什么是哈密顿回路?
哈密顿回路
(Hamiltonian Cycle)是图论中的一个概念,指的是在一个图中通过图的每个顶点恰好一次且仅一次,并最终回到起始顶点的闭合回路。在一个哈密顿回路中,除了起始和结束的顶点必须是同一个顶点,并且这个顶点恰好出现两次之外,其他每个顶点都恰好出现一次。哈密顿回路的命名来自于爱尔兰数学家威廉·罗伊兰·哈密顿。
判断是否存在哈密顿环问题是一个经典的NP完全问题 ,这意味着目前没有已知的多项式时间算法能解决所有情况。对于一个含有 V V V个顶点和 E E E条边的图来说,常见的算法时间复杂度如下:
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暴力搜索法 :尝试图中所有可能的顺序来查找哈密顿环。其时间复杂度为 O ( V ! ) O(V!) O(V!),因为需要检查每个顶点的所有排列。
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回溯法 :在搜索过程中,如果路径不满足条件,则回退一步。这是一种改进的暴力法,但最坏情况的时间复杂度仍然为 O ( V ! ) O(V!) O(V!)。
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动态规划(例如 Held-Karp 算法) :用于求解旅行商问题(TSP),该问题与哈密顿环问题紧密相关。Held-Karp算法使用动态规划,其时间复杂度为 O ( V 2 2 V ) O(V^2 2^V) O(V22V)。
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启发式算法 :如遗传算法、蒙特卡洛方法等,并不保证总是能找到解决方案,但在一些情况下它们可以在多项式时间内给出近似解。时间复杂度因算法和实现而异,但通常比 O ( V 2 2 V ) O(V^2 2^V) O(V22V)要低。
判断给路径是否是哈密顿回路
只需要满足条件:每个点经过一次,并且是一个环路就行。像判断是否是给定图的拓扑排序一样,按照流程走一遍就行。
优化代码:
- 尽量不适用全局变量,使用引用传参。
- 将条件合并。
cpp
#include <iostream>
#include <vector>
#include <unordered_set>
using namespace std;
bool isHamiltonianCycle(const vector<unordered_set<int>>& graph, const vector<int>& path) {
if(path.front() != path.back() || path.size() != graph.size()) {
return false;
}
unordered_set<int> visited;
int len=path.size();
for(int i = 0; i < len - 1; ++i) {
if(graph[path[i]].count(path[i+1]) == 0 || visited.count(path[i]) != 0) {
return false;
}
visited.insert(path[i]);
}
if(graph[path[len-2]].count(path.back()) != 0)
return true;
else return false;
}
int main() {
ios_base::sync_with_stdio(false);
cin.tie(nullptr);
int N, M;
cin >> N;
vector<unordered_set<int>> graph(N + 1);
cin >> M;
while(M--) {
int u, v;
cin >> u >> v;
graph[u].insert(v);
graph[v].insert(u);
}
int K;
cin >> K;
while(K--) {
int n, v;
cin >> n;
vector<int> path;
path.reserve(n);//无所谓,这改变的是capacity,与resize不一样。
while(n--) {
cin >> v;
path.emplace_back(v);
}
if(isHamiltonianCycle(graph, path)) {
cout << "YES\n";
} else {
cout << "NO\n";
}
}
return 0;
}
动态规划:最短哈密顿路径
该问题将在以后解释。