Matlab中的矩阵约定
Matlab这个名字，是Matrix Laboratory的缩写，以前（真的以前，互联网前时代）有一个清华还是北大的几个学生，做的魔性视频里，有个配音：马特拉博，马特拉波，我到现在还能随时想起来，每次想起来大脑里都要响起这个声音。所以我现在使用Matlab，简直是......
Matlab中倒是随处可见Mat，甚至数据文件的后缀名也是.mat，这门所谓的语言，也称为M语言，因为脚本和函数的后缀名是.m。
Matlab中，矩阵是其非常核心的概念和数据结构。就像是Python，在numpy之前，也是个弱鸡。Matlab能打，基础就是矩阵和相关的计算工具箱。
1. 矩阵形状
Matlab仲可以表示N维数组，这里用数组，主要是表示一般编程语言中的非稀疏矩阵，类似于C#的MathNet.Numerics库中的DensityMatrix。因为Matlab还有一种稀疏矩阵的表示方式，以后再说。
N为数组，假设每个维度的长度分别为n1, n2, ..., nN，那么这个数组就是一个n1 x n2 x ... x nN的矩阵。数组的元素一共是n1 * n2 * ... * nN个。Matlab专门有个函数size来获取数组的维度信息，还有个函数numel来获取数组元素总长度信息。
前者返回一个行向量，后者返回一个标量。
m ≡ m n 1 × n 2 × ⋯ × n N ∈ R n 1 × n 2 × . . . × n N m \equiv m_{n1\times n2 \times \cdots \times nN} \in \mathbb{R}^{n1 \times n2 \times ... \times nN} m≡mn1×n2×⋯×nN∈Rn1×n2×...×nN
size ( m ) = [ n 1 , n 2 , . . . , n N ] \text{size}(m) = [n1, n2, ..., nN] size(m)=[n1,n2,...,nN]
numel ( m ) = n 1 × n 2 × . . . × n N \text{numel}(m) = n1 \times n2 \times ... \times nN numel(m)=n1×n2×...×nN
此外，还有一个函数ndims，返回数组的维度数目。length函数返回数组的最大维度长度。
ndims ( m ) = N \text{ndims}(m) = N ndims(m)=N
length ( m ) = max ( n 1 , n 2 , . . . , n N ) \text{length}(m) = \max(n1, n2, ..., nN) length(m)=max(n1,n2,...,nN)
2. 矩阵元素访问
要访问矩阵的元素，在Matlab中，使用()符号，里面是一个逗号分隔的下标列表。下标列表的长度应该等于数组的维度数目。
约定1：Matlab中的下标从1开始，不是从0开始。
3. 矩阵的全索引
上面我们在讨论向量的约定时，提到了行向量和列向量，这里再次强调一下，Matlab中的矩阵是列优先的。那么列对于矩阵来说什么意思呢？
对于二维数组（包含列向量和行向量），列优先的意思很简单，就是按照列来存储数据。对于如下的 m × n m\times n m×n的矩阵，它在内存中就等同为 m × n m\times n m×n的列向量。
A m × n = a 11 a 12 ⋯ a 1 n a 21 a 22 ⋯ a 2 n ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ a m 1 a m 2 ⋯ a m n A_{m\times n} = \begin{matrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{matrix} Am×n=a11a21⋮am1a12a22⋮am2⋯⋯⋱⋯a1na2n⋮amn
A ( : ) = a 11 a 21 ⋮ a m 1 a 12 a 22 ⋮ a m 2 ⋮ a 1 n a 2 n ⋮ a m n A(:) = \begin{matrix} a_{11} \\ a_{21} \\ \vdots \\ a_{m1} \\ a_{12} \\ a_{22} \\ \vdots \\ a_{m2} \\ \vdots \\ a_{1n} \\ a_{2n} \\ \vdots \\ a_{mn} \end{matrix} A(:)=a11a21⋮am1a12a22⋮am2⋮a1na2n⋮amn
其实这里说到内存中存储，通常对于很多人来说没有任何意义。但是上面这个事实，对于矩阵的访问也有一定的影响。
实际上，如果我们对于上面那个矩阵：
matlab
A = rand(m, n);
A打印出就是矩阵的形式。
matlab
A(:)打印出就是下面的列向量。
那么对于二维矩阵，这中列优先的方式实际上预期下标(size(A)所获得值)，[m, n]是有内在的一致性的。
那个列向量其实也可以写成：
matlab
[
A(1, 1);
A(2, 1);
...
A(m, 1);
A(1, 2);
A(2, 2);
...
A(m, 2);
...
A(1, n);
A(2, n);
...
A(m, n);
]使用: 符号，又可以写成
matlab
[
A(:, 1)
A(:, 2)
...
A(:, n)
]这个写法，对于二维数组就是列先，对于多维数组，就是排在size返回的维度数组中的后面的维度优先。也就是，先确定最后一个维度，然后确定倒数第二个维度，然后确定倒数第三个维度，以此类推。
约定2：多维矩阵，高维优先。
对于上面的N维数组，A(:, :, ..., :, i_i, i_{i+1}, ..., i_{N})确定了一个n1 x n2 x ... x n_{i-1}的矩阵。也就是，i维到N全部确定，前面的维度都是:，可以在内存中确定一个连续的区域。
如果我们对一个三维数组，采用如下的方式访问：
matlab
A(1,1,:)得到的是n3个不连续的值。如果我们把size函数得到的维度向量中后面的维称为高维，前面的维称为低维。从前到后对应第一维到最后一维。
那么高维的维度确定后，访问的效率会更高。
约定3：访问矩阵时，当某个维限定，比这个维度高的所有维度都应该被限定，计算会更有效率。
4. 矩阵降维索引
Matalb中的多维数组，还可以采用降维索引的方式访问。
约定4：矩阵降维索引时，没有给定的高维，按高维优先的方式，连接到最后一个维度，这样最后一个维度 i i i 的范围就是 [ 1 , ∏ j = i N n j ] [1, \prod_{j=i}^N n_j] [1,∏j=iNnj] 。
这个也很好理解，当我们用一个索引来访问一个二维矩阵 A m × n A_{m\times n} Am×n 时，我们只给定了一个索引，那么这个索引就是列优先的索引，也就是 A ( : ) A(:) A(:) 的索引，它的范围就是 [ 1 , m × n ] [1, m\times n] [1,m×n] 。
同理，这也可以推到到多维数组上。
5. 矩阵左值和矩阵右值
在Matlab中，语句约定写为：
matlab
A = B;这里的=是赋值操作符，A是左值，B是右值。这个语句的意思是，把右值B的值赋给左值A。
当我们按照矩阵的索来引用矩阵作为左值时，右值必须是一个和左值长度相同的数组。或者是一个标量，这个标量会被广播到左值的每一个元素上。当右值和左值长度一样，但是形状不一样，就会按照高维优先的方式，将右值的每个元素对应到左值的每个元素上。
约定5：矩阵作为左值，右值必须是一个和左值长度相同的矩阵，或者是一个标量。
在每个涉及数组（矩阵）的操作中，高维优先可以始终保持访问顺序的一致性。
6. 结论
- Matlab矩阵索引从1开始（这个第0条是故意的）。
- Matlab中的矩阵是列优先的，多维数组是高维优先的。
- 访问矩阵时，当某个维限定，比这个维度高的所有维度都应该被限定，计算会更有效率。
- 矩阵作为左值，右值必须是一个和左值长度相同的矩阵，或者是一个标量。
- 在每个涉及数组（矩阵）的操作中，高维优先可以始终保持访问顺序的一致性。