RSA解密
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题目：
思路：
对于这道题目，给出了三个已知量n d C，要我们进行解密，对于解密的公式 X = C e m o d n X = C^e \mod n X=Cemodn来讲，我们有唯一的参数e是未知的，因此问题就转化为了如何求解e的值，对于求解e的值，题目给出的有用条件：找到两个质数p q使其满足 d = p ⋅ q d = p \cdot q d=p⋅q 和 d m o d ( p − 1 ) ⋅ ( q − 1 ) = 1 d \mod {(p - 1) \cdot (q - 1)} = 1 dmod(p−1)⋅(q−1)=1，即d与（p - 1）·（q - 1）互质，然后给出 ( d ⋅ e ) m o d ( ( p − 1 ) ⋅ ( q − 1 ) ) = 1 (d\cdot e) \mod ((p - 1)\cdot (q - 1)) = 1 (d⋅e)mod((p−1)⋅(q−1))=1。使用更易懂的公式可表述为： d ⋅ e − k ( ( p − 1 ) ⋅ ( q − 1 ) ) = 1 ，（其中 k 是一个未知量） d\cdot e - k((p - 1)\cdot (q - 1)) = 1，（其中k是一个未知量） d⋅e−k((p−1)⋅(q−1))=1，（其中k是一个未知量），意思是：对于 d ⋅ e d \cdot e d⋅e，可以减去 k k k个 ( p − 1 ) ⋅ ( q − 1 ) (p - 1)\cdot (q - 1) (p−1)⋅(q−1)，使得最后的差值为 1 1 1。
对公式 d ⋅ e − k ( ( p − 1 ) ⋅ ( q − 1 ) ) = 1 ，（其中 k 是一个未知量） d\cdot e - k((p - 1)\cdot (q - 1)) = 1，（其中k是一个未知量） d⋅e−k((p−1)⋅(q−1))=1，（其中k是一个未知量） 的理解：
举个例子：假设 d ⋅ e = 16 d \cdot e = 16 d⋅e=16而 ( p − 1 ) ⋅ ( q − 1 ) = 5 (p - 1)\cdot (q - 1) = 5 (p−1)⋅(q−1)=5，我们要求 ( d ⋅ e ) m o d ( ( p − 1 ) ⋅ ( q − 1 ) ) = 1 即 16 m o d 5 = 1 (d\cdot e) \mod ((p - 1)\cdot (q - 1)) = 1 ~~~ 即16 \mod 5 = 1 (d⋅e)mod((p−1)⋅(q−1))=1 即16mod5=1，这个意思是使
16除以5的余数为1，因为除法和减法有着非常大的联系（除以一个数的值等于减去这个数的次数，余数等于相减之后的差值），因此我们可以从新将其写为 16 − k ⋅ 5 = 1 16 - k\cdot 5 = 1 16−k⋅5=1，即16减去多少个5后值为1。
为了方便书写，我们设 φ = ( p − 1 ) ⋅ ( q − 1 ) \varphi = (p - 1)\cdot(q - 1) φ=(p−1)⋅(q−1)，这样公式就又化简为了 d ⋅ e − k φ = 1 ，（其中 k 是一个未知量） d\cdot e - k\varphi = 1，（其中k是一个未知量） d⋅e−kφ=1，（其中k是一个未知量），由于又涉及到了两个新的未知量 φ \varphi φ和 k k k，要想求出 e e e，我们需要提前求出 φ \varphi φ和 k k k，对于k，暂时无法直接求出，因为并没有足够的信息能够求出这个值（在下面会使用到扩展欧几里得算法进行求解），对于 φ \varphi φ，其中又包含了两个参数p和q，对于p和q的求解，我们可以使用枚举的思想，利用给出的公式 d = p ⋅ q d = p \cdot q d=p⋅q和p q都是质数这两个条件进行求解。
求解参数 p p p 和参数 q q q
一个规律是：对于一个数，如果这个数是由两个质数相乘得来的，那么这个数的因子只包含1和它本身以及相乘而来的两个质数。如： 35 = 5 × 7 35 = 5 \times 7 35=5×7，那么35的因子有1 35 5 7这四个数。
利用这个规律，我们可以设计出如下算法：
cpp
// 寻找pq的值
void Find(long long n, long long &p, long long &q){
int ans;
for(long long i = 2;i * i <= n;i ++){
if(n % i != 0){
continue;
}
p = i;
q = n / p;
