算法学习18：动态规划
文章目录
- 算法学习18：动态规划
- 前言
- 一、线性DP
-
- [1.数字三角形：fij = max(fi - 1j - 1 + aij, fi - 1j + aij);](#1.数字三角形：f[i][j] = max(f[i - 1][j - 1] + a[i][j], f[i - 1][j] + a[i][j]);)
- [2.1最长上升子序列：fi = max(fi, fj + 1);](#2.1最长上升子序列：f[i] = max(f[i], f[j] + 1);)
- [2.2 打印出最长子序列](#2.2 打印出最长子序列)
- 3.最长公共子序列：
- 二、区间dp：
- 总结
前言
提示：以下是本篇文章正文内容：
一、线性DP
1.数字三角形：fij = max(fi - 1j - 1 + aij, fi - 1j + aij);
cpp
// 给定一个数字三角形，从顶部出发，在每一个结点可以选择移动至左下方或者是右下方的结点，
// 直到移动到底层，要求找到一条路径，使得路径上的数字的和最大。
// 输入：第一行包含一个整数n，表示数字三角形的层数
// 接下来的n行，每行包含若干整数，其中第i行表示数字三角形第i层包含的整数。
#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int N = 510, INF = 1e9;// (相对的)正无穷
int n;
int a[N][N];// 存出数字三角形
int f[N][N];// 状态
int main()
{
scanf("%d", &n);
for(int i = 1; i <= n; i ++)
for(int j = 1; j <= i; j ++)
scanf("%d", &a[i][j]);
// 初始化
// 注意1：对于左右边界，都要多处理一次。（i+1）
for(int i = 0; i <= n; i ++)
for(int j = 0; j <= i + 1; j ++)
f[i][j] = -INF;// 负无穷
f[1][1] = a[1][1];
for(int i = 2; i <= n; i ++)
for(int j = 1; j <= i; j ++)
f[i][j] = max(f[i - 1][j - 1] + a[i][j], f[i - 1][j] + a[i][j]);
int res = -INF;
// 遍历最后一层，找到答案
for(int i = 1; i <= n; i ++) res = max(res, f[n][i]);
printf("%d\n", res);
return 0;
} 
2.1最长上升子序列：fi = max(fi, fj + 1);
2.2 打印出最长子序列
cpp
// 给定一个长度为n的数列，求数值"严格递增"的子序列的长度最长时多少？
#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int N = 1010;
int n;
int a[N], f[N], g[N];// 数列 状态 存储i是由那个状态转移过来的。
int main()
{
scanf("%d", &n);
for(int i = 1; i <= n; i ++) scanf("%d", &a[i]);
for(int i = 1; i <= n; i ++)
{
f[i] = 1;// 只有a[i]一个数
g[i] = 0;
for(int j = 1; j < i; j ++)
// 保证递增：a[j] 是 a[i] 的前一个数
if(a[j] < a[i])
if(f[i] < f[j] + 1)
{
// 更新
f[i] = f[j] + 1;
// 记录一下f[i] 是从哪一个状态转移过来的。
g[i] = j;
}
}
// 找到答案的下标
int k = 1;
for(int i = 1; i <= n; i ++)
if(f[k] < f[i])
k = i;
printf("%d\n", f[k]);// 长度
for(int i = 0, len = f[k]; i < len; i ++)
{
printf("%d ", a[k]);
// 根据g数组可以知道f[k]是从那个状态转移的
k = g[k];
}
return 0;
}
cpp
// 给定一个长度为n的数列，求数值"严格递增"的子序列的长度最长时多少？
#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int N = 1010;
int n;
int a[N], f[N];// 数列 状态
int main()
{
scanf("%d", &n);
for(int i = 1; i <= n; i ++) scanf("%d", &a[i]);
for(int i = 1; i <= n; i ++)
{
f[i] = 1;// 只有a[i]一个数
for(int j = 1; j < i; j ++)
// 保证递增：a[j] 是 a[i] 的前一个数
if(a[j] < a[i])
f[i] = max(f[i], f[j] + 1);
}
int res = 0;
// 便利所有f[i]
for(int i = 1; i <= n; i ++) res = max(res, f[i]);
printf("%d", res);
return 0;
}
3.最长公共子序列：
cpp
// 给定两个长度分别为n和m的字符串A和B，
// 求即是A的子序列又是B的子序列的字符串的长度最长是多少？
#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int N = 1010;
int n, m;
char a[N], b[N];// 2个字符串
int f[N][N];
int main()
{
scanf("%d%d", &n, &m);
scanf("%s%s", a + 1, b + 1);// 注意1：从a[1]开始输入字符串
// 从1开始遍历
for(int i = 1; i <= n; i ++)
for(int j = 1; j <= m; j ++)
{
f[i][j] = max(f[i - 1][j], f[i][j - 1]);
if(a[i] == b[j]) f[i][j] = max(f[i][j], f[i - 1][j - 1] + 1);
}
printf("%d\n", f[n][m]);
return 0;
}
二、区间dp：
1.石子合并：
cpp
// 设有n堆石子排成一排，其编号为1,2,3，......，n
// 用一个整数描述每堆石子的质量，现在要将这n堆石子合并为一堆。
// 例子1：有1 3 5 2四堆石子，我们可以先合并1、2堆，代价为4，得到4 5 2，又合并1、2堆，
// 代价为9，得到9 2，在合并得到11，总代价：4+9+11=24
// 例子2：先合并1和2、3和4堆，代价为4+7，得到4 7，再合并，代价为11，总代价：4+7+11=22
#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int N = 310;
int n;
int s[N];// 原始数据
int f[N][N];
int main()
{
scanf("%d", &n);
for(int i = 1; i <= n; i ++) scanf("%d", &s[i]);
// 前缀和数组：
for(int i = 1; i <= n; i ++) s[i] += s[i - 1];
// 按长度从小到大枚举所有状态：从2开始
// 区间长度为1：不需要代价
for(int len = 2; len <= n; len ++)
// 枚举起点：
for(int i = 1; i + len - 1 <= n; i ++)
{
// 左右端点：
int l = i, r = i + len - 1;
f[l][r] = 1e8;// 要初始化为一个比较大的数！！！
// 枚举分界点：
for(int k = 1; k < r; k ++)
f[l][r] = min(f[l][r], f[l][k] + f[k + 1][r] + s[r] - s[l - 1]);
}
printf("%d\n", f[1][n]);
return 0;
} 
总结
提示：这里对文章进行总结：
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