高阶数据结构 ＜红黑树＞

ARMCSKGT2024-03-27 19:59

本文已收录至《数据结构(C/C++语言)》专栏！
作者：ARMCSKGT

目录

前言

红黑树是二叉搜索树的一种，但是红黑树是性能最均衡应用场景最广的一种二叉搜索树，相对于AVL树来说，红黑树在旋转条件上并不是很严格，但是依然可以有非常出色的查找性能，这得益于红黑树的性质，本节将为大家介绍红黑树的基本性质。

正文

本文相关知识点：二叉搜索树(搜索树性质)，AVL树(旋转相关)

如果大家对二叉搜索树性质不熟悉 或者对树的旋转调整不熟悉，可以先移步这两篇文章就行了解！

红黑树简介

红黑树是在1972年由Rudolf Bayer 发明的，当时被称为平衡二叉B树（symmetric binary B-trees）。后来，在1978年被 Leo J. Guibas 和 Robert Sedgewick 修改为如今的"红黑树"。

红黑树，是一种二叉搜索树，但在每个结点上增加一个存储位表示结点的颜色，可以是Red或Black。 通过对任何一条从根到叶子的路径上各个结点着色方式的限制，红黑树确保没有一条路径会比其他路径长出俩倍，因而是接近平衡的。

前面我们介绍了AVL树，AVL树有着极其严格的平衡标准，这使得AVL树在某些极端情况下可能会频繁旋转导致插入和删除性能下降，而红黑树只有在极度不平衡下才会调整，对于红黑树来说，极度不平衡就是最长路径大于最短路径的两倍！

红黑树的性质：

  • 每个节点不是黑色就是红色
  • 根节点是黑色
  • 如果一个节点是红色的，则它的两个孩子结点是黑色的（不存在连续的红色节点，例如父子节点都是红色）
  • 每条路径上叶子节点都是黑色的（红黑树中空节点NIL可以理解为叶子节点，这个叶节点没有特殊意思，方便判断）
  • 每条路径上的黑色节点数量相同

按照红黑树的性质，可以知道：

上图中，如果是AVL树就需要进行左单旋降低高度，而红黑树则不需要调整。

可以说，最短路径是全黑节点，最长路径是红黑相间。

因为最长路径的节点数量不能超过最短路径节点数量的两倍，所以 黑节点数量大于等于红节点数量。

我们一般在使用容器时，增删查改是都会出现的，如果使用AVL树，查找性能非常好，但是插入性能就一般了，所以一般语言标准中的容器都会使用红黑树，性能比较均衡，而AVL树则时候那些只读的静态数据，专门用于查询！

关于实际的性能差距，假设二叉树有n个节点，AVL树查询的时间复杂度为O( l o g 2 n log_2n log2n)；红黑树查询的最优效率为O( l o g 2 n log_2n log2n)，最差效率为O( 2 l o g 2 n 2log_2n 2log2n)。 l o g 2 n log_2n log2n和 2 l o g 2 n 2log_2n 2log2n这两个数值的差距，对于计算机来说可以忽略不计，假设有10亿，也仅仅是30和60次查找的差别！

红黑树整体结构

红黑树需要定义节点，比较函数和红黑树类主体，所以分为三部分，封装在红黑树命名空间中！

对于比较函数，我们使用仿函数控制，使用模板参数传参，默认K类型参数为比较对象，使用者也可以自己按要求实现比较函数，按自己的比较规则控制红黑树。

同时，我们在头文件中实现，为了防止重复包含，使用 #ifndef~#endif 来就行条件编译。

cpp 复制代码 
#ifndef RB_TREE
#define RB_TREE
#include <iostream>

namespace RB_Tree
{
	typedef bool Color;         //重定义定义bool为颜色类型
	const bool RED = true;      //定义 true 为 RED 常量值 对应红色节点
	const bool BLACK = false;   //定义 false 为 BLACK 常量值 对应黑色节点
	template<class K, class V>
	struct RBTreeNode
	{
		//红黑树节点成员
	};