}
return ;
} 如此我们便找到了两个参数p和q，接下来便到了真正要求解参数e的时候了我们得到了参数 φ \varphi φ，因此原公式 d ⋅ e − k φ = 1 d\cdot e - k\varphi = 1 d⋅e−kφ=1，只剩下了两个参数k，和我们需要的参数e，这就变为了求解一个二元一次方程组，对于二元一次方程组，要想求出两个未知量，我们至少需要直到两个等式关系，但是这里我们只知道了一组等式关系，因此无法使用常规的思想进行求解。但是观察到等式右边的值为1，如果了解扩展欧几里得算法的小伙伴就会想到，这个方程可以使用扩展欧几里得的方法进行求解。
扩展欧几里得算法
对于扩展欧几里得算法，百度上是这样解释的。
对于公式： a x + b y = gcd ( a , b ) ax + by = \gcd(a, b) ax+by=gcd(a,b)，gcd(a, b)表示a和b的最大公约数。一个理解方式是：如果a，b是整数，那么一定存在整数x和y，能使得公式 a x + b y = gcd ( a , b ) ax + by = \gcd(a, b) ax+by=gcd(a,b)成立。换句话说：如果公式 a x + b y = C ax + by = C ax+by=C成立，那么 C C C一定是 gcd ( a , b ) \gcd (a,b) gcd(a,b)的若干倍。
对于扩展欧几里得算法由如下公式：
公式推导：
a 1 ⋅ x 1 + b 1 ⋅ y 1 = gcd ( a 1 , b 1 ) a_1 \cdot x_1 + b_1 \cdot y_1 = \gcd (a_1, b_1) a1⋅x1+b1⋅y1=gcd(a1,b1)
a 2 = ( b 1 ) ⋅ x 2 + b 2 = ( a 1 % b 1 ) = ⋅ y 2 = gcd ( a 2 , b 2 ) a_2=(b1) \cdot x_2 + b_2 = (a_1 \% b_1) = \cdot y_2 = \gcd (a_2, b_2) a2=(b1)⋅x2+b2=(a1%b1)=⋅y2=gcd(a2,b2)
a 3 = ( b 2 ) ⋅ x 3 + b 3 = ( a 2 % b 2 ) ⋅ y 3 = gcd ( a 3 , b 3 ) a_3 = (b2) \cdot x_3 + b_3 = (a_2 \% b2) \cdot y_3 = \gcd (a_3, b_3) a3=(b2)⋅x3+b3=(a2%b2)⋅y3=gcd(a3,b3)
⋮ \vdots ⋮
a i − 1 = ( b i − 2 ) ⋅ x i − 1 + b i − 1 = ( a i − 2 % b i − 2 ) ⋅ y i − 1 = g c d ( a i − 1 , b i − 1 ) a_{i-1} = (b_{i - 2})\cdot x_{i - 1} + b_{i - 1} = (a_{i - 2} \% b_{i - 2}) \cdot y_{i - 1} = gcd(a_{i - 1}, b_{i - 1}) ai−1=(bi−2)⋅xi−1+bi−1=(ai−2%bi−2)⋅yi−1=gcd(ai−1,bi−1)
a i = ( b i − 1 ) ⋅ x i + b i = ( a i − 1 % b i − 1 ) ⋅ y i = g c d ( a i , b i ) a_i = (b_{i - 1})\cdot x_i + b_i = (a_{i - 1} \% b_{i - 1}) \cdot y_i = gcd(a_i, b_i) ai=(bi−1)⋅xi+bi=(ai−1%bi−1)⋅yi=gcd(ai,bi)
⋮ \vdots ⋮
a n − 1 = ( b n − 2 ) ⋅ x n − 1 + b n − 1 = ( a n − 2 % b n − 2 ) ⋅ y n − 1 = g c d ( a n − 1 , b n − 1 ) a_{n-1} = (b_{n - 2})\cdot x_{n - 1} + b_{n - 1} = (a_{n - 2} \% b_{n - 2}) \cdot y_{n - 1} = gcd(a_{n - 1}, b_{n - 1}) an−1=(bn−2)⋅xn−1+bn−1=(an−2%bn−2)⋅yn−1=gcd(an−1,bn−1)
