【蓝桥·算法双周赛 第 9 场 小白入门赛】盖印章【算法赛】题解（数学+解方程）

思路

考虑到题目中的规则，每个印章图案的边必须和网格图边重合，网格图上的每一个格子最多只能被一个印章图案覆盖，印章的图案在网格图上必须是完整的。这意味着每个印章图案都会覆盖一个独立的、完整的区域，且这些区域不会相互重叠。

设第一种印章覆盖的格子数为 x x x，第二种印章覆盖的格子数为 y y y，那么它们的总覆盖格子数为 c n t = x + y cnt = x + y cnt=x+y。同时，题目给出两种印章的使用次数之和为 k k k。由于每种印章的使用次数必须是整数，我们可以设第一种印章的使用次数为 a a a，第二种印章的使用次数为 b b b，那么 a + b = k a + b = k a+b=k。又有 3 a + 2 b = c n t 3a + 2b = cnt 3a+2b=cnt。

这两个方程构成一个线性方程组，可以使用消元法求解。先将第二个方程乘以2得到 2 a + 2 b = 2 k 2a + 2b = 2k 2a+2b=2k，然后将第一个方程减去这个得到 a = c n t − 2 k a = cnt - 2k a=cnt−2k。这就是印章A的使用次数。

接着，将求得的印章A的使用次数 a a a 代入第二个方程 a + b = k a + b = k a+b=k，可以解得 b = k − a = 3 k − c n t b = k - a = 3k - cnt b=k−a=3k−cnt。这就是印章B的使用次数。

首先从输入中读取三个整数 n、m 和 k，这三个整数分别表示网格图的行数、列数和两种印章的使用次数之和。然后，通过一个循环，读取 n × m n \times m n×m 个字符，每个字符表示一个网格图上的格子，字符 '1' 表示这个位置被印章图案覆盖，字符 '0' 表示这个位置没有被覆盖。在读取每个字符的同时，如果字符为 '1'，则将计数器 cnt 加一，这样 cnt 就表示了印章覆盖的格子总数。

在读取完所有字符之后，输出两种印章的使用次数。第一种印章的使用次数为 (cnt - 2 * k)，第二种印章的使用次数为 (3 * k - cnt)。这样就得到了每种印章的使用次数。

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AC代码

#include <algorithm>
#include <cmath>
#include <cstring>
#include <iostream>
#define AUTHOR "HEX9CF"
using namespace std;
using ll = long long;

const int N = 1e6 + 7;
const int INF = 0x3f3f3f3f;

ll n, m, k;
ll cnt = 0;

int main() {
	ios::sync_with_stdio(0);
	cin.tie(0);
	cout.tie(0);

	cin >> n >> m >> k;
	for (int i = 1; i <= n * m; i++) {
		char t;
		cin >> t;
		cnt += (t == '1');
	}
	cout << (cnt - 2 * k) << " " << (3 * k - cnt) << "\n";
	return 0;
}

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