边长:不一定等于 1,而且可能为负数
  • 算法:FloydDijkstraSPFA 等,各有应用场景,不可互相替代
最短路算法比较
问题 边权 算法 时间复杂度
一个起点,一个终点 非负数; 无边权(或边权为 1) Astar(K短路)/ 普通 <O((m+n)logn)
双向广搜 <O((m+n)logn)
贪心最优搜索 <O(m+n)
一个起点到其他所有点 无边权(或边权为 1) BFS O(m+n)
非负数 Dijkstra(堆优化 优先队列) O((m+n)logn)
允许有负数 SPFA <O(mn)
所有点对之间 允许有负数 Floyd-Warshall O(n^3)

什么算法也不能解决存在负环图的最短路的问题!最多是判断是否存在,或者找到负环。

网站推荐:CSAcademy Graph Editor

方便图论的学习。

Floyd 算法

  • 最简单的最短路径算法,代码仅有 4 行
  • 存图:最简单的矩阵存图
  • 易懂,比暴力的搜索更简单易懂。
  • 效率不高,不能用于大图
  • 在某些场景下有自己的优势,难以替代。能做传递闭包问题(离散数学)
c 复制代码
for(int k = 1; k <= n; k ++)         //floyd的三重循环
    for(int i = 1; i <= n; i ++)
        for(int j = 1; j <= n; j ++)      // k循环在i、j循环外面
            dp[i][j] = min(dp[i][j], dp[i][k] + dp[k][j]);

Floyd算法多源最短路算法,一次计算能得到图中每一对结点之间(多对多)的最短路径。
DijkstraBellman-FordSPFA算法:单源最短路径算法(Single source shortest path algorithm),一次计算能得到一个起点到其他所有点(一对多)的最短路径。

Floyd 算法思想:动态规划

Floyd 算法的原理

  • 动态规划:求图上两点 ij 之间的最短距离,按"从小图到全图"的步骤,在逐步扩大图的过程中计算和更新最短路。
  • 定义状态:dp[k][i][j],i、j、k是点的编号,范围 1 ~ n。状态dp[k][i][j]表示在包含 1 ~ k 点的子图上,点对 i、j 之间的最短路。
  • 状态转移方程:从子图 1 ~ k-1 扩展到子图 1 ~ k
  • dp[k][i][j]= min(dp[k−1][i][j], dp[k−1][i][k]+dp[k−1][k][j])

首先是包含 1 ~ k-1 点的子图。
dp[k−1][i][j]:不包含 k 点子图内的点对 i、j 的最短路;
dp[k−1][i][k]+dp[k−1][k][j]:经过 k 点的新路径的长度,即这条路径从 i 出发,先到 k,再从 k 到终点 j

比较:不经过 k 的最短路径dp[k−1][i][j]和经过 k 的新路径,较小者就是新的dp[k][i][j]

所以 Floyd 的原理就是每次引入一个新的点,用它去更新其他点的最短距离。

k1 逐步扩展到 n:最后得到的dp[n][i][j]是点对 i、j 之间的最短路径长度。

初值dp[0][i][j]:若 i、j 是直连的,就是它们的边长;若不直连,赋值为无穷大。
i、j 是任意点对:计算结束后得到了所有点对之间的最短路。

dp[k][i][j] = min(dp[k−1][i][j], dp[k−1][i][k]+dp[k−1][k][j])

用滚动数组简化:dp[i][j] = min(dp[i][j], dp[i][k]+dp[k][j])

for (int k = 1; k <= n; k ++)  //floyd的三重循环
	for (int i = 1; i <= n; i ++)
		for (int j = 1; j <= n; j ++)  //k循环在i、j循环的外面
			dp[i][j] = min(dp[i][j], dp[i][k]+dp[k][j]);
			//比较:不经过k、经过k

特点:

  • 在一次计算后求得所有结点之间的最短距离。
  • 代码极其简单,是最简单的最短路算法。
  • 效率低下,计算复杂度是 O(n^3),只能用于 n < 300 的小规模的图。
  • 存图用邻接矩阵 dp[][] 。因为 Floyd 算法计算的结果是所有点对之间的最短路,本身就需要 n^2 的空间,用矩阵存储最合适。
  • 能判断负圈。
    • 负圈:若图中有权值为负的边,某个经过这个负边的环路,所有边长相加的总长度也是负数,这就是负圈。在这个负圈上每绕一圈,总长度就更小,从而陷入在负圈上兜圈子的死循环。
    • Floyd 算法很容易判断负圈,只要在算法运行过程出现任意一个 dp[i][i] < 0 就说明有负圈。因为 dp[i][i] 是从 i 出发,经过其他中转点绕一圈回到自己的最短路径,如果小于零,就存在负圈。
蓝桥公园

【题目描述】

小明来到了蓝桥公园。已知公园有N个景点,景点和景点之间一共有M条道路。小明有Q个观景计划,每个计划包含一个起点st和一个终点ed,表示他想从st去到ed。但是小明的体力有限,对于每个计划他想走最少的路完成,你可以帮帮他吗?