	//默认比较仿函数
	template<class T>
	struct less { bool operator()(const T& left, const T& right) { return left < right; } };
	template<class T>
	struct greater { bool operator()(const T& left, const T& right) { return left > right; } };

	//红黑树类主体
	template<class K, class V, class Compare = less<K>>
	class RBTree
	{
		//红黑树类主体成员
	};
}

#endif // !RB_TREE

红黑树节点的定义

红黑树依然是三叉链结构，需要一个父节点指针，同时有一个颜色节点来区分红黑节点。

这里红黑节点采用bool值区分，true为红，false为黑。

我们采用key-value键值对模型来构造红黑树，形成映射关系(搜索树类容器属于关系型容器)。

这里的键值对，我们采用C++标准库提供的pair对象来实现。

代码：

cpp 复制代码 
struct RBTreeNode
{
	typedef std::pair <K, V> val_type;
	RBTreeNode()
		: _parent(nullptr)
		, _left(nullptr)
		, _right(nullptr)
		, _col(RED)
	{}

	RBTreeNode(const val_type& data)
		: _parent(nullptr)
		, _left(nullptr)
		, _right(nullptr)
		, _data(data)
		, _col(RED)
	{}

	RBTreeNode<K, V>* _parent;
	RBTreeNode<K, V>* _left;
	RBTreeNode<K, V>* _right;
	val_type          _data;
	Color			  _col; //bool类型 true=red false=black
};

关于节点的默认颜色：

新节点的插入，有可能会违反规则，分为下面两种情况：

  • 如果是插入黑节点，那么所有路径的黑色节点不相等，此时需要花费大量时间对黑色节点进行调整！
  • 如果是插入红色节点，则会造成连续红色节点的的出现，需要变色和旋转。

对于上面的情况，我们必须选择违背其中一个，然后想办法恢复，怎么选择取决于那个的恢复成本比较小。

如果是选择插入黑节点，那么一个节点的插入可能会影响所有路径的黑色节点（全局影响），如果是插入红色节点，最坏的情况仅需要旋转到根即可（局部影响），显而易见，插入红节点的恢复成本更小，如果需要调整所有路径的黑色节点，是非常复杂的！

控制红色节点是必然，如果出现连续的红色节点，那么就不能保证红黑相间，最长路径必然大于最短路径的两倍，而每条路径上黑色节点数量相同，即使是出现连续的黑色节点，在同一层都是连续的，那么每条路径的黑色节点也相同，性质可以得以维持！

所以我们默认插入红色节点，然后对其进行局部调整！

红黑树主体类设计

红黑树类主体对pair<K,V>对象重定义为val_type，对RBTreeNode<K, V>重定义为Node，方便使用。

其成员变量只需要一个根节点指针_root，一个_size记录节点数量，一个_com比较函数即可。

为了防止内存泄漏，我们事先实现了节点释放函数，使用 后序遍历+递归 逐一删除节点。

cpp 复制代码 
//红黑树类主体设计
template<class K, class V, class Compare = less<K>>
class RBTree
{
	typedef std::pair <K, V> val_type;
	typedef RBTreeNode<K, V> Node;
public:
	RBTree()
		:_root(nullptr)
		, _size(0)
	{}

	~RBTree()
	{
		DelTree(_root);
		_root = nullptr;
	}

private:
	//删除树
	void DelTree(Node* root)
	{
		if (root == nullptr) return;
		DelTree(root->_left);
		DelTree(root->_right);
		delete root;
	}

private:
	Node* _root;  //根节点
	size_t _size; //节点数量
	Compare _com;  //比较函数
};

我们自己实现的红黑树，与STL库中的有一定区别，我们主要介绍插入思想，插入思想上与库中基本相似，但是在结构设计上有一定区别，这里要提一下的是，STL中的红黑树有一个头节点 ，其左子树指针指向树中的最小值节点（最左节点），右子树指针指向最大值节点（最右节点），这样好处在于，设计迭代器时，遍历不需要找最左和最右节点，以及对遍历到结尾的条件判断要简单一点，但是我们这里主要介绍红黑树的插入原理，所以使用简单的结构就行 。

