01背包问题(acwing)

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01背包问题

01背包问题

题目描述

有 N 件物品和一个容量是 V的背包。每件物品只能使用一次。

第 i件物品的体积是 v~i~，价值是 w~i~。

求解将哪些物品装入背包，可使这些物品的总体积不超过背包容量，且总价值最大。

输出最大价值。

输入格式

第一行两个整数，N，V，用空格隔开，分别表示物品数量和背包容积。

接下来有 N行，每行两个整数 v~i~,w~i~，用空格隔开，分别表示第 i 件物品的体积和价值。

输出格式

输出一个整数，表示最大价值。

数据范围

0<N,V≤1000

0<v~i~,w~i~≤1000
输入样例

输出样例：

动态规划

二维数组

这段代码是用 C++ 编写的，解决了经典的01背包问题。下面是对每部分代码的详细注释：

cpp 复制代码

// 引入所有标准库。在竞赛编程中，通常这样做可以快速引入所需的库。
#include<bits/stdc++.h>
// 使用命名空间std，这样可以不用每次都写std::前缀。
using namespace std;

// dp数组用于存储动态规划表，val和w分别用于存储每件物品的价值和体积。
int dp[1010][1010], val[1010], w[1010];

int main()
{
    // n代表物品的数量，v代表背包的容量。
    int n, v;
    // 输入物品数量和背包容量。
    cin >> n >> v;
    // 输入每个物品的体积和价值。
    for(int i = 1; i <= n; i++) cin >> w[i] >> val[i];

    // 开始动态规划过程。
    for(int i = 1; i <= n; i++)
    {
        // 遍历所有可能的背包容量。
        for(int j = 0; j <= v; j++)
        {
            // 默认情况下，不放入当前物品的价值。
            dp[i][j] = dp[i - 1][j];
            // 如果当前背包容量可以放下当前物品，则尝试放入当前物品。
            if(j >= w[i])
                // 取不放入和放入当前物品的最大价值。
                dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[i - 1][j - w[i]] + val[i]);
        }
    }
    // 输出最大价值，即使用所有物品且不超过背包容量的最大价值。
    cout << dp[n][v];
    return 0;
}

简要解释代码的逻辑：

程序首先读入物品的数量n和背包的容量v。
然后，对于每个物品，程序读入它的体积和价值。
接下来，程序使用二维动态规划的方法来计算出对于每个可能的容量（0到v），装入前i件物品可以获得的最大价值。
动态规划过程中，对于每个物品i，程序检查是否应该将该物品装入背包。如果当前背包的剩余容量j大于或等于当前物品的体积w[i]，那么程序会检查将这个物品加入背包是否会增加总价值。这是通过比较不加入这个物品的价值dp[i-1][j]与加入这个物品后的总价值dp[i-1][j-w[i]] + val[i]来实现的。
结果，dp[n][v]存储了装入n件物品，且不超过背包容量v时的最大价值。
程序最后输出这个最大价值。

一维数组（滚动数组）

这段代码是用 C++ 编写的，采用一维数组优化解决了01背包问题。这种优化方法减少了空间复杂度，下面是每部分代码的详细注释：

cpp 复制代码

// 引入所有标准库。在竞赛编程中，这样做可以快速引入所需的库，方便使用其中的功能。
#include<bits/stdc++.h>
// 使用命名空间std，这样可以避免每次调用标准库函数时都需要加上std::前缀。
using namespace std;

// dp数组用于存储动态规划的结果，val和w分别用于存储每件物品的价值和体积。
int dp[1010], val[1010], w[1010];

int main()
{
    // n代表物品的数量，v代表背包的容量。
    int n, v;
    // 读入物品数量和背包容量。
    cin >> n >> v;
    // 读入每个物品的体积和价值。
    for(int i = 1; i <= n; i++) cin >> w[i] >> val[i];
    
    // 动态规划过程。
    for(int i = 1; i <= n; i++)
    {
        // 从大到小遍历所有容量，确保计算dp[j]时，dp[j-w[i]]是不包含第i个物品的。
        // 这样做是为了模拟每件物品只能被使用一次的限制。
        for(int j = v; j >= w[i]; j--)
        {
            // 更新dp[j]为不选当前物品和选当前物品两种情况的最大值。
            dp[j] = max(dp[j], dp[j-w[i]] + val[i]);
        }
    }
    // 输出最大价值，即背包容量为v时的最大价值。
    cout << dp[v];
    return 0;
}

这段代码的核心思想是使用动态规划逐步构建出在不同背包容量下能够获得的最大价值。通过遍历每件物品，并对每种容量的背包计算如果添加这件物品时能获得的最大价值，从而找到最优解。这里的一维数组dp记录的是对于每种容量的背包，当前可以达到的最大价值。通过逆向遍历背包容量，确保在计算dp[j]时使用的dp[j-w[i]]来自于不包括当前物品i的子问题，满足了每件物品只能使用一次的条件。

和二维动态规划相比，这种方法显著减少了所需的存储空间，因为它只需要一个一维数组来存储中间结果，而不是为每个物品和每种容量组合都保存一个独立的结果。这种优化在处理大规模数据时尤其有用。