力扣日记4.10-【动态规划篇】343. 整数拆分

力扣日记：【动态规划篇】343. 整数拆分

日期：2024.4.10

参考：代码随想录、力扣

343. 整数拆分

题目描述

难度：中等

给定一个正整数 n ，将其拆分为 k 个正整数的和（ k >= 2 ），并使这些整数的乘积最大化。

返回你可以获得的最大乘积。

示例 1:

输入: n = 2

输出: 1

解释: 2 = 1 + 1, 1 × 1 = 1。

示例 2:

输入: n = 10

输出: 36

解释: 10 = 3 + 3 + 4, 3 × 3 × 4 = 36。

提示:

2 <= n <= 58

题解

cpp ver

cpp 复制代码

class Solution {
public:
    int integerBreak(int n) {
        /* 
        思路：求一个数拆分之后能得到的最大乘积：则可以尝试把该数拆成2个数、3个数、...等，分别看各种情况的值，再取最大值
        这里运用动规的关键是，怎么用递推关系表示拆分
        首先定义dp[i] 表示将 i 拆分之后(注意dp包含了拆分的意味) 可以获得的最大乘积
        则对一个数 i , 其拆分可表示为两种情况：
        一是拆成两个数，即 j * (i - j)（这里 j 从 1 遍历到 i-2 ，因为 i - j 要 >= 2 才有意义）
        二是拆成三个数及以上，表示为 j * dp[i-j] （注意 dp[i-j] 包含了将 i-j 拆成更小的数的情况）
        而至于 j 拆成更小的数的情况，已经包含在遍历过程中 遍历到 j-1，j-2 等的情况里了
        所以 dp[i] = max_j { max{j*(i-j), j*dp[i-j]} } 注意有两层max，即先从两种情况下选出最大值，再找到哪一个j对应的dp[i]最大
        */
        // 定义 dp 数组
        vector<int> dp(n + 1);
        // 初始化，这里dp[0]和dp[1]没有意义，因为不能拆分，所以从2开始初始化
        dp[2] = 1; // 2 只能拆成2个1，不能包含在递推中
        // 遍历：对 i 从 3 遍历到 n；对 j 从 1 遍历到 i-2（如果要优化，可以遍历到 i/2，因为只有让拆出来的数尽可能大小接近，才能得到最大乘积）
        for (int i = 3; i <= n; i++) {  // 遍历 i 得到 dp[i]
            int max_dp_i = 0;
            for (int j = 1; j <= i - 2; j++) { // 遍历 j，看 j 取哪一个值能得到 dp[i] 的最大值
                int cur_dp_i = max(j * (i - j), j * dp[i - j]);
                max_dp_i = max(cur_dp_i, max_dp_i);  // 看当前j对应的dp[i]是否是最大dp[i]
                // 也可以直接表示成 dp[i] = max(dp[i], max(j * (i - j), j * dp[i - j]))
            }
            dp[i] = max_dp_i;   // 记录max_dp_i为真正的dp[i]
        }
        return dp[n];
    }
};

复杂度

时间复杂度：O(n * n)

空间复杂度：O(n)

思路总结

思路：求一个数拆分之后能得到的最大乘积：则可以尝试把该数拆成2个数、3个数、...等，分别看各种情况的值，再取最大值
这里运用动规的关键是，怎么用递推关系表示拆分
- 首先定义dp $i$ 表示将 i 拆分之后(注意dp包含了拆分的意味) 可以获得的最大乘积
- 则对一个数 i , 其拆分可表示为两种情况：
  - 一是拆成两个数，即 j * (i - j)（这里 j 从 1 遍历到 i-2 ，因为 i - j 要 >= 2 才有意义）
  - 二是拆成三个数及以上，表示为 j * dp $i-j$ （注意 dp $i-j$ 包含了将 i-j 拆成更小的数的情况）
  - 而至于 j 拆成更小的数的情况，已经包含在遍历过程中遍历到 j-1，j-2 等的情况里了
- 所以 dp[i] = max_j { max{j*(i-j), j*dp[i-j]} }
  - 注意有两层max，即先从两种情况下选出最大值，再找到哪一个j对应的dp $i$ 最大