【数学建模】机器人避障问题

已知：

正方形5的左下顶点坐标 ( 80 , 60 ) (80,60) (80,60)，边长 150 150 150
机器人与障碍物的距离至少超过 10 10 10个单位
规定机器人的行走路径由直线段和圆弧组成，其中圆弧是机器人转弯路径。
机器人不能折线转弯，转弯路径由与直线路径相切的一段圆弧组成，也可以由两个或多个相切的圆弧路径组成，但每个圆弧的半径最小为 10 10 10个单位。
机器人直线行走的最大速度为 v 0 v_0 v0= 5单位/秒
机器人转弯时，最大转弯速度为 v = v ( p ) = v 0 / ( 1 + e 10 − 0.1 p 2 ) v = v(p) = v_0 /( {1+ e^{10-0.1p^2}}) v=v(p)=v0/(1+e10−0.1p2)
其中 p p p是转弯半径。如果超过该速度，机器人将发生侧翻，无法完成行走。
A点坐标 ( 300 , 300 ) (300,300) (300,300)

需要研究的问题

[问题:机器人从 O ( 0 , 0 ) O(0,0) O(0,0)出发，到达A的最短时间及其路径](#问题:机器人从 O ( 0 , 0 ) O(0,0) O(0,0)出发，到达A的最短时间及其路径)

问题:机器人从 O ( 0 , 0 ) O(0,0) O(0,0)出发，到达A的最短时间及其路径

问题1：画出机器人只在正方形左上角拐弯，拐弯半径为10的图

第一问其实是为整个问题服务的，也算是先进行一个预测，写一个样例先

MATLAB

基本数据定义：

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x = 80;
y = 210;
r = 10;
theta = 0:pi/20:2*pi; %角度[0,2*pi] 
hold on;

画一个正方形：

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%定义x,y轴范围
xlim([0,300]);
ylim([0,300]);
%四条线形成一个正方形
line([80,80],[60,210]);
line([80,230],[210,210]);
line([80,230],[60,60]);
line([230,230],[60,210]);

在正方形左上角为圆心画圆

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plot(x+r*cos(theta),y+r*sin(theta),'-');

接着求切点
建立切点模型：

设切点为 ( x 1 , x 2 ) (x_1,x_2) (x1,x2) , 正方形左上角为圆心 ( x , y ) , x = 80 ; y = 210 ; (x,y) , x = 80;y = 210; (x,y),x=80;y=210; 圆半径 r = 10 r = 10 r=10 ；切线上除切点另外一点 ( x 2 , y 2 ) (x_2,y_2) (x2,y2) ;
即圆外一点 ( x 2 , y 2 ) (x_2,y_2) (x2,y2)引两条切线方程

因为切线和切点到圆心的直线垂直

则有 ( x − x 2 ) 2 + ( y − y 2 ) 2 = r 2 + ( x 1 − x 2 ) 2 + ( y 1 − y 2 ) 2 (x-x_2)^2+(y-y_2)^2 = r^2 + (x_1-x_2)^2 + (y_1-y_2)^2 (x−x2)2+(y−y2)2=r2+(x1−x2)2+(y1−y2)2

并且切点在圆上有：（ x 1 − x ） 2 + ( y 1 − y ) 2 = r 2 （x_1-x）^2 + (y_1-y)^2 = r^2 （x1−x）2+(y1−y)2=r2

由切点模型和圆外一点 O ( 0 , 0 ) O(0,0) O(0,0)建立方程求解

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%这里在命令行窗口求解即可
solve('(px-80)^2+(py-210)^2=100','px^2+py^2+100=210^2+80^2');

排除不符合要求的点

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px =  8064/101 - (252*14^(1/2))/101;

%(252*14^(1/2))/101 + 8064/101
%8064/101 - (252*14^(1/2))/101

py = (96*14^(1/2))/101 + 21168/101;

%21168/101 - (96*14^(1/2))/101
%(96*14^(1/2))/101 + 21168/101

由切点模型和圆外一点 A ( 300 , 300 ) A(300,300) A(300,300)建立方程求解

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%这里在命令行窗口求解即可
solve('(px-80)^2+(py-210)^2=100','(px-300)^2+(py-300)^2+100=220^2+90^2')

排除不符合要求的点

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px2 =9084/113 - (36*141^(1/2))/113;
%(36*141^(1/2))/113 + 9084/113
%9084/113 - (36*141^(1/2))/113

py2 =(88*141^(1/2))/113 + 23748/113;
%23748/113 - (88*141^(1/2))/113
%(88*141^(1/2))/113 + 23748/113

