状态压缩DP【蒙德里安的梦想】

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题目链接

https://www.acwing.com/problem/content/293/

分析

总方案数即为横放的方案数，因为横放完后列填补只会出现一种情况
1表示横放，0表示竖放
如果合并列不存在连续的奇数个``0，即为合法状态（偶数个的话可以竖放填补）
初始时f[0,0]表示第0行不横放合法，故值为1
每一个状态由上一列递推累加方案数和而来
目标：f[m][0]，已经摆放完m列，且不会向下一行伸出

预处理：判断是否合法

具体注释及代码见下方

【AC代码】

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#include<iostream>
#include<cstring>

using namespace std;

//数据范围1~11
const int N = 12;
//每一列的每一个空格有两种选择，放和不放，所以是2^n
const int M = 1 << N;
//方案数比较大，所以要使用long long 类型
//f[i][j]表示 i-1列的方案数已经确定，从i-1列伸出，并且第i列的状态是j的所有方案数
long long f[N][M];
//第 i-2 列伸到 i-1 列的状态为 k ， 是否能成功转移到 第 i-1 列伸到 i 列的状态为 j
//st[j|k]=true 表示能成功转移
bool st[M]; //判断空着的长度是否为偶数，是否可以填满
//n行m列
int n, m;

int main() {
//    预处理st数组
    while (cin >> n >> m, n || m) {
        for (int i = 0; i < 1 << n; i++) {
//            第 i-2 列伸到 i-1 列的状态为 k ， 
//            能成功转移到 
//            第 i-1 列伸到 i 列的状态为 j
            st[i] = true;
//            记录合并列中连续的0的个数
            int cnt = 0;
            for (int j = 0; j < n; j++) {
//                通过位操作，i状态下j行是否放置方格，
//                0就是不放， 1就是放
                if (i >> j & 1) {
//                    如果放置小方块使得连续的0个数成为奇数，
//                    这样的状态就是不行的，
                    if (cnt & 1) {
                        st[i] = false;
                        break;
                    }
                }else cnt++;
//                //不放置，则0的个数++
            }

            if (cnt & 1) st[i] = false; //对高位0的处理，比如0100不合法
        }

//        初始化状态数组f
        memset(f, 0, sizeof f);

//        棋盘是从第0列开始，没有-1列，所以第0列第0行，不会有延伸出来的小方块
//        没有横着摆放的小方块，所有小方块都是竖着摆放的，这种状态记录为一种方案
        f[0][0] = 1;
//        遍历每一列
        for (int i = 1; i <= m; i++) {
//            枚举i列每一种状态
            for (int j = 0; j < 1 << n; j++) {
//                枚举i-1列每一种状态
                for (int k = 0; k < 1 << n; k++) {
//                    f[i-1][k] 成功转到 f[i][j]
                    if ((j & k) == 0 && st[j | k]) {
                        f[i][j] += f[i - 1][k]; //那么这种状态下它的方案数等于之前每种k状态数目的和
                    }
                }
            }
        }
//        棋盘一共有0~m-1列
//        f[i][j]表示 前i-1列的方案数已经确定，从i-1列伸出，并且第i列的状态是j的所有方案数
//        f[m][0]表示 前m-1列的方案数已经确定，从m-1列伸出，并且第m列的状态是0的所有方案数
//        也就是m列不放小方格，前m-1列已经完全摆放好并且不伸出来的状态
        cout << f[m][0] << endl;
    }
    return 0;
}