【输入描述】

输入第一行包含三个正整数N,M,Q。

第2到M+1行每行包含三个正整数u,v,w,表示 u、v之间存在一条距离为w的路。

第M+2到M+Q-1行每行包含两个正整类st,ed,其含义如题所述

1≤N≤400,1≤M≤NX(N-1)/2,Q≤10^3, 1≤u,v,st,ed≤n, 1≤w≤10^9

【输出描述】

输出共Q行,对应输入数据中的查询。若无法从st到达ed则输出-1。

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;
const long long INF = 0x3f3f3f3f3f3f3f3fLL; 
//这样定义INF的好处是:INF <= INF+x 防止溢出
const int N= 405;
long long dp[N][N];
int n, m, q;

void input(){

}
void floyd()
{
	for(int k = 1; k <= n; k ++)
		for(int i = 1; i <= n; i ++)
			for(intj = 1; j <= n; j ++)
				dp[i][j]= min(dp[i][j], dp[i][k] + dp[k][j]);
}
int main()
{
	cin >> n>> m >> q;
	memset(dp, 0x3f, sizeof(dp));     //初始化
	for(int i = 1; i <= m; i ++)
	{
		int u, v;
		long long w;
		cin >> u >> V >> W;
		dp[u][v] = dp[v][u] = min(dp[u][v], w);   //防止有重边
	}
	floyd();
	while(q --)
	{
	int s, t;
	cin >> s >> t;
	if(dp[s][t] == INF)
		cout << "-1" << endl;
	else if(s == t)
		cout << "0" << endl;  //如果不这样,dp[il[i]不等于0
	else 
		cout << dp[s][t] << endl;
	return 0;
}

Dijkstra 算法

  • Dijkstra:单源最短路径问题。
  • 优点:非常高效而且稳定。
  • 缺点:只能处理不含有负权边的图。
  • 思路:贪心思想+优先队列。
算法思想

Dijkstra 算法算是贪心思想实现的,

首先把起点到所有点的距离存下来找个最短的,然后松弛一次再找出最短的,

所谓的松弛操作就是,遍历一遍看通过刚刚找到的距离最短的点作为中转站会不会更近,如果更近了就更新距离,这样把所有的点找遍之后就存下了起点到其他所有点的最短距离。

为什么是每次都是找最小的?

因为最小边的不会被其它的点松弛,只有可能最小边去松弛别人。

如果存在一个点 K 能够松弛 ab 的话那么一定有 ak 距离加上 kb 的距离小于 ab,已知 ab 最短,所以不存在 ak+kb<ab。

Dijkstra 算法应用了贪心法的思想,即"抄近路走,肯定能找到最短路径"。

算法高效稳定:

  • Dijkstra 的每次迭代,只需要检查上次已经确定最短路径的那些结点的邻居,检查范围很小,算法是高效的;
  • 每次迭代,都能得到至少一个结点的最短路径,算法是稳定的

优先队列实现:

  • 每次往队列中放新数据时,按从小到大的顺序放,采用小顶堆的方式,复杂度是 O(logn),保证最小的数总在最前面;
  • 找最小值,直接取 B 的第一个数,复杂度是 O(1)。
  • 复杂度:用优先队列时,Dijkstra 算法的复杂度是 O(mlogn),是最高效的最短路算法。

维护两个集合:已确定最短路径的结点集合 A、这些结点向外扩散的邻居结点集合 B

  1. 把起点 s 放到 A 中,s-s的距离是0,相当于找到第一条最短路径,用这条最短路去松弛,把 s 所有的邻居放到 B 中。此时,邻居到 s 的距离就是直连距离。

  2. B 中找出距离起点 s 最短的结点 u,放到 A 中。

  3. u 所有的新邻居放到 B 中。显然,u 的每一条边都连接了一个邻居,每个新邻居都要加进去。其中 u 的一个新邻居 v,它到 s 的距离 dis(s, v) 等于 dis(s, u) + dis(u, v)。(要和原始距离dis(s, v)去比较)

  4. 重复(2)、(3),直到 B 为空时,结束。
    ![[Pasted image 20240325172845.png]]

    A{1}; B{3, 10};
    //会从3开始去扩展,因为3是最短的
    A{1, 6}; B{3, 10, 4, 9};
    //把6节点放进去,6到5是1,6到4是6,1到5是4,1到4是9
    //把2节点放进去,6到2是2,1到2是5
    A{1, 6}; B{3, 10, 4, 9, 5};
    //排序后,从3开始,已经用6把所有松弛完了,所以3就没有了,从4开始
    //到5这个点是4,所以把5加进来,用5这个点做松弛,5不能做松弛,因为到所有点都是正无穷
    A{1, 6, 5}; B{10, 9, 5};
    //用B里的5去松弛,从2开始,2到4是5,2到3是7,1到4是10,1到3是12
    //之前的10被松弛了,1到6到2是5,1到2是10
    //接下来用4这个点松弛,1到6到2到4到3是14,比12大,松弛不了
    //下来用12去松弛...

