Javascript 无处不在的二分搜索

我们知道二分查找算法。二分查找是最容易正确的算法。我提出了一些我在二分搜索中收集的有趣问题。有一些关于二分搜索的请求。我请求您遵守准则："我真诚地尝试解决问题并确保不存在极端情况"。阅读完每个问题后，最小化浏览器并尝试解决它。

**问题陈述：**给定一个由 N 个不同元素组成的排序数组，使用最少的比较次数在数组中找到一个键。（您认为二分搜索是在排序数组中搜索键的最佳选择吗？）无需太多理论，这里是典型的二分搜索算法。

// Javascript code to implement the approach

// Returns location of key, or -1 if not found

function BinarySearch(A, l, r, key) {

let m;

while (l < r) {

m = l + (r - l) / 2;

if (A $m$ == key) // first comparison

return m;

if (A $m$ < key) // second comparison

l = m + 1;

else

r = m - 1;

}

return -1;

}

// This code is contributed by gfgking

理论上，最坏情况下我们需要进行log N + 1次比较。如果我们观察的话，我们会在每次迭代中使用两次比较，除非最终成功匹配（如果有）。在实践中，比较将是昂贵的操作，它不仅仅是原始类型比较。尽量减少与理论极限的比较更为经济。请参阅下图，了解下一个实现中索引的初始化。

以下实现使用较少的比较次数。

// Invariant: A $l$ <= key and A $r$ > key

// Boundary: |r - l| = 1

// Input: A $l .... r-1$

function BinarySearch(A, l, r, key)

{

let m;

while( r - l > 1 )

{

m = l + (r-l)/2;

if( A $m$ <= key )

l = m;

else

r = m;

}

if( A $l$ == key )

return l;

if( A $r$ == key )

return r;

else

return -1;

}

在 while 循环中，我们仅依赖于一次比较。搜索空间收敛到将l和r指向两个不同的连续元素。我们需要再进行一次比较来跟踪搜索状态。您可以查看示例测试用例http://ideone.com/76bad0。（C++11 代码）。

问题陈述： 给定一个由 N 个不同整数组成的数组，找到输入"key"的下限值。假设 A = {-1, 2, 3, 5, 6, 8, 9, 10} 且 key = 7，我们应该返回 6 作为结果。我们可以使用上面的优化实现来找到键的下限值。只要不变量成立，我们就不断地将左指针移到最右边。最终左指针指向小于或等于 key 的元素（根据定义下限值）。以下是可能的极端情况， ---> 如果数组中的所有元素都小于 key，则左指针移动到最后一个元素。 ---> 如果数组中的所有元素都大于 key，则为错误情况。 ---> 如果数组中的所有元素都相等且 <= key，则这是我们实现的最坏情况输入。

这是示例：

// largest value <= key

// Invariant: A $l$ <= key and A $r$ > key

// Boundary: |r - l| = 1

// Input: A $l .... r-1$

// Precondition: A $l$ <= key <= A $r$

function Floor(A, l, r, key){

let m;

while(r - l > 1){

m = l + parseInt((r-l)/2);

if(A $m$ <= key) l = m;

else r = m;

}

return A $l$ ;

}

// Initial call

function Floor(A, size, key)

{

// Add error checking if key < A $0$

if( key < A $0$ )

return -1;

// Observe boundaries

return Floor(A, 0, size, key);

}

// THIS CODE IS CONTRIBUTED BY YASH AGARWAL(YASHAGAWRAL2852002)

您可以看到一些测试用例http://ideone.com/z0Kx4a。

问题陈述： 给定一个可能有重复元素的排序数组。查找log N时间内输入"key"出现的次数。这里的想法是使用二分搜索查找数组中最左边和最右边出现的键。我们可以修改底函数来跟踪最右边的出现和最左边的出现。

这是示例：

// Input: Indices Range [l ... r)

// Invariant: A $l$ <= key and A $r$ > key

function getRightPosition(A, l, r, key) {

while (r - l > 1) {

const m = l + Math.floor((r - l) / 2);

if (A $m$ <= key) {

l = m;

} else {

r = m;

}

return l;

}

// Input: Indices Range (l ... r]

// Invariant: A $r$ >= key and A $l$ > key

function getLeftPosition(A, l, r, key) {

while (r - l > 1) {

const m = l + Math.floor((r - l) / 2);

if (A $m$ >= key) {

r = m;

} else {

l = m;

}

return r;

}

function countOccurrences(A, size, key) {

// Observe boundary conditions

let left = getLeftPosition(A, -1, size - 1, key);

let right = getRightPosition(A, 0, size, key);

// What if the element doesn't exist in the array?

// The checks help to determine whether the element exists

if (A $left$ === key && key === A $right$ ) {

return right - left + 1;

}

return 0;

}

// Example usage

const A = $1, 2, 2, 2, 3, 4, 4, 4, 5, 5, 6$ ;

const key = 4;

const size = A.length;

const occurrences = countOccurrences(A, size, key);

console.log(`The number of occurrences of ${key} is:$ {occurrences}`);

示例代码 zn6R6a - Online C++0x Compiler & Debugging Tool - Ideone.com。

问题陈述： 给定一个由不同元素组成的排序数组，并且该数组在未知位置旋转。找到数组中的最小元素。我们可以在下图中看到示例输入数组的图示。

我们收敛搜索空间直到l和r 指向单个元素。如果中间位置落在第一个脉冲中，则不满足条件 A $m$ < A $r$ ，我们将搜索空间收敛到 A $m+1 ... r$ 。如果中间位置落在第二个脉冲中，则满足条件 A $m$ < A $r$ ，我们将搜索空间收敛到 A $1 ... m$ 。在每次迭代中，我们都会检查搜索空间大小，如果它是 1，我们就完成了。

下面给出的是算法的实现。你能想出不同的实施方案吗？

function BinarySearchIndexOfMinimumRotatedArray(A, l, r){

// extreme condition, size zero or size two

let m;

// Precondition: A $l$ > A $r$

if(A $l$ <= A $r$ ) return l;

while(l <= r){

// Termination condition (l will eventually falls on r, and r always

// point minimum possible value)

if(l == r) return l;

m = l + (r-l)/2;

if(A $m$ < A $r$ ){

// min can't be in the range

// (m < i <= r), we can exclude A $m+1 ... r$

r = m;

}else{

// min must be in the range (m < i <= r),

// we must search in A $m+1 ... r$

l = m+1;

}

return -1;

}

function BinarySearchIndexOfMinimumRotatedArray(A, size){

return BinarySearchIndexOfMinimumRotatedArray(A, 0, size-1);

}

请参阅示例测试用例 KbwDrk - Online C++0x Compiler & Debugging Tool - Ideone.com。

练习：

称为signum(x, y)的函数定义为，

Signum(x, y) = -1 如果 x < y

= 0 如果 x = y

= 1 如果 x > y

您是否遇到过比较行为类似于符号函数的指令集？它能让二分搜索的第一个实现变得最优吗？

实现floor函数的ceil函数复制品。
与你的朋友讨论"二分查找是否是最优的（比较次数最少）？为什么不在排序数组上进行三元搜索或插值搜索？与二分搜索相比，您什么时候更喜欢三元搜索或插值搜索？"
画出二分搜索的树表示（相信我，这对你理解二分搜索的内部原理有很大帮助）。