目录
1.背景
2021年，H Karami等人受到水流运动规律启发，提出了流向算法（Flow Direction Algorithm， FDA）。
2.算法原理
2.1算法思想
FDA受到了流入排水池的水流的启发，模拟了水流朝向排水池最低高度出口的方向流动 (水往低处流~) 。首先创建一个初始种群在排水池即问题的搜索空间中，然后考虑了邻近水流及其坡度对水流的影响，最后使水流流向海拔较低的位置，也就是排水池的最低海拔出口点（适应度值度量）。
2.2算法过程
创建水流领域：
FDA 假设每个水流附近存在 β 个邻域，则第i个水流的第j个邻居位置为:
N ( j ) = F ( i ) + R N × Δ (1) N\left(j\right)=F\left(i\right)+R_{\mathbb{N}}\times\Delta \tag{1} N(j)=F(i)+RN×Δ(1)
其中，RN是均值为0，标准差为1的正态分布随机数；Δ 是用来控制算法搜索空间大小的控制参数，其值越小算法搜索范围越小，反之搜索空间越大．Δ的值从一个较大值线性减小到较小值，并朝向随机位置以增加多样性，表述为：
Δ = [ R × X r a n d − R × F ( i ) ] × ∥ X b e s t − F ( i ) ∥ × W (2) \begin{aligned}\Delta&=\bigl[R\times X_{\mathrm{rand}}-R\times F(i)\bigr]\times\left\|X_{\mathrm{best}}-F(i)\right\|\times W\end{aligned}\tag{2} Δ=[R×Xrand−R×F(i)]×∥Xbest−F(i)∥×W(2)
其中，Xrand为随机水流位置，Xbest为当代最优水流位置，W为非线性权重：
W = ( 1 − τ τ max ) 2 × R N × ( R u × τ τ max ) × R u (3) W=\left(1-\frac{\tau}{\tau_{\max}}\right)^{2\times R_{N}}\times\left(R_{\mathrm{u}}\times\frac{\tau}{\tau_{\max}}\right)\times R_{\mathrm{u}}\tag{3} W=(1−τmaxτ)2×RN×(Ru×τmaxτ)×Ru(3)
其中，τ 和 τmax分别为当前迭代次数和最大迭代次数，Ru为均匀分布的随机向量。
更新水流位置 ：
FDA算法中水流流向海拔最低的方向，若最优邻居N(k)的适应度fN(k)小于当前水流的适应度fF(i)，则当前水流流向该邻居，此时新的水流位置为：
F n e w ( i ) = F ( i ) + v F ( i ) − N ( k ) ∥ F ( i ) − N ( k ) ∥ (4) \boldsymbol{F}_{\mathrm{new}}(i)=\boldsymbol{F}(i)+v\frac{\boldsymbol{F}(i)-\boldsymbol{N}(k)}{\left\Vert\boldsymbol{F}(i)-\boldsymbol{N}(k)\right\Vert}\tag{4} Fnew(i)=F(i)+v∥F(i)−N(k)∥F(i)−N(k)(4)
其中，k为最优邻居的序号；v为水流速度，与坡度直接相关:
v = R N × S 0 ( i , k , D ) (5) v=R_\text{N}\times S_0(i,k,D)\tag{5} v=RN×S0(i,k,D)(5)
其中，S0(i,k,D)为最优邻居N(k)和水流F(i)位置之间的斜率为:
S 0 ( i , k , D ) = f F ( i ) − f N ( k ) ∥ F ( i , d ) − N ( k , d ) ∥ (6) S_0(i,k,D)=\frac{f_{\boldsymbol{F}(i)}-f_{\boldsymbol{N}(k)}}{\left\|F(i,d)-N(k,d)\right\|}\tag{6} S0(i,k,D)=∥F(i,d)−N(k,d)∥fF(i)−fN(k)(6)
如果随机水流的适应度优于当前水流的适应度，那么当前水流将沿着随机水流的方向流动。
F n e w ( i ) = F ( i ) + R N × [ F ( r ) − F ( i ) ] (7) \boldsymbol{F}{\mathrm{new}}(i)=\boldsymbol{F}(i)+R{\mathrm{N}}\times\left[\boldsymbol{F}(r)-\boldsymbol{F}(i)\right]\tag{7} Fnew(i)=F(i)+RN×[F(r)−F(i)](7)
如果当前水流的适应度优于其最优邻居的适应度，根据适应度值来决定当前水流是沿着该随机水流的方向移动，还是沿着最优水流的方向移动。
F n e w ( i ) = F ( i ) + 2 R N × [ X b e s t − F ( i ) ] (8) \boldsymbol{F}\mathrm{new}(i)=\boldsymbol{F}(i)+2R\mathrm{N}\times\left[\boldsymbol{X}_\mathrm{best}-\boldsymbol{F}(i)\right]\tag{8} Fnew(i)=F(i)+2RN×[Xbest−F(i)](8)
流程图 ：
3.结果展示
4.参考文献
1\] Karami H, Anaraki M V, Farzin S, et al. Flow direction algorithm (FDA): a novel optimization approach for solving optimization problems\[J\]. Computers \& Industrial Engineering, 2021, 156: 107224.