Dijkstra 的局限性是边的权值不能为负数:

Dijkstra 基于 BFS,计算过程是从起点 s 逐步往外扩散的过程,每扩散一次就用贪心得到到一个点的最短路。

扩散要求路径越来越长,如果遇到一个负权边,会导致路径变短,使扩散失效。

蓝桥王国 lanqiaoOJ 题号 1122

题目描述

蓝桥王国一共有N 个建筑和M 条单向道路,每条道路都连接着两个建筑,每个建筑都有自己编号,分别为 1∼N。(其中皇宫的编号为 1)国王想让小明回答从皇宫到每个建筑的最短路径是多少,但紧张的小明此时已经无法思考,请你编写程序帮助小明回答国王的考核。
输入描述

输入第一行包含 2 个正整数 N,M。

第 2 到 M+1 行每行包含三个正整数 u,v,w,表示 u→v 之间存在一条距离为 w 的路。

1≤N≤3×10^5,1≤M≤10^6,1≤ui​,vi​≤N,0≤wi​≤10^9。
输出描述

输出仅一行,共 N 个数,分别表示从皇宫到编号为 1∼N 建筑的最短距离,两两之间用空格隔开。(如果无法到达则输出 −1)

解题思路:

本题为单源最短路的模板题,直接套模板即可,本题我们采用 Dijkstra。

cpp 复制代码
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const long long INF = 0x3f3f3f3f3f3f3f3fLL;
//这样定义INF的好处是: INF <= INF+x

const int N= 3e5+2;
struct edge{
    int from, to; long long w; //起点,终点,权值。起点from并没有用到,e[i]的i就是from
    edge(int a, int b,long long c){from=a; to=b; w=c;}
};
vector<edge>e[N];          //用于存储图
//定义一个排序准则
struct s_node{
    int id; long long n_dis;   //id:结点;n_dis:这个结点到起点的距离
    s_node(int b,long long c){id=b; n_dis=c;}
    bool operator < (const s_node & a) const
    { return n_dis > a.n_dis;}
};

int n,m;
int pre[N];                                //记录前驱结点,用于生成路径
void print_path(int s, int t) {            //打印从s到t的最短路
    if(s==t){ printf("%d ", s); return; }  //打印起点
    print_path(s, pre[t]);                 //先打印前一个点
    printf("%d ", t);                      //后打印当前点。最后打印的是终点t
}
long long  dis[N];         //记录所有结点到起点的距离
void dijkstra(){
    int s = 1;             //起点s是1
    bool done[N]; //done[i]=true表示到结点i的最短路径已经找到
    for (int i = 1; i <= n; i ++) 
    {
	    dis[i]=INF;   
	    done[i]=false; 
	}    //初始化,所有的距离都初始化为无穷大,都没找到
    dis[s]=0;                           //起点到自己的距离是0
    priority_queue <s_node> Q;          //优先队列,存结点信息
    Q.push(s_node(s, dis[s]));          //起点进队列,用它去松弛
    //当队列不为空的情况下
    while (!Q.empty())   {
        //每次在B中去一个最小值
        s_node u = Q.top();             //pop出距起点s距离最小的结点u
        Q.pop();            //取队头,用队头去松弛
        if(done[u.id])  continue;       //丢弃已经找到最短路径的结点。即集合A中的结点
        done[u.id]= true;//没有找到的话,就说明没有被用过,把它标记为使用
        //用它去松弛所有的点
        for (int i=0; i<e[u.id].size(); i++) {  //检查结点u的所有邻居
            edge y = e[u.id][i];         //u.id的第i个邻居是y.to
            if(done[y.to])  continue;    //丢弃已经找到最短路径的邻居结点
            if (dis[y.to] > y.w + u.n_dis) {
                dis[y.to] = y.w + u.n_dis;
                Q.push(s_node(y.to, dis[y.to]));  //扩展新的邻居,放到优先队列中
                //被松弛的点,再放到B的数列中来
                pre[y.to]=u.id;  //如果有需要,记录路径
            }
        }
    }
    // print_path(s,n);          //如果有需要,打印路径: 起点1,终点n
}
int main()
{
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for (int i=1;i<=n;i++)    e[i].clear();  //清空
    while (m--) {
        int u, v, w;  
        scanf("%d%d%lld", &u, &v, &w);
        e[u].push_back(edge(u, v, w));
        //以u为起点,vector里面放了uvw
     // e[v].push_back(edge(v, u, w));    
     //本题是单向道路,不需要建反边
    }
    dijkstra();
    for(int i=1;i<=n;i++){
        if(dis[i]>=INF)  cout<<"-1 ";
        else   printf("%lld ", dis[i]);
    }
}
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