LeetCode-72. 编辑距离【字符串 动态规划】

LeetCode-72. 编辑距离【字符串 动态规划】

题目描述:

给你两个单词 word1 和 word2, 请返回将 word1 转换成 word2 所使用的最少操作数 。

你可以对一个单词进行如下三种操作:

插入一个字符

删除一个字符

替换一个字符

示例 1:

输入:word1 = "horse", word2 = "ros"

输出:3

解释:

horse -> rorse (将 'h' 替换为 'r')

rorse -> rose (删除 'r')

rose -> ros (删除 'e')

示例 2:

输入:word1 = "intention", word2 = "execution"

输出:5

解释:

intention -> inention (删除 't')

inention -> enention (将 'i' 替换为 'e')

enention -> exention (将 'n' 替换为 'x')

exention -> exection (将 'n' 替换为 'c')

exection -> execution (插入 'u')

提示:

0 <= word1.length, word2.length <= 500

word1 和 word2 由小写英文字母组成

此题的解题思路与LeetCode-1143. 最长公共子序列【字符串 动态规划】非常一致!

解题思路一:动规五部曲

  1. 确定dp数组(dp table)以及下标的含义
    dp[i][j] 表示以下标i-1为结尾的字符串word1,和以下标j-1为结尾的字符串word2,最近编辑距离为dp[i][j]。

有同学问了,为啥要表示下标i-1为结尾的字符串呢,为啥不表示下标i为结尾的字符串呢?

为什么这么定义我在 718. 最长重复子数组 (opens new window)中做了详细的讲解。

其实用i来表示也可以! 用i-1就是为了方便后面dp数组初始化的。

  1. 确定递推公式
    在确定递推公式的时候,首先要考虑清楚编辑的几种操作,整理如下:
python 复制代码
if (word1[i - 1] == word2[j - 1])
    不操作
if (word1[i - 1] != word2[j - 1])
    增
    删
    换

也就是如上4种情况。

if (word1[i - 1] == word2[j - 1]) 那么说明不用任何编辑,dp[i][j] 就应该是 dp[i - 1][j - 1],即dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1];

此时可能有同学有点不明白,为啥要即dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1]呢?

那么就在回顾上面讲过的dp[i][j]的定义,word1[i - 1] 与 word2[j - 1]相等了,那么就不用编辑了,以下标i-2为结尾的字符串word1和以下标j-2为结尾的字符串word2的最近编辑距离dp[i - 1][j - 1]就是 dp[i][j]了。

在下面的讲解中,如果哪里看不懂,就回想一下dp[i][j]的定义,就明白了。

在整个动规的过程中,最为关键就是正确理解dp[i][j]的定义!

if (word1[i - 1] != word2[j - 1]),此时就需要编辑了,如何编辑呢?

操作一:word1删除一个元素,那么就是以下标i - 2为结尾的word1 与 j-1为结尾的word2的最近编辑距离 再加上一个操作。

即 dp[i][j] = dp[i - 1][j] + 1;

操作二:word2删除一个元素,那么就是以下标i - 1为结尾的word1 与 j-2为结尾的word2的最近编辑距离 再加上一个操作。

即 dp[i][j] = dp[i][j - 1] + 1;

这里有同学发现了,怎么都是删除元素,添加元素去哪了。

word2添加一个元素,相当于word1删除一个元素,例如 word1 = "ad" ,word2 = "a",word1删除元素'd' 和 word2添加一个元素'd',变成word1="a", word2="ad", 最终的操作数是一样! dp数组如下图所示意的:

python 复制代码
            a                         a     d
   +-----+-----+             +-----+-----+-----+
   |  0  |  1  |             |  0  |  1  |  2  |
   +-----+-----+   ===>      +-----+-----+-----+
 a |  1  |  0  |           a |  1  |  0  |  1  |
   +-----+-----+             +-----+-----+-----+
 d |  2  |  1  |
   +-----+-----+

操作三:替换元素,word1替换word1[i - 1],使其与word2[j - 1]相同,此时不用增删加元素。

可以回顾一下,if (word1[i - 1] == word2[j - 1])的时候我们的操作 是 dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] 对吧。

那么只需要一次替换的操作,就可以让 word1[i - 1] 和 word2[j - 1] 相同。

所以 dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1;

综上,当 if (word1[i - 1] != word2[j - 1]) 时取最小的,即:dp[i][j] = min({dp[i - 1][j - 1], dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]}) + 1;

递归公式代码如下:

python 复制代码
if (word1[i - 1] == word2[j - 1]) {
    dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1];
}
else {
    dp[i][j] = min({dp[i - 1][j - 1], dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]}) + 1;
}
  1. dp数组如何初始化
    再回顾一下dp[i][j]的定义:

dp[i][j] 表示以下标i-1为结尾的字符串word1,和以下标j-1为结尾的字符串word2,最近编辑距离为dp[i][j]。

那么dp[i][0] 和 dp[0][j] 表示什么呢?

dp[i][0] :以下标i-1为结尾的字符串word1,和空字符串word2,最近编辑距离为dp[i][0]。

那么dp[i][0]就应该是i,对word1里的元素全部做删除操作,即:dp[i][0] = i;

同理dp[0][j] = j;

  1. 确定遍历顺序
    从如下四个递推公式:

dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1]

dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1

dp[i][j] = dp[i][j - 1] + 1

dp[i][j] = dp[i - 1][j] + 1

可以看出dp[i][j]是依赖左方,上方和左上方元素的,如图:

所以在dp矩阵中一定是从左到右从上到下去遍历。

  1. 举例推导dp数组
    以示例1为例,输入:word1 = "horse", word2 = "ros"为例,dp矩阵状态图如下:
python 复制代码
class Solution:
    def minDistance(self, word1: str, word2: str) -> int:
        dp = [[0] * (len(word2)+1) for _ in range(len(word1)+1)]
        for i in range(len(word1)+1):
            dp[i][0] = i
        for j in range(len(word2)+1):
            dp[0][j] = j
        for i in range(1, len(word1)+1):
            for j in range(1, len(word2)+1):
                if word1[i-1] == word2[j-1]:
                    dp[i][j] = dp[i-1][j-1]
                else:
                    dp[i][j] = min(dp[i-1][j-1], dp[i-1][j], dp[i][j-1]) + 1
        return dp[-1][-1]

时间复杂度:O(nm)

空间复杂度:O(nm)

解题思路二:动态规划【版本二】

python 复制代码
class Solution:
    def minDistance(self, word1: str, word2: str) -> int:
        m, n = len(word1), len(word2)
        dp = [[0] * (n+1) for _ in range(m+1)]
        for i in range(m+1):
            dp[i][0] = i
        for j in range(n+1):
            dp[0][j] = j
        for i in range(1, m+1):
            for j in range(1, n+1):
                if word1[i-1] == word2[j-1]:
                    dp[i][j] = dp[i-1][j-1]
                else:
                    dp[i][j] = min(dp[i-1][j], dp[i-1][j-1], dp[i][j-1]) + 1
        return dp[-1][-1]

时间复杂度:O(nm)

空间复杂度:O(nm)

解题思路三:0

python 复制代码

时间复杂度:O(n)

空间复杂度:O(n)

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