将切线画出来

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line([0,px],[0,py]);
line([px2,300],[py2,300]);

问题2：机器人只在正方形左上角拐弯，拐弯半径为10，求路径长度和时间

由问题一的图可知，路径分三段

先求最简单的两段直线长度

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pdist([[0,0];[px,py]],'euclidean')
pdist([[300,300];[px2,py2]],'euclidean')
%直线总距离
L2 = pdist([[0,0];[px,py]],'euclidean') + pdist([[300,300];[px2,py2]],'euclidean');

机器人走直线时间

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ans1 = L2/v0

再求弧线长度和机器人走弧度时间以及总时间

已知圆上弧长公式为: l = ∣ θ ∣ r , ( θ 为圆心角，弧度 ) l=|\theta|r , (\theta为圆心角，弧度) l=∣θ∣r,(θ为圆心角，弧度)

建立圆上两点弧长模型 :

设圆上两点分别为 ( x 1 , y 1 ) , ( x 2 , y 2 ) (x_1,y_1),(x_2,y_2) (x1,y1),(x2,y2)

则弦长为 d = ( x 1 − x 2 ) 2 + ( y 1 − y 2 ) 2 d= \sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2} d=(x1−x2)2+(y1−y2)2

设圆心角为 θ \theta θ，则圆周角为 θ / 2 \theta/2 θ/2

连接两点，连接其中一点和圆心并且延长交圆上一点 ( x 3 , y 3 ) (x_3,y_3) (x3,y3) ，连接 ( x 3 , y 3 ) (x_3,y_3) (x3,y3)和另外一点，构成直角三角形

可得 s i n ( θ / 2 ) = d / ( 2 r ) sin(\theta/2) = d / (2r) sin(θ/2)=d/(2r)

所以 θ = 2 ∗ arcsin ⁡ ( d / ( 2 r ) ) \theta = 2*\arcsin{(d/(2r))} θ=2∗arcsin(d/(2r))

弧长 l = θ ∗ r l = \theta * r l=θ∗r

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%求弧度
%圆心角
d=sqrt((px-px2)^2+(py-py2)^2);
therta=2*asin(d/20);
%弧长
L=10*therta;

总时间

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%求弧度
%圆心角
d=sqrt((px-px2)^2+(py-py2)^2);
therta=2*asin(d/20);
%弧长
L=10*therta;
%直线总距离
L2 = pdist([[0,0];[px,py]],'euclidean') + pdist([[300,300];[px2,py2]],'euclidean');

v0 = 5;
vp = v0/(1+(exp(1)^(10-0.1*10*10)));

ans1 = L2/v0 + L/vp;

求得为 96.017639004032700

问题3：求出最短时间及其路径

由前两问我们得出了圆上两点弧长模型 和建立切点模型

这一问就是结合上面模型，求一个求最小值的最优模型

设直线总长度为 s 1 s_1 s1,弧线总长度为 s 2 s_2 s2

有 min ⁡ a n s = s 1 / v 0 + s 2 / v \min{ans = s_1/v0 + s_2/v} minans=s1/v0+s2/v

最优的话拐弯半径和圆心肯定会变化

设转弯圆心为 ( x , y ) (x,y) (x,y)，半径为 r r r

分别以 ( 0 , 0 ) 和 ( 300 , 300 ) (0,0)和(300,300) (0,0)和(300,300)为圆外一点的切点分别为 ( x 1 , y 1 ) , ( x 2 , y 2 ) (x_1,y_1),(x_2,y_2) (x1,y1),(x2,y2)

由建立切点模型我们可得以下方程
{ x 2 + y 2 = r 2 + x 1 2 + y 1 2 （ x 1 − x ） 2 + ( y 1 − y ) 2 = r 2 ( x − 300 ) 2 + ( y − 300 ) 2 = r 2 + ( x 1 − 300 ) 2 + ( y 1 − 300 ) 2 （ x 2 − x ） 2 + ( y 2 − y ) 2 = r 2 \begin{cases} x^2+y^2 = r^2 + x_1^2 + y_1^2 \\ （x_1-x）^2 + (y_1-y)^2 = r^2 \\ (x-300)^2+(y-300)^2 = r^2 + (x_1-300)^2 + (y_1-300)^2\\ （x_2-x）^2 + (y_2-y)^2 = r^2 \end{cases} ⎩ ⎨ ⎧x2+y2=r2+x12+y12（x1−x）2+(y1−y)2=r2(x−300)2+(y−300)2=r2+(x1−300)2+(y1−300)2（x2−x）2+(y2−y)2=r2

