第十三届蓝桥杯 b 组国赛 d p 问题 \Huge{第十三届蓝桥杯b组国赛dp问题} 第十三届蓝桥杯b组国赛dp问题
刷题的时候发现往年国赛题中有三道dp问题，而且还都是背包问题，正好最近没写过dp，那就简单整理一下，尽量把我思路整理清楚hhh。
关于背包问题，可以查看这篇博客：背包九讲------九种背包问题的算法思路+代码分析-CSDN博客
题目链接：备赛蓝桥杯 - 蓝桥云课 (lanqiao.cn)
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2022
题意
2022由10个不同的正整数相加得到的方案个数。
思路
我们可以将本问题看作是01背包，那么此时问题可以改为：有编号为 1 , 2 , 3 , . . . , 2022 1,2,3,...,2022 1,2,3,...,2022的2022个物品，每个物品的体积和价值都等于它的编号，因此物品的体积和价值可以看作一个限制条件，然后需要选10个数，作为第二个限制条件。
那么本题的限制条件就有两个，然后呢？
那不就是一道二维费用流背包吗？
众所周知，二维费用流背包就是在01背包的基础上加了一个或多个限制条件，那我们只需将加一层枚举，来枚举体积和个数即可。
标程
cpp
void Solved() {//在二维01背包的基础上增加一维，用来枚举所选个数
long long f[2023][11][2023];
for(int i = 0; i <= 2022; i ++ ) f[i][0][0] = 1;
for(int i = 1; i <= 2022; i ++ )
for(int j = 1; j <= 10; j ++ )
for(int k = 1; k <= 2022; k ++ ) {
f[i][j][k] = f[i - 1][j][k];
if(k >= i) {
f[i][j][k] += f[i - 1][j - 1][k - i];
}
}
cout << f[2022][10][2022] << endl;
}
void Solved() {//优化一维，详细优化思路可以查看上面背包问题的博客
long long f[11][2023];
f[0][0] = 1;
for(int i = 1; i <= 2022; i ++ )
for(int j = 10; j >= 1; j -- )
for(int k = i; k <= 2022; k ++ ) {
f[j][k] += f[j - 1][k - i];
}
cout << f[10][2022] << endl;
}搬砖
题意
给出n个砖，每块砖对应的有体积和价值。现要求将砖块摞起来，要求每块砖上面的所有砖加起来的重量不超过其自身的价值。求摞起来的最大总价值。
思路
一道背包问题，但是增加了一些限制条件。
我们考虑：每块砖放与不放的状态是由其上面的砖块重量之和决定，那么我们需要从顶部考虑放砖块，才能保证不影响接下来的结果。
跟据贪心的思路：放在顶部的砖块需要是重量较小，且价值较大的砖块。
那么在枚举的过程中，我们需要按"重量较小，且价值较大"的顺序来优先考虑砖块，因此需要排序。
若有编号为1，2的两块石头，那么其重量和价值关系共有两种情况：
- w 1 < w 2 , v 1 < v 2 w_1<w_2, ~ v_1<v_2 w1<w2, v1<v2
- w 1 < w 2 , v 1 > v 2 w_1<w_2, ~ v_1>v_2 w1<w2, v1>v2
对于第二种情况，毫无疑问1应该放在2上面，对于第二种情况，只能1放在2上面。
因此排序规则为： w i + v i < w j + v j w_i+v_i < w_j+v_j wi+vi<wj+vj。
标程
cpp
int n, f[200001], sum, res;
PII a[1005];
void Solved() {
cin >> n;
for(int i = 1; i <= n; i ++ ) {
cin >> a[i].fi >> a[i].se;
sum += a[i].fi;
}
sort(a + 1, a + n + 1, [](PII n1, PII n2) {
return n1.fi + n1.se < n2.fi + n2.se;
});
for(int i = 1; i <= n; i ++ ) {
for(int j = sum; j >= a[i].fi; j -- ) {
if(j - a[i].fi <= a[i].se) {
f[j] = max(f[j], f[j - a[i].fi] + a[i].se);
}
res = max(res, f[j]);
}
}
cout << res << endl;
}费用报销
题意
给出若干张发票，每个发票有日期（月日）、价值。要求选出若干张发票，且相互日期间隔不小于k，总和不超过m，求能选出的最大总和。
思路
本题有两个限制条件：
- 相互日期间隔不小于k
- 总和不超过m
那么这道题就比较简单了，我们首先记录每一天最大的发票价值（当天没有发票就为0，有发票就为最大的数目）。
注意：可能会有某天有多张发票，而题目中k大于等于1，因此不可能选择同一天的发票。
然后枚举每一天，并判断是否需要加上当前天的发票。
标程
cpp
#define int long long
int today(int mm, int dd) {
int mon[13] = {0, 31, 28, 31, 30, 31, 30, 31, 31 ,30, 31, 30, 31};
int sum = dd;
for(int i = 1; i < mm; i ++ ) sum += mon[i];
return sum;
}
void Solved() {
int n, m, k, da[370] = {0};
cin >> n >> m >> k;
for(int i = 1; i <= n; i ++ ) {
int mm, dd, vv; cin >> mm >> dd >> vv;
int data = today(mm, dd);
da[data] = max(da[data], vv);
}
for(int i = 1; i <= 365; i ++ ) {
int t = max(0ll, i - k);
if(da[i] + da[t] < m) {
da[i] = max(da[i - 1], da[i] + da[t]);
} else {
da[i] = da[i - 1];
}
}
cout << da[365] << endl;
}