a n = ( b n − 1 ) ⋅ x n + b n = ( a n − 1 % b n − 1 ) ⋅ y n = g c d ( a n , b n ) a_n = (b_{n - 1})\cdot x_n + b_n = (a_{n - 1} \% b_{n - 1}) \cdot y_n = gcd(a_n, b_n) an=(bn−1)⋅xn+bn=(an−1%bn−1)⋅yn=gcd(an,bn)由欧几里得算法（即：辗转相除法）可以知道： gcd ( a i − 1 , b i − 1 ) = gcd ( a i , b i ) \gcd (a_{i - 1}, b_{i - 1}) = \gcd (a_i, b_i) gcd(ai−1,bi−1)=gcd(ai,bi)，即无论
a和b的值是什么，其最大公因数永远是相等的。因此可以得到： a i = ( b i − 1 ) ⋅ x i − 1 + b i = ( a i − 1 % b i − 1 ) ⋅ y i − 1 = a i − 1 = ( b i − 2 ) ⋅ x i + b i − 1 = ( a i − 2 % b i − 2 ) ⋅ y i a_i = (b_{i - 1})\cdot x_{i - 1} + b_i = (a_{i - 1} \% b_{i - 1}) \cdot y_{i - 1} = a_{i-1} = (b_{i - 2})\cdot x_i + b_{i - 1} = (a_{i - 2} \% b_{i - 2}) \cdot y_i ai=(bi−1)⋅xi−1+bi=(ai−1%bi−1)⋅yi−1=ai−1=(bi−2)⋅xi+bi−1=(ai−2%bi−2)⋅yi
因为： a % b = a − a b × b a \% b = a - \frac{a}{b} \times b a%b=a−ba×b，带入到上述公式中得可以得到： a i − 1 ⋅ x i − 1 + b i − 1 ⋅ y i − 1 = b i − 1 ⋅ x i + ( a i − 1 − ( a i − 1 / b i − 1 ) × b i − 1 ) ⋅ y i a_{i - 1} \cdot x_{i - 1} + b_{i - 1} \cdot y_{i - 1} = b_{i - 1} \cdot x_i + (a_{i - 1} - (a_{i - 1} / b_{i - 1}) \times b_{i - 1}) \cdot y_i ai−1⋅xi−1+bi−1⋅yi−1=bi−1⋅xi+(ai−1−(ai−1/bi−1)×bi−1)⋅yi，整理可得： a i − 1 ⋅ x i − 1 + b i − 1 ⋅ y i − 1 = a i − 1 ⋅ y i + b i − 1 ⋅ ( x i − a i − 1 b i − 1 ⋅ y i ) a_{i - 1} \cdot x_{i - 1} + b_{i - 1} \cdot y_{i - 1} = a_{i - 1} \cdot y_i + b_{i - 1} \cdot (x_i - \frac{a_{i - 1}}{b_{i - 1}}\cdot y_i) ai−1⋅xi−1+bi−1⋅yi−1=ai−1⋅yi+bi−1⋅(xi−bi−1ai−1⋅yi)
可以发现如下规律：
x i − 1 = y i x_{i - 1} = y_i xi−1=yi
y i − 1 = x i − a i − 1 b i − 1 ⋅ y i y_{i - 1} = x_i - \frac{a_{i - 1}}{b_{i - 1}}\cdot y_i yi−1=xi−bi−1ai−1⋅yi
并且由欧几里得算法可以得到：最后 b n = 0 b_n = 0 bn=0， a n = g c d ( a , b ) a_n = gcd(a, b) an=gcd(a,b)
如果我们知道了
gcd(a, b)，那么我们可任意设定 y n y_n yn的值，因为 y n y_n yn的参数 b n = 0 b_n = 0 bn=0，并且设定 x n x_n xn的值为 g c d ( a , b ) gcd(a, b) gcd(a,b)，再利用上面得到的规律，可以递归的求解出 x 1 x_1 x1和 y 1 y_1 y1的值。举例：对于 a n = ( b n − 1 ) ⋅ x n + b n = ( a n − 1 % b n − 1 ) ⋅ y n = g c d ( a n , b n ) a_n = (b_{n - 1})\cdot x_n + b_n = (a_{n - 1} \% b_{n - 1}) \cdot y_n = gcd(a_n, b_n) an=(bn−1)⋅xn+bn=(an−1%bn−1)⋅yn=gcd(an,bn)，我们可以求解出 x n x_n xn和 y n y_n yn（因为这两个值是设定出来的），然后 x n − 1 = y n y n − 1 = x n − a n − 1 b n − 1 ⋅ y n x_{n - 1} = y_n~~~y_{n - 1} = x_n - \frac{a_{n - 1}}{b_{n - 1}}\cdot y_n xn−1=yn yn−1=xn−bn−1an−1⋅yn，如此便可递归的求解出 x 1 x_1 x1和 y 1 y_1 y1了。
