代码学习记录40---动态规划

随想录日记part40

t i m e ： time： time： 2024.04.10

主要内容 ：今天开始要学习动态规划的相关知识了，今天的内容主要涉及：

买卖股票的最佳时机加强版。

动态规划五部曲：

【1】.确定dp数组以及下标的含义

【2】.确定递推公式

【3】.dp数组如何初始化

【4】.确定遍历顺序

【5】.举例推导dp数组

Topic1买卖股票的最佳时机|||

思路：

接下来进行动规五步曲：

1.确定dp数组以及下标的含义:

一天一共就有五个状态，

0.没有操作（其实我们也可以不设置这个状态）

1.第一次持有股票

2.第一次不持有股票

3.第二次持有股票

4.第二次不持有股票

dp $i$ $j$ 中 i表示第i天，j为 $0 - 4$ 五个状态，dp $i$ $j$ 表示第i天状态j所剩最大现金。
需要注意：dp $i$ $1$ ，表示的是第i天，买入股票的状态，并不是说一定要第i天买入股票，这是很多同学容易陷入的误区。例如 dp $i$ $1$ ，并不是说第i天一定买入股票，有可能第 i-1天就买入了，那么 dp $i$ $1$ 延续买入股票的这个状态。

2.确定递推公式:

【达到dp $i$ $1$ 有两个操作】：

操作一：第i天买入股票了，那么dp $i$ $1$ = dp $i-1$ $0$ - prices $i$

操作二：第i天没有操作，而是沿用前一天买入的状态，即：dp $i$ $1$ = dp $i - 1$ $1$

那么dp $i$ $1$ 究竟选 dp $i-1$ $0$ - prices $i$ ，还是dp $i - 1$ $1$ 呢？

一定是选最大的，所以 dp $i$ $1$ = max(dp $i-1$ $0$ - prices $i$ , dp $i - 1$ $1$ );

【dp $i$ $2$ 也有两个操作】：

操作一：第i天卖出股票了，那么dp $i$ $2$ = dp $i - 1$ $1$ + prices $i$

操作二：第i天没有操作，沿用前一天卖出股票的状态，即：dp $i$ $2$ = dp $i - 1$ $2$

所以dp $i$ $2$ = max(dp $i - 1$ $1$ + prices $i$ , dp $i - 1$ $2$ )

同理可推出剩下状态部分：

dp $i$ $3$ = max(dp $i - 1$ $3$ , dp $i - 1$ $2$ - prices $i$ );

dp $i$ $4$ = max(dp $i - 1$ $4$ , dp $i - 1$ $3$ + prices $i$ );

3.dp数组如何初始化

dp数组如何初始化

第0天没有操作，这个最容易想到，就是0，即：dp $0$ $0$ = 0;

第0天做第一次买入的操作，dp $0$ $1$ = -prices $0$ ;

第0天做第一次卖出的操作，这个初始值应该是多少呢？

此时还没有买入，怎么就卖出呢？其实大家可以理解当天买入，当天卖出，所以dp $0$ $2$ = 0;

第0天第二次买入操作，初始值应该是多少呢？应该不少同学疑惑，第一次还没买入呢，怎么初始化第二次买入呢？

第二次买入依赖于第一次卖出的状态，其实相当于第0天第一次买入了，第一次卖出了，然后再买入一次（第二次买入），那么现在手头上没有现金，只要买入，现金就做相应的减少。

所以第二次买入操作，初始化为：dp $0$ $3$ = -prices $0$ ;

同理第二次卖出初始化dp $0$ $4$ = 0;

4.确定遍历顺序

从递归公式其实已经可以看出，一定是从前向后遍历，因为dp $i$ ，依靠dp $i - 1$ 的数值。

5.举例推导dp数组

以输入 $1,2,3,4,5$ 为例
代码如下：

java 复制代码

class Solution {
  class Solution {
    public int maxProfit(int[] prices) {
        // 定义dp
        int len = prices.length;
        int[][] dp = new int[len][5];
        // 初始化
        dp[0][1] = -prices[0];
        dp[0][3] = -prices[0];
        // 状态转移
        for (int i = 1; i < len; i++) {
            dp[i][0] = dp[i - 1][0];
            dp[i][1] = Math.max(dp[i - 1][1], dp[i - 1][0] - prices[i]);
            dp[i][2] = Math.max(dp[i - 1][1] + prices[i], dp[i - 1][2]);
            dp[i][3] = Math.max(dp[i - 1][3], dp[i - 1][2] - prices[i]);
            dp[i][4] = Math.max(dp[i - 1][3] + prices[i], dp[i - 1][4]);
        }
        return dp[len - 1][4];

    }
}

时间复杂度 ： O ( n ) O(n) O(n)
空间复杂度 ： O ( n ∗ 5 ) O(n*5) O(n∗5)

Topic2买卖股票的最佳时机IV

题目：

思路：

参考上一题

java 复制代码

class Solution {
    public int maxProfit(int k, int[] prices) {
        // 定义dp
        int len = prices.length;
        int[][] dp = new int[len][2 * k + 1];
        // 初始化
        for (int i = 1; i < 2 * k + 1; i = i + 2) {
            dp[0][i] = -prices[0];
        }
        for (int i = 1; i < len; i++) {
            for (int j = 0; j < 2 * k - 1; j = j + 2) {
                dp[i][j + 1] = Math.max(dp[i - 1][j + 1], dp[i - 1][j] - prices[i]);
                dp[i][j + 2] = Math.max(dp[i - 1][j + 1] + prices[i], dp[i - 1][j + 2]);
            }
        }
        return dp[len - 1][2 * k];
    }
}

时间复杂度 ： O ( n ∗ k ) O(n*k) O(n∗k)
空间复杂度 ： O ( n ∗ k ) O(n*k) O(n∗k)