【概率论与数理统计】Chapter2 随机变量及其分布

随机变量与分布函数

随机变量

随机变量：一个随机变量是对随机现象可能的结果的一种数学抽象

分布函数

分布函数：

X为随机变量， F ( x ) F(x) F(x)定义为：
F ( x ) = P ( X ≤ x ) F(x) = P(X \leq x) F(x)=P(X≤x)

定义域： ( − ∞ , ∞ ) (-\infty, \infty) (−∞,∞)

值域： [ 0 , 1 ] [0,1] [0,1]

当 a < b a < b a<b, P ( a < x ≤ b ) = F ( b ) − F ( a ) P(a<x \leq b ) = F(b) - F(a) P(a<x≤b)=F(b)−F(a)
性质：

1. 值域[0,1]
2. 若 a < b a< b a<b，则 F ( a ) ≤ F ( b ) F(a) \leq F(b) F(a)≤F(b)
3. 右连续 lim ⁡ x → a + F ( x ) = F ( a ) \lim_{x \to a^{+}}F(x) = F(a) x→a+limF(x)=F(a)

lim ⁡ x → ∞ F ( x ) = 1 lim ⁡ x → − ∞ F ( x ) = 0 \lim_{x \to \infty }F(x) = 1 \\ \lim_{x \to -\infty }F(x) = 0 x→∞limF(x)=1x→−∞limF(x)=0

离散型随机变量

定义

随机变量取值为离散的（有限或者可列）

三种常用分布

1. 0-1分布

2. 二项分布

3. 泊松分布

连续性随机变量

定义

随机变量X的分布函数可以表示为：
F ( x ) = ∫ − ∞ x f ( u ) d u F(x) = \int_{-\infty}^{x} f(u)du F(x)=∫−∞xf(u)du

F(x)为连续函数

f ( x ) f(x) f(x)为 X X X的概率密度函数，其具有如下性质：

1. f ( x ) ≥ 0 f(x) \geq 0 f(x)≥0
2. ∫ − ∞ ∞ f ( x ) d x = 1 \int_{-\infty}^{\infty} f(x) dx = 1 ∫−∞∞f(x)dx=1
3. P ( x 1 < X ≤ x 2 ) = F ( x 2 − x 1 ) P(x_1 < X \leq x_2) = F(x_2 - x_1) P(x1<X≤x2)=F(x2−x1)
4. 若 f ( x ) f(x) f(x)在 x x x点连续， F ′ ( x ) = f ( x ) F^{'}(x) = f(x) F′(x)=f(x)

注 ： P ( X = a ) = 0 P(X=a) = 0 P(X=a)=0

几种常用分布

1. 均匀分布
2. 指数分布
3. 正态分布

随机向量与分布

联合分布

二维离散随机变量

二维连续随机变量

边缘分布

1. 连续型
   

2. 离散型

   求和即可

条件分布

1. 离散型
2. 连续型
   

随机向量的独立性

F ( x , y ) = F X ( x ) F Y ( y ) F(x,y) = F_X(x)F_Y(y) F(x,y)=FX(x)FY(y)

1. 离散(X,Y） 要求 p i j = p i . p . j p_{ij} = p_{i.}p_{.j} pij=pi.p.j
2. 连续(X,Y) 要求 f ( x , y ) = f X ( x ) f Y ( y ) f(x,y) = f_X(x)f_Y(y) f(x,y)=fX(x)fY(y)

随机向量函数分布

随机变量的函数的分布

1. 连续
   X为连续随机变量，分布函数为f(x)，y=g(x)为可导单调函数，则Y=g(X)为连续变量函数
   f Y ( y ) = { f [ h ( y ) ] ∣ h ′ ( y ) ∣ 如果 y 在 g ( x ) 的值域内 0 其他 f_Y(y) = \begin{cases} f[h(y)]|h^{'}(y)| & \text{如果 } y在g(x)的值域内\\ 0 & 其他 \end{cases} fY(y)={f[h(y)]∣h′(y)∣0如果 y在g(x)的值域内其他

h(y)为y = g(x)的反函数

2. 离散

两个随机变量函数的分布

Z = g ( X , Y ) Z = g(X,Y) Z=g(X,Y),Z为分布函数

1. （X,Y)连续
   

2. （X,Y)离散