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矩阵的满秩分解
定义：矩阵的左逆、右逆
设 A A A 是 m × n m\times n m×n 矩阵
- 若 r ( A ) = n r(A)=n r(A)=n，即 A A A 列满秩，则存在秩为 n n n 的 n × m n\times m n×m 行满秩矩阵 B B B，使得 B A = I n BA=I_n BA=In，矩阵 B B B 称为 A A A 的左逆
- 若 r ( A ) = m r(A)=m r(A)=m，即 A A A 行满秩，则存在秩为 m m m 的 n × m n\times m n×m 列满秩矩阵 C C C，使得 A C = I m AC=I_m AC=Im，矩阵 C C C 称为 A A A 的右逆
证明思路
结论1：由相抵标准型理论，存在可逆阵 P , Q P,Q P,Q，使得 P A Q = ( I n O ) ⇒ ( I n ∣ O ) P A Q = I n ⇒ ( I n ∣ O ) P A = Q − 1 ⇒ Q ( I n ∣ O ) P A = I n PAQ=\begin{pmatrix} I_n\\O\\ \end{pmatrix}\Rightarrow (I_n| O)PAQ=I_n\\\Rightarrow (I_n |O)PA=Q^{-1}\Rightarrow Q(I_n| O)PA=I_n PAQ=(InO)⇒(In∣O)PAQ=In⇒(In∣O)PA=Q−1⇒Q(In∣O)PA=In结论 2类似
定义：矩阵的满秩分解
设 A A A 是 m × n m\times n m×n 矩阵，其秩为 r r r
则存在秩为 r r r 的 m × r m\times r m×r 列满秩矩阵 B B B，和秩为 r r r 的 r × n r\times n r×n 行满秩矩阵 C C C，使得 A = B C A=BC A=BC这称为 A A A 的满秩分解
证明思路
考虑 A A A 的相抵标准型，容易得到
A = P ( I r O O O ) Q = P ( I r O ) ( I r O ) Q A=P\begin{pmatrix} I_r&O\\ O&O\\ \end{pmatrix}Q=P\begin{pmatrix} I_r\\O\\ \end{pmatrix}\begin{pmatrix} I_r&O\\ \end{pmatrix}Q A=P(IrOOO)Q=P(IrO)(IrO)Q
命题：满秩分解的唯一性
若 A A A 有两个满秩分解 A = B 1 C 1 = B 2 C 2 A=B_1C_1=B_2C_2 A=B1C1=B2C2，则存在 r r r 阶非异阵 P P P，使得 B 2 = B 1 P , C 2 = P − 1 C 1 B_2=B_1P,C_2=P^{-1}C_1 B2=B1P,C2=P−1C1
证明思路
考虑 B 2 B_2 B2 的左逆 P P P 和 C 2 C_2 C2 的右逆 Q Q Q，注意到
B 2 = B 2 ( C 2 Q ) = ( B 2 C 2 ) Q = ( B 1 C 1 ) Q = B 1 ( C 1 Q ) B_2=B_2(C_2Q)=(B_2C_2)Q=(B_1C_1)Q=B_1(C_1Q) B2=B2(C2Q)=(B2C2)Q=(B1C1)Q=B1(C1Q) C 2 = ( P B 2 ) C 2 = P ( B 2 C 2 ) = P ( B 1 C 1 ) = ( P B 1 ) C 1 C_2=(PB_2)C_2=P(B_2C_2)=P(B_1C_1)=(PB_1)C_1 C2=(PB2)C2=P(B2C2)=P(B1C1)=(PB1)C1 ( P B 1 ) ( C 1 Q ) = P ( B 1 C 1 ) Q = P ( B 2 C 2 ) Q = ( P B 2 ) ( C 2 Q ) = I r (PB_1)(C_1Q)=P(B_1C_1)Q=P(B_2C_2)Q=(PB_2)(C_2Q)=I_r (PB1)(C1Q)=P(B1C1)Q=P(B2C2)Q=(PB2)(C2Q)=Ir
命题：满秩分解的几何意义
下列等价：
- A = B C A=BC A=BC 是满秩分解
- B B B 的 r r r 个列向量是 A A A 的 n n n 个列向量所张成的线性空间的一组基
- C C C 的 r r r 个行向量是 A A A 的 m m m 个行向量所张成的线性空间的一组基
证明思路
将 A = B C A=BC A=BC 写成对应线性方程组的形式即可看出
命题：幂等矩阵关于满秩分解的刻画
设 n n n 阶方阵 A A A，其秩为 r r r，则 A A A 是幂等矩阵当且仅当存在秩为 r r r 的 n × r n\times r n×r 矩阵 S S S 和秩为 r r r 的 r × n r\times n r×n 矩阵 T T T，使得 A = S T , T S = I r A=ST,TS=I_r A=ST,TS=Ir
证明思路
充分性显然，必要性：考虑 A A A 的相抵标准型
A = P ( I r O O O ) Q A=P\begin{pmatrix} I_r&O\\ O&O\\ \end{pmatrix}Q A=P(IrOOO)Q由 A 2 = A A^2=A A2=A 得到
( I r O O O ) = ( I r O O O ) Q P ( I r O O O ) \begin{pmatrix} I_r&O\\ O&O\\ \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} I_r&O\\ O&O\\ \end{pmatrix}QP\begin{pmatrix} I_r&O\\ O&O\\ \end{pmatrix} (IrOOO)=(IrOOO)QP(IrOOO)则只需令
S = P ( I r O O O ) ( I r O ) , T = ( I r O ) ( I r O O O ) Q S=P\begin{pmatrix} I_r&O\\ O&O\\ \end{pmatrix}\begin{pmatrix} I_r\\O\\ \end{pmatrix},T=\begin{pmatrix} I_r&O\\ \end{pmatrix}\begin{pmatrix} I_r&O\\ O&O\\ \end{pmatrix}Q S=P(IrOOO)(IrO),T=(IrO)(IrOOO)Q
推论
设 A A A 是 n n n 阶幂等矩阵，则 t r ( A ) = r ( A ) tr(A)=r(A) tr(A)=r(A)
证明
t r ( A ) = t r ( S T ) = t r ( T S ) = t r ( I r ) = r = r ( A ) tr(A)=tr(ST)=tr(TS)=tr(I_r)=r=r(A) tr(A)=tr(ST)=tr(TS)=tr(Ir)=r=r(A)
参考书：《高等代数学》谢启鸿 姚慕生 吴泉水 编著