当然，我们本节介绍的并非上图的红黑树，而是不带header的！

红黑树的插入函数

红黑树的插入流程与二叉搜索树相似，只不过多了调整环节。

插入流程：

  • 判断根节点是否为空，如果为空则直接插入根节点
  • 找最合适的插入位置（插入到哪个父节点下），与每个节点相比较，通过比较函数决定向左子树走还是向右子树走
  • 找到合适的父节点后，通过比较函数选择插入到父节点的左边还是右边
  • 判断父节点颜色，决定是否需要染色或调整

为了方便理解，我们先介绍一下节点关系，一张图说明：

代码：

cpp 复制代码 
pair<val_type, bool> insert(const val_type& data)
{
	//为空插入根节点
	if (nullptr == _root)
	{
		Node* newnode = new Node(data);
		_root = newnode;
	}
	else //否则开始找插入位置
	{
		Node* newnode = new Node(data);
		Node* parent = _root;
		Node* cur = _root;
		while (cur)
		{
			if (_com(data.first, cur->_data.first))      // <
			{
				parent = cur;
				cur = cur->_left;
			}
			else if (_com(cur->_data.first, data.first)) // >
			{
				parent = cur;
				cur = cur->_right;
			}
			else return { data,false };      // ==
		}
		//新节点插入合适的父节点下
		if (_com(data.first, parent->_data.first)) parent->_left = newnode;
		else parent->_right = newnode;
		newnode->_parent = parent;
		cur = newnode;

		//开始调整
		while (parent && parent->_col == RED)
		{
			//祖父节点
			Node* grandfather = parent->_parent;
			//叔叔节点
			Node* uncle = nullptr;
			//调整 ... 
		}
	}

	++_size;
	_root->_col = BLACK; //无论怎么调整 根节点总是黑色
	return { data,true };
}

说明：

  • 插入函数的返回值为pair对象key-value类型，表示数据data是否插入成功，插入成功时second为true，失败则为false。
  • 每次成功插入节点时，都将_size+1，用作计数（如果设计返回节点数量的接口，该变量可以大大优化效率，否则需要对整棵树进行遍历）。
  • 每次插入成功返回前都将根节点_root的颜色置为BLACK，以确保根节点一直为黑（染色调整可能会修改根节点颜色）。

关于调整：
调整的关键是看 父节点 和 叔叔节点 ！

  • 如果父节点为黑节点，则直接插入，不需要进行任何调整
  • 如果父节点为红色，则需要去看叔叔节点，如果叔叔节点也为红色，则直接变色然后继续向上调整即可
  • 如果父节点为红色，叔叔节点为黑色或不存在，则需要进行 旋转+变色 调整。

因为左区间和右区间的判断条件对称，所以我们左右一起介绍。

下面介绍时因为祖父单词过长，简写为gf！

情况一：变色

父节点和叔叔节点都为红色此时需要变色

如果新节点插入后，父节点（parent）和叔叔节点（uncle）的颜色都为黑色，则可以将父节点和叔叔节点变为黑色，祖父节点（grandfather）变为红色来解决！

不过在变色后，如果祖父节点是其他树的子树，则需要继续向上调整，将祖父节点作为新插入节点继续检查 ，因为祖父节点变成红色后可能其曾祖父也是红色，此时还需要继续判断和调整，如果曾祖父是黑色或不存在，则停止调整即可！

