前缀和与差分

本文用于记录个人算法竞赛学习，仅供参考

目录

一.前缀和是什么

二.一维前缀和

三.二维前缀和

四.一维差分

五.二维差分

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一.前缀和是什么

给定一个数组A:a1、a2、a3、a4......an

会有前缀和 S:s1、s2、s3、s4......sn，其中si = a1 + a2 + a3 + ...... + ai

一般前缀和数组下标从1开始，将s0 = 0，这样是为了处理边界，假如s1,10 = s10 - s0 = s10(求区间和)

二.一维前缀和

1.S: si = si - 1 + ai (求前缀和的递推公式)

2.作用：可以快速查找求得某一区间的区间和-- s L,R = sR - sL - 1

三.二维前缀和

1.求前缀和: 即左上角（0，0）到（i，j） 的和

公式： s i j = s i j - 1 + s i - 1 j - s i - 1 j - 1 + a i j

2.求区间和：即左上角 x1, y1 到 右下角 x2, y2 的区间和

公式： s x1, y1 x2, y2 = s x2 y2 - s x2 y1 - 1 - s x1 - 1 y2 + s x1 - 1 y1 - 1

四.一维差分

1.给定一个数组A:a1、a2、a3、a4......an

会有差分数组B:b1、b2、b3、b4......bn，其中bn = an - a(n-1)

一般差分数组下标从1开始。

2.差分数组的前缀和即为数组A本身

利用 差分数组的前缀和即为数组A本身 这一性质可以快速 给某一区间都加上同一个值

3.给某一区间都加上同一个值

给A l , r 区间中每一个数都加上c，正常思维是遍历一遍区间并加上c，时间复杂度是O(n)

利用 差分数组的前缀和即为数组A本身 这一性质可以使时间复杂度降低到O(1)

会有公式：b l += c; b r + 1 -= c

模板：

vector<int> b;

void Add(int l, int r, int c)
{
	b[l] += c;
	if (r + 1 < b.size())
		b[r + 1] -= c;
}

4.构造B差分数组

正常构造差分数组是利用公式：bn = an - a(n - 1) 遍历一遍来构造，这样就需要多写一个构造操作；

我们也可以利用上面的Add函数来构造差分数组，进而统一了差分操作：

我们可以假设A数组原来是全为0，只不过是进行了Add的区间操作给每个区间赋值，即

a1 是 1，1上加上a1，通过Add即有b1 += a1, b1+1 -= a1;

an 是 n,n 上加上an， 通过Add即有bn += an, bn + 1 -= an(前提是有bn + 1)

这样，差分的前缀和数组就是A数组。

五.二维差分

1.二维差分数组 给其中一个子矩阵加上一个c

给定左上角（x1， y1） 和 右下角（x2， y2）的子矩阵中所有元素都加上c，由差分性质有：

bx1y1 += c; bx1y2 + 1 -= c; bx2 + 1y1 -= c; bx2 + 1y2 + 1 += c;

模板：

vector<vector<int>> b;

void Add(int x1, int y1, int x2, int y2, int c)
{
	b[x1][y1] += c;
	if (x2 + 1 < b.size())
		b[x2 + 1][y1] -= c;
	if (y2 + 1 < b[0].size())
		b[x1][y2 + 1] -= c;
	if (x2 + 1 < b.size() && y2 + 1 < b[0].size())
		b[x2 + 1][y2 + 1] += c;
}

2.构造二维差分数组

与一维差分数组相似，等价于A数组起始全为0，在i,j 到 i,j 加上an，可以用Add进行构造。

3.二维差分数组求前缀和

有：s i j = b i j + bi - 1j + bij - 1 - bi - 1j - 1