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一、研究目标
上篇文章介绍了二阶双曲型方程显式差分格式，由于显格式稳定性要求高，使用范围受限。我们尝试对其进行差分隐格式推导。这里继续以非齐次二阶双曲型偏微分方程的初边值问题为研究对象：
公式（1）中u表示一个与时间t和位置x有关的待求波函数，
及方程右端项函数
都是已知函数，
是非零常数。
二、理论推导
第一步：网格剖分。对矩形求解域
进行等距剖分，即
第二步：弱化原方程。将原来的连续方程离散到网格节点上成立，得到离散方程：
第三步：偏导数用差商近似。用二阶中心差商近似公式（2）中的关于时间的二阶偏导数，即
但对空间的二阶偏导数近似采用：
从而 
这样原方程可以弱化为：
对初始条件的处理与显格式方法一样，然后用数值解代替精确解并忽略高阶项，可得差分格式为
记
，可以将公式（3）整理为公式（4）所示的隐格式：
可以将上式写成矩阵形式
该系数矩阵是三对角矩阵，可以使用追赶法求解。
隐式差分的计算过程：
由公式（4）中的初始条件知道第0个时间层的全部信息，同时知道第1个时间层上内部节点的信息，由于所有边界信息已知，所以第1个时间层上的所有节点信息已知。采用追赶法求解线性方程组，先取k=1，就可以解出第2个时间层内点信息，加上边界已知信息，就可以得出第2个时间层上完整信息。再取k=2，以上形式类推，以此完成所有时间层。
三、算例实现
计算双曲型偏微分方程初边值问题：
已知其精确解为
。分别取步长为
和
，给出节点
处的数值解和误差。
代码如下：
cpp
#include <cmath>
#include <stdlib.h>
#include <stdio.h>
int main(int argc, char* argv[])
{
int i,j,k,m,n;
double a,h,r,tau,pi;
double *x,*t,**u,*a1,*b,*c,*d,*ans;
double phi(double x);
double ddphi(double x);
double psi(double x);
double alpha(double t);
double beta(double t);
double f(double x, double t);
double exact(double x, double t);
double *chase_algorithm(double *a, double *b, double *c, double *d, int n);
m=200;
n=50;
a=1.0;
pi=3.14159265359;
h=pi/m;
tau=1.0/n;
r=a*tau/h;
r=r*r;
printf("r=%.4f.\n",r);
x=(double*)malloc(sizeof(double)*(m+1));
for(i=0;i<=m;i++)
x[i]=i*h;
t=(double*)malloc(sizeof(double)*(n+1));
for(k=0;k<=n;k++)
t[k]=k*tau;
u=(double **)malloc(sizeof(double*)*(m+1));
for(i=0;i<=m;i++)
u[i]=(double*)malloc(sizeof(double)*(n+1));
for(i=0;i<=m;i++)
u[i][0]=phi(x[i]);
for(k=1;k<=n;k++)
{
u[0][k]=alpha(t[k]);
u[m][k]=beta(t[k]);
}
for(i=1;i<m;i++)
u[i][1]=(r*u[i-1][0]+2*(1-r)*u[i][0]+r*u[i+1][0]+tau*tau*f(x[i],t[0])+2*tau*psi(x[i]))/2.0;
a1=(double*)malloc(sizeof(double)*(m-1));
b=(double*)malloc(sizeof(double)*(m-1));
c=(double*)malloc(sizeof(double)*(m-1));
d=(double*)malloc(sizeof(double)*(m-1));
ans=(double*)malloc(sizeof(double)*(m-1));
for(k=1;k<n;k++)
{
for(i=1;i<m;i++)
{
d[i-1]=r*(u[i-1][k-1]+u[i+1][k-1])/2.0-(1+r)*u[i][k-1]+2*u[i][k]+tau*tau*f(x[i],t[k]);
a1[i-1]=-0.5*r;
b[i-1]=1.0+r;
c[i-1]=a1[i-1];
}
d[0]=d[0]+0.5*r*u[0][k+1];
d[m-2]=d[m-2]+0.5*r*u[m][k+1];
ans=chase_algorithm(a1,b,c,d,m-1);
for(i=0;i<m-1;i++)
u[i+1][k+1]=ans[i];
}
free(ans);
k=4*n/5;
j=m/10;
for(i=j;i<m;i=i+j)
printf("(x,t)=(%.2f,%.2f),y=%f,error=%.4e.\n",x[i],t[k],u[i][k],fabs(u[i][k]-exact(x[i],t[k])));
free(a1);free(b);free(c);free(d);free(x);free(t);
return 0;
}
double phi(double x)
{
return sin(x);
}
double psi(double x)
{
return sin(x);
}
double alpha(double t)
{
return 0.0;
}
double beta(double t)
{
return 0.0;
}
double f(double x, double t)
{
return 2*sin(x)*exp(t);
}
double exact(double x, double t)
{
return sin(x)*exp(t);
}
double *chase_algorithm(double *a, double *b, double *c, double *d, int n)
{
int i;
double *ans,*g,*w,p;
ans=(double*)malloc(sizeof(double)*n);
g=(double*)malloc(sizeof(double)*n);
w=(double*)malloc(sizeof(double)*n);;
g[0]=d[0]/b[0];
w[0]=c[0]/b[0];
for(i=1;i<n;i++)
{
p=b[i]-a[i]*w[i-1];
g[i]=(d[i]-a[i]*g[i-1])/p;
w[i]=c[i]/p;
}
ans[n-1]=g[n-1];
i=n-2;
do
{
ans[i]=g[i]-w[i]*ans[i+1];
i=i-1;
}while(i>=0);
free(g);free(w);
return ans;
}当时，计算结果如下：
bash
r=1.6211.
(x,t)=(0.31,0.80),y=0.687689,error=4.1006e-05.
(x,t)=(0.63,0.80),y=1.308062,error=7.7998e-05.
(x,t)=(0.94,0.80),y=1.800393,error=1.0736e-04.
(x,t)=(1.26,0.80),y=2.116489,error=1.2620e-04.
(x,t)=(1.57,0.80),y=2.225408,error=1.3270e-04.
(x,t)=(1.88,0.80),y=2.116489,error=1.2620e-04.
(x,t)=(2.20,0.80),y=1.800393,error=1.0736e-04.
(x,t)=(2.51,0.80),y=1.308062,error=7.7998e-05.
(x,t)=(2.83,0.80),y=0.687689,error=4.1006e-05.当时，计算结果如下：
bash
r=1.6211.
(x,t)=(0.31,0.80),y=0.687720,error=1.0308e-05.
(x,t)=(0.63,0.80),y=1.308121,error=1.9607e-05.
(x,t)=(0.94,0.80),y=1.800473,error=2.6987e-05.
(x,t)=(1.26,0.80),y=2.116583,error=3.1725e-05.
(x,t)=(1.57,0.80),y=2.225508,error=3.3358e-05.
(x,t)=(1.88,0.80),y=2.116583,error=3.1725e-05.
(x,t)=(2.20,0.80),y=1.800473,error=2.6987e-05.
(x,t)=(2.51,0.80),y=1.308121,error=1.9607e-05.
(x,t)=(2.83,0.80),y=0.687720,error=1.0308e-05.从两种不同时空步长的计算结果来看，隐差分格式是二阶收敛的。