代码：

cpp 复制代码 
if (grandfather->_left == parent)
{
	//父节点是祖父的左 叔叔就是祖父的右
	uncle = grandfather->_right;
	if (uncle && uncle->_col == RED)
	{
		grandfather->_col = RED;
		parent->_col = uncle->_col = BLACK;
		uncle->_col = BLACK;
		//继续检查和调整
		cur = grandfather;
		parent = grandfather->_parent;
	}
	else if (uncle == nullptr || uncle->_col == BLACK)
	{
		//旋转+染色
	}
}
else if (grandfather->_right == parent)
{
	//父节点是祖父的右 叔叔就是祖父的左
	uncle = grandfather->_left;
	if (uncle && uncle->_col == RED)
	{
		grandfather->_col = RED;
		parent->_col = BLACK;
		uncle->_col = BLACK;
		//继续检查和调整
		cur = grandfather;
		parent = grandfather->_parent;
	}
	else if (uncle == nullptr || uncle->_col == BLACK)
	{
		//旋转+染色
	}
}

这里主要是通过祖父指针分辨父节点和叔叔节点的位置，以做不同操作！

情况二：变色+旋转

叔叔不存在或叔叔为黑色此时需要旋转和变色

有些情况下染色并不能保持性质，此时需要旋转降低高度！

情况二可以由情况一产生，变色后祖父和曾祖父为连续的红色节点！

在AVL树中，旋转分为单旋和双旋，如果插入在左子树的左和右子树的右，不平衡的情况直接分别进行右单旋和左单旋即可；如果插入在左子树的右和右子树的左，不平衡的情况直接分别进行左右双旋和右左双旋即可！

涉及旋转都需要注意新增节点的插入位置，才能进行对应的旋转！

旋转后就需要调整节点的颜色，以符合红黑树的性质！
当旋转和染色结束后，直接跳出调整即可，不需要继续向上检测！

单旋情况

如果插入位置在左子树的左和右子树的右 且叔叔节点不存在或存在且为黑节点，此时需要进行单旋和变色调整！

图示：
左单旋+染色

右单旋+染色

代码：

cpp 复制代码 
if (grandfather->_left == parent)
{
	uncle = grandfather->_right;
	if (uncle && uncle->_col == RED)
	{
		//单纯染色
	}
	else if (uncle == nullptr || uncle->_col == BLACK)
	{
		if (parent->_left == cur)
		{
			//右单旋
			RotateR(grandfather);
			parent->_col = BLACK;
			grandfather->_col = RED;
		}
		else if (parent->_right == cur)
		{
			//左右双旋
		}
		//旋转完后整树平衡 直接跳出
		break;
	}
}
else if (grandfather->_right == parent)
{
	uncle = grandfather->_left;
	if (uncle && uncle->_col == RED)
	{
		//单纯染色
	}
	else if (uncle == nullptr || uncle->_col == BLACK)
	{
		if (parent->_right == cur)
		{
			//左单旋
			RotateL(grandfather);
			grandfather->_col = RED;
			parent->_col = BLACK;
		}
		else if (parent->_left == cur)
		{
			//右左双旋
		}
		//旋转完成后整树趋于平衡
		break;
	}
}
双旋情况

如果插入位置在左子树的右和右子树的左 且叔叔节点不存在或存在且为黑节点，此时需要进行双旋和变色调整！

图示：
右左双旋+变色

右左双旋+变色

代码：

cpp 复制代码 
if (grandfather->_left == parent)
{
	uncle = grandfather->_right;
	if (uncle && uncle->_col == RED)
	{
		//染色+调整
	}
	else if (uncle == nullptr || uncle->_col == BLACK)
	{
		if (parent->_left == cur)
		{
			//右单旋+染色
		}
		else if (parent->_right == cur)
		{
			//左右双旋+染色
			RotateL(parent);
			RotateR(grandfather);
			cur->_col = BLACK;
			grandfather->_col = RED;
		}
		//旋转完后整树平衡 直接跳出
		break;
	}
}
else if (grandfather->_right == parent)
{
	uncle = grandfather->_left;
	if (uncle && uncle->_col == RED)
	{
		//染色+调整
	}
	else if (uncle == nullptr || uncle->_col == BLACK)
	{
		if (parent->_right == cur)
		{
			//左单旋+变色
		}
		else if (parent->_left == cur)
		{
			//右左双旋+染色
			RotateR(parent);
			RotateL(grandfather);
			grandfather->_col = RED;
			cur->_col = BLACK;
		}
		//旋转完成后整树趋于平衡
		break;
	}