因为公式 d ⋅ e − k φ = 1 d\cdot e - k\varphi = 1 d⋅e−kφ=1中 d d d与 φ \varphi φ是互质的，也就是 gcd ( d , φ ) = 1 \gcd(d, \varphi) = 1 gcd(d,φ)=1，正好可以使用扩展欧几里得算法进行求解这个二元一次方程组，相当于已经知道了 gcd ( d , φ ) \gcd(d, \varphi) gcd(d,φ)的值， d ⋅ e − k φ = gcd ( d , φ ) = 1 d\cdot e - k\varphi = \gcd(d, \varphi) = 1 d⋅e−kφ=gcd(d,φ)=1。
代码实现：
cpp
long long ex_gcd(long long a, long long b, long long &x, long long &y){ // 这里的参数x，y一定要用引用的方式传参
if(!b){ // 如果b == 0, 表明已经递归到最后一个了，就设定y = 0, x = 1(表示a和b的最大公因子)
x = 1;
y = 0;
return a; // 到达最后一个公式后就进行返回a，a表示的是第一个式子的最大公因子
}
long long d = e_gcd(b, a % b, x, y); // 记录下一个式子的返回的a的值，因为是递归的关系，最终记录的是最后一个式子的a的值。
long long t = x; // 使用临时变量记录一下下一个式子得到的x的值
x = y; // 更新当前式子的x的值
y = t - a / b * y; // 更新当前式子的y的值
return d; // 最后返回d，d的值是由最后一个公式的a的值进行传递过来的，即（a, b）的最大公因子
}如此我们便可以求得e，k，的值了，如果上述代码返回的不是1，即(a, b)的最大公因子不是1，说明没有解，即：a与b的最大公因子不是1，那么就直接输出-1，如果返回的是1，表明有解，并且已经求出解了，即：e = x， k = y。为了防止e为负数，需要对计算出的结果做如下运算： e = ( e m o d φ + φ ) m o d φ e = (e \mod \varphi + \varphi) \mod \varphi e=(emodφ+φ)modφ。
如何理解公式 e = ( e m o d φ + φ ) m o d φ e = (e \mod \varphi + \varphi) \mod \varphi e=(emodφ+φ)modφ呢？
通俗的解释：
因为
e满足公式 e ⋅ d ≡ 1 m o d φ ( n ) e\cdot d \equiv 1 \mod \varphi(n) e⋅d≡1modφ(n) ，也就是 e ⋅ d e\cdot d e⋅d与1在模 φ \varphi φ下余数相等，因此为了确保e为正值，我们可以利用公式 e = ( e m o d φ + φ ) m o d φ e = (e \mod \varphi + \varphi) \mod \varphi e=(emodφ+φ)modφ来使e保持 0 − φ 0 - \varphi 0−φ的范围内，举个例子：如果a = -3，b = 17，m = 5，那么 − 3 ≡ 17 ( m o d 5 ) -3 \equiv 17 \pmod{5} −3≡17(mod5)，因为-3除以5的余数为2，17除以5的余数也为2，为了保证a为正值，我们可以令： ( − 3 m o d 5 + 5 ) m o d 5 = ( 2 + 5 ) m o d 5 = 2 (-3 \mod 5 + 5) \mod 5 = (2 + 5) mod 5 = 2 (−3mod5+5)mod5=(2+5)mod5=2。得到 a = 2 a = 2 a=2，并且a与5进行取余得到的结果也为2。较为官方的解释：
保持同余性质 ：在RSA算法中，
