前缀和与差分

本文用于记录个人算法竞赛学习，仅供参考

一.前缀和是什么

二.一维前缀和

三.二维前缀和

四.一维差分

五.二维差分

一.前缀和是什么

给定一个数组A:a1、a2、a3、a4......an

会有前缀和 S:s1、s2、s3、s4......sn，其中si = a1 + a2 + a3 + ...... + ai

一般前缀和数组下标从1开始，将s[0] = 0，这样是为了处理边界，假如s[1,10] = s[10] - s[0] = s[10](求区间和)

二.一维前缀和

1.S: s[i] = s[i - 1] + a[i] (求前缀和的递推公式)

2.作用：可以快速查找求得某一区间的区间和-- s[ L,R ] = s[R] - s[L - 1]

三.二维前缀和

1.求前缀和: 即左上角（0，0）到（i，j）的和

公式： s[ i ][ j ] = s[ i ][ j - 1] + s[ i - 1 ][ j ] - s[ i - 1 ][ j - 1 ] + a[ i ][ j ]

2.求区间和：即左上角[ x1, y1 ] 到右下角[ x2, y2 ] 的区间和

公式： s[ x1, y1 ][ x2, y2 ] = s[ x2 ][ y2 ] - s[ x2 ][ y1 - 1 ] - s[ x1 - 1 ][ y2 ] + s[ x1 - 1 ][ y1 - 1 ]

四.一维差分

1.给定一个数组A:a1、a2、a3、a4......an

会有差分数组B:b1、b2、b3、b4......bn，其中bn = an - a(n-1)

一般差分数组下标从1开始。

2.差分数组的前缀和即为数组A本身

利用差分数组的前缀和即为数组A本身这一性质可以快速给某一区间都加上同一个值

3.给某一区间都加上同一个值

给A[ l , r ]区间中每一个数都加上c，正常思维是遍历一遍区间并加上c，时间复杂度是O(n)

利用差分数组的前缀和即为数组A本身这一性质可以使时间复杂度降低到O(1)

会有公式：b[ l ] += c; b[ r + 1 ] -= c

模板：

cpp 复制代码

vector<int> b;

void Add(int l, int r, int c)
{
	b[l] += c;
	if (r + 1 < b.size())
		b[r + 1] -= c;
}

4.构造B差分数组

正常构造差分数组是利用公式：bn = an - a(n - 1) 遍历一遍来构造，这样就需要多写一个构造操作；

我们也可以利用上面的Add函数来构造差分数组，进而统一了差分操作：

我们可以假设A数组原来是全为0，只不过是进行了Add的区间操作给每个区间赋值，即

a1 是 [1，1]上加上a1，通过Add即有b[1] += a1, b[1+1] -= a1;

an 是 [n,n] 上加上an，通过Add即有b[n] += an, b[n + 1] -= an(前提是有b[n + 1])

这样，差分的前缀和数组就是A数组。

五.二维差分

1.二维差分数组给其中一个子矩阵加上一个c

给定左上角（x1， y1）和右下角（x2， y2）的子矩阵中所有元素都加上c，由差分性质有：

b[x1][y1] += c; b[x1][y2 + 1] -= c; b[x2 + 1][y1] -= c; b[x2 + 1][y2 + 1] += c;

模板：

cpp 复制代码

vector<vector<int>> b;

void Add(int x1, int y1, int x2, int y2, int c)
{
	b[x1][y1] += c;
	if (x2 + 1 < b.size())
		b[x2 + 1][y1] -= c;
	if (y2 + 1 < b[0].size())
		b[x1][y2 + 1] -= c;
	if (x2 + 1 < b.size() && y2 + 1 < b[0].size())
		b[x2 + 1][y2 + 1] += c;
}

2.构造二维差分数组

与一维差分数组相似，等价于A数组起始全为0，在[i,j] 到 [i,j] 加上an，可以用Add进行构造。

3.二维差分数组求前缀和

有：s[ i ][ j ] = b[ i ][ j ] + b[i - 1][j] + b[i][j - 1] - b[i - 1][j - 1]