完整插入代码

cpp 复制代码 
pair<val_type, bool> insert(const val_type& data)
{
	if (nullptr == _root)
	{
		Node* newnode = new Node(data);
		_root = newnode;
	}
	else
	{
		Node* newnode = new Node(data);
		Node* parent = _root;
		Node* cur = _root;
		while (cur)
		{
			if (_com(data.first, cur->_data.first))      // <
			{
				parent = cur;
				cur = cur->_left;
			}
			else if (_com(cur->_data.first, data.first)) // >
			{
				parent = cur;
				cur = cur->_right;
			}
			else return { data,false };      // ==
		}

		if (_com(data.first, parent->_data.first)) parent->_left = newnode;
		else parent->_right = newnode;
		newnode->_parent = parent;
		cur = newnode;

		while (parent && parent->_col == RED)
		{
			//祖父节点
			Node* grandfather = parent->_parent;
			//叔叔节点
			Node* uncle = nullptr;
			//调整
			if (grandfather->_left == parent)
			{
				uncle = grandfather->_right;
				if (uncle && uncle->_col == RED)
				{
					grandfather->_col = RED;
					parent->_col = uncle->_col = BLACK;
					uncle->_col = BLACK;
					//继续染色
					cur = grandfather;
					parent = grandfather->_parent;
				}
				else if (uncle == nullptr || uncle->_col == BLACK)
				{
					if (parent->_left == cur)
					{
						//右单旋
						RotateR(grandfather);
						parent->_col = BLACK;
						grandfather->_col = RED;
					}
					else if (parent->_right == cur)
					{
						//左右双旋
						RotateL(parent);
						RotateR(grandfather);
						cur->_col = BLACK;
						grandfather->_col = RED;
					}
					//旋转完后整树平衡 直接跳出
					break;
				}
			}
			else if (grandfather->_right == parent)
			{
				uncle = grandfather->_left;
				if (uncle && uncle->_col == RED)
				{
					grandfather->_col = RED;
					parent->_col = BLACK;
					uncle->_col = BLACK;
					//继续染色
					cur = grandfather;
					parent = grandfather->_parent;
				}
				else if (uncle == nullptr || uncle->_col == BLACK)
				{
					if (parent->_right == cur)
					{
						//左单旋
						RotateL(grandfather);
						grandfather->_col = RED;
						parent->_col = BLACK;
					}
					else if (parent->_left == cur)
					{
						//右左双旋
						RotateR(parent);
						RotateL(grandfather);
						grandfather->_col = RED;
						cur->_col = BLACK;
					}
					//旋转完成后整树趋于平衡
					break;
				}
			}

		}
	}

	++_size;
	_root->_col = BLACK; //无论怎么调整 根节点总是黑色
	return { data,true };
}

关于红黑树

红黑树检验

我们实现红黑树后，还需要对其规则进行检验，防止bug导致红黑树结构异常！

检验规则：

  • 根节点是否为黑色姐
  • 是否出现连续的红色节点
    -- 说明：如果我们先判断当前节点再判断子节点，就需要对子节点进行分类判断，很麻烦。此时我们需要转换思想，先判断子树是否为红再判断父节点，因为根节点为黑所以不会访问根节点的父级指针，也就是不会访问空指针，而后的子树必有父节点，所以我们只需要判断当前节点是否为红，如果为红再去判断父节点，红节点一定有父节点。
  • 每条路径的黑色节点数量是否相等
    --说明：既然是每条路径都相等，我们随意找一条路径取基准值（例如取最左路径或最右路径的黑节点数量），然后去与每条路径进行对比，全相等就符合要求。
cpp 复制代码 
//检验函数 调用接口
bool isRBTree()
{
	//三个条件
	//没有连续红色节点
	//每条路上的黑色节点数相等
	if (_root == nullptr) return true;
	if (_root && _root->_col == RED) return false;
	int blackmark = 0;
	Node* cur = _root;
	while (cur)
	{
		if (cur->_col == BLACK) ++blackmark;
		cur = cur->_right;
	}