由圆上两点弧长模型和上述切点 ( x 1 , y 1 ) , ( x 2 , y 2 ) (x_1,y_1),(x_2,y_2) (x1,y1),(x2,y2)可得方程
s 2 = 2 ∗ ( arcsin ⁡ ( x 1 − x 2 ) 2 + ( y 1 − y 2 ) 2 / ( 2 r ) ) ∗ r s_2 = 2 * (\arcsin{\sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2}/(2r)})*r s2=2∗(arcsin(x1−x2)2+(y1−y2)2 /(2r))∗r

由圆心之间可得直线距离方程
s 1 = x 2 + y 2 − r 2 / v + ( x − 300 ) 2 + ( y − 300 ) 2 − r 2 / v s_1 = \sqrt{x^2+y^2-r^2}/v + \sqrt{(x-300)^2+(y-300)^2-r^2}/v s1=x2+y2−r2 /v+(x−300)2+(y−300)2−r2 /v

或者有上述切点可得直线距离方程为
s 1 = x 1 2 + y 1 2 / v + ( x 2 − 300 ) 2 + ( y 2 − 300 ) 2 / v s_1 = \sqrt{x_1^2+y_1^2}/v + \sqrt{(x_2-300)^2+(y_2-300)^2}/v s1=x12+y12 /v+(x2−300)2+(y2−300)2 /v

由于在左上角的时候是极限情况，圆心连接正方形左上角并延长出去距离必须大于等于10可得
r − ( x − 80 ) 2 + ( y − 210 ) 2 ≥ 10 r - \sqrt{(x-80)^2 + (y-210)^2}\ge10 r−(x−80)2+(y−210)2 ≥10

LINGO求解

text 复制代码

data:
v0 = 5;
e = 2.71828;
enddata
s = 2*r * @asin(@sqrt((x1-x2)^2 + (y1-y2)^2)/(2*r));
v = v0 / (1+e^(10-0.1*r^2)); 
min  = @sqrt(x^2 + y^2 - r^2)/5 + @sqrt((x-300)^2 + (y-300)^2 - r^2 )/5 + s/v;
x1^2 + y1^2 + r^2 = x^2 + y^2;
(x2 - 300)^2 + (y2-300)^2 + r^2 = (x-300)^2 + (y-300)^2;
(x1-x)^2 + (y1-y)^2 = r^2;
(x2-x)^2 + (y2-y)^2 =  r^2;
r-@sqrt((x-80)^2+(y-210)^2)>=10;
x1<80;
y2>210;
x>=80 ; x<=230;
y>=60; y<=210;

得出

bash 复制代码

  Objective value:                              94.22825
  Objective bound:                              94.22825
 Variable           Value        Reduced Cost
                             V0        5.000000            0.000000
                              E        2.718280            0.000000
                              S        11.78994            0.000000
                              R        12.98856            0.000000
                             X1        69.80452            0.000000
                             X2        77.74917            0.000000
                             Y1        211.9779            0.000000
                             Y2        220.1387            0.000000
                              V        4.994814            0.000000
                              X        82.14139            0.000000
                              Y        207.9153            0.000000

将数据带入前两问已经写好的MATLAB中可得图像

matlab 复制代码

x = 82.14139;
y = 207.9153;
r = 12.98856;
theta = 0:pi/20:2*pi; %角度[0,2*pi] 
plot(x+r*cos(theta),y+r*sin(theta),'-');
hold on;
xlim([0,300]);
ylim([0,300]);
line([80,80],[60,210]);
line([80,230],[210,210]);
line([80,230],[60,60]);
line([230,230],[60,210]);

px =  69.80452;
py = 211.9779;
px2 =77.74917;
py2 =220.1387;

line([0,px],[0,py]);
line([px2,300],[py2,300]);

%求距离
pdist([[0,0];[px,py]],'euclidean')
pdist([[300,300];[px2,py2]],'euclidean')

%求弧度
%圆心角
d=sqrt((px-px2)^2+(py-py2)^2);
therta=2*asin(d/(2*r));
%弧长
L=r*therta;
%直线总距离
L2 = pdist([[0,0];[px,py]],'euclidean') + pdist([[300,300];[px2,py2]],'euclidean');

v0 = 5;
vp = v0/(1+(exp(1)^(10-0.1*r*r)));

ans1 = L2/v0 + L/vp;

MATLAB数据算出来，验证成功

matlab 复制代码

94.228254381074020