e和d必须满足 e ⋅ d ≡ 1 m o d φ ( n ) e\cdot d \equiv 1 \mod \varphi(n) e⋅d≡1modφ(n) 表示 e ⋅ d e\cdot d e⋅d与1在模 φ \varphi φ下余数相等，这是加密和解密正确性的基础。如果e为负数，直接取模可能会导致e和d不满足同余性质。通过使用 e = ( e m o d φ + φ ) m o d φ e = (e \mod \varphi + \varphi) \mod \varphi e=(emodφ+φ)modφ 这样的方法，可以保持e在模 φ \varphi φ 下的同余性质不变，同时确保e为正值。在数论中，同余性质是指两个整数除以同一个正整数所得的余数相同。形式上，如果两个整数
a和b除以正整数m所得的余数相同，则称a和b在模m下同余，记作 a ≡ b ( m o d m ) a \equiv b \pmod{m} a≡b(modm)。例如，如果a = 7，b = 17，m = 5，那么 7 ≡ 17 ( m o d 5 ) 7 \equiv 17 \pmod{5} 7≡17(mod5)，因为7除以5的余数为2，17除以5的余数也为2。
在求解出e之后，我们可以直接使用公式： X = C e m o d n X = C^e \mod n X=Cemodn，将值进行带入即可，但是又因为 C C C的值非常大，我们需要用到快速幂的方法，又因为快速幂中存在乘法运算，极易导致内存溢出的现象（在很大的数的情况下），因此我们需要在快速幂的基础上使用快速乘的方法进行运算（在计算机中，计算加法的速度往往比计算乘法的速度要快），并且数值都要使用long long的类型。
代码：
cpp
// RSA解密
#include<iostream>
#include<math.h>
#include<vector>
using namespace std;
typedef long long ll;
// 最大公约数
int gcd(int a, int b){
return b == 0? a : gcd(b, a % b);
}
// 扩展欧几里得算法
long long e_gcd(long long a, long long b, long long &x, long long &y){
if(!b){ // 如果b == 0
x = 1;
y = 0;
return a;
}
long long d = e_gcd(b, a % b, x, y);
long long t = x;
x = y;
y = t - a / b * y;
return d;
}
// 快速乘算法
ll FastTimes(ll num, ll times, ll n){
ll ans = 0; // 这里要初始化为0
num %= n;
while(times){
if(times & 1){
ans += num;
ans %= n;
times --;
}else{
times >>= 1;
num += num;
num %= n;
}
}
return ans;
}
// 快速幂算法
ll FastPower(ll base, ll index, ll n){
ll ans = 1;
base %= n;
while(index){
if(index & 1){
ans = FastTimes(ans, base, n);
index--;
}else{
index >>= 1;
base = FastTimes(base, base, n);
}
}
return ans;
}
// 寻找pq的值
void FindPQ(ll n, ll &p, ll &q){
int ans;
for(ll i = 2;i * i <= n;i ++){
if(n % i != 0){
continue;
}
p = i;
q = n / p;
}
return ;
}
int solve(){
ll n = 1001733993063167141;
ll c = 20190324;
ll d = 212353;
ll p = -1, q = -1;
// FindPQ(n, p, q); // 找到p q的值
p=891234941,q=1123984201;
// 找到p 和 q之后继续寻找e
ll fy = (p - 1) * (q - 1);
ll _x, _y;
ll gc = e_gcd(d, fy, _x, _y);
ll e;
if(gc == 1){
e = (_x%fy + fy)%fy;
}else{
return -1;
}
ll X = FastPower(c, e, n);
cout<<X<<endl;
return 0;
}
signed main(){
ios::sync_with_stdio(0);
cin.tie(0);
ll t = 1;
while(t--){
solve();
}
return 0;
} 