	return _isRBTree(_root, blackmark, 0);
}

//检验函数 执行接口
bool _isRBTree(Node* root, const int blackmark, int blacknum)
{
	if (root == nullptr)
	{
		if (blackmark != blacknum)
		{
			cout << "黑节点数不相等！" << endl;
			return false;
		}
		return true;
	}

	if (root->_col == BLACK) ++blacknum;
	else if (root->_parent && root->_parent->_col == RED)
	{
		cout << "出现连续的红色节点！" << endl;
		return false;
	}

	return _isRBTree(root->_left, blackmark, blacknum) && _isRBTree(root->_right, blackmark, blacknum);
}

有序插入1-10000的数，查看情况：

可以发现，插入有序序列下，最大和最小层数正好相差二倍，但是仍然合格！

红黑树 vs AVL树

我们将两棵树进行性能对比，插入1-100w节点，查看耗时！
检查代码：

cpp 复制代码 
void randominsert(const int N)
{
	srand(time(nullptr));
	cout << "随机数据插入！" << endl;
	RB_Tree::RBTree<int, int> rbt;
	AVLTree::AVLTree<int, int> avl;
	clock_t start = clock();
	for (int i = 1; i <= N; ++i) avl.insert({ rand() % i + i,i });
	clock_t end = clock();
	cout << "AVLTree：" << end - start << "ms" << endl;
	avl.~AVLTree();

	start = clock();
	for (int i = 1; i <= N; ++i) rbt.insert({ rand() % i + i,i });
	end = clock();
	cout << "RBTree：" << end - start << "ms" << endl;

}

void orderlyinsert(const int N)
{
	cout << "有序数据插入！" << endl;
	RB_Tree::RBTree<int, int> rbt;
	AVLTree::AVLTree<int, int> avl;

	clock_t start = clock();
	for (int i = 1; i <= N; ++i) avl.insert({ i,i });
	clock_t end = clock();
	cout << "AVLTree：" << end - start << "ms" << endl;
	avl.~AVLTree();

	start = clock();
	for (int i = 1; i <= N; ++i) rbt.insert({ i,i });
	end = clock();
	cout << "RBTree：" << end - start << "ms" << endl;


}

int main()
{
	const int N = 1000000;
	randominsert(N);
	cout << endl;
	orderlyinsert(N);
	return 0;
}

在测试中，我们插入随机节点，发现红黑树与AVL相差不大，而插入有序节点，AVL树反而比红黑树性能要好，所以不同情况两树性能有区别。

这里我们只实现了插入，还有增删改查等一系列的操作，都进行的话，红黑树平均性能会超过AVL树！

注意：实际对比下，因为数据量问题可能出现AVL树性能比红黑树好的情况，这种属于正常现象，单比插入不能真实体现全部性能！

最后

本节红黑树的介绍到这里就告一段落了，当我们完全了解红黑树后，发现其实红黑树比较抽象，但是比AVL树好控制，而我们的STL容器中map和set使用的底层数据结构就是红黑树，后面我们将为大家介绍库中红黑树的使用以及map和set的基本封装！

本次 <红黑树> 就先介绍到这里啦，希望能够尽可能帮助到大家。

如果文章中有瑕疵，还请各位大佬细心点评和留言，我将立即修补错误，谢谢！

本节涉及代码：红黑树博客代码

🌟其他文章阅读推荐🌟
高级数据结构＜AVL树＞
高级数据结构＜二叉搜索树＞
数据结构初级＜二叉树＞
C++ <继承>
C++ <多态>
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