【数据结构】树与二叉树、树与森林部分习题以及算法设计例题 2

Chen_devy2024-04-24 12:37

目录

  1. 树与二叉树知识点文章: 【数据结构】树与二叉树（递归法先序、中序、后序、层次遍历二叉树、二叉树的建立以及求树高的方法）
  2. 二叉树遍历算法的应用: 【数据结构】树与二叉树遍历算法的应用（求叶子节点个数、求树高、复制二叉树、创建二叉树、二叉树存放表达式、交换二叉树每个结点的左右孩子）
  3. 树与森林知识点文章: 【数据结构】树与森林（树的存储结构、森林与二叉树的转化、树与森林的遍历）
  4. 树与二叉树、树与森林部分习题: 【数据结构】树与二叉树、树与森林部分习题与算法设计例题

【数据结构】树与二叉树、树与森林部分习题以及算法设计例题

一、交换二叉树每个结点的左右孩子

以上代码实现了交换二叉树每个节点的左右孩子的功能，分别使用了先序、中序和后序遍历的方式。

遍历二叉树算法的变式：

  1. Swap 函数（先序遍历）：

    • 从根节点开始，先交换当前节点的左右孩子。
    • 然后递归地对左子树和右子树执行相同的操作。

  2. Swap2 函数（中序遍历）：

    • 与先序遍历不同，中序遍历中需要先对左子树进行操作，然后交换当前节点的左右孩子，最后对右子树进行操作。
    • 但是这个实现方式是错误的，因为在交换左子树之后，对右子树进行操作时，右子树的结构已经发生了变化，导致结果错误。

  3. Swap3 函数（后序遍历）：

    • 与先序遍历类似，但是是在遍历完左右子树之后再交换当前节点的左右孩子。
    • 这样可以保证在交换左右孩子时，左右子树的结构不会被改变。

通过上述分析，正确的交换方式是采用先序或后序遍历，中序遍历方式不适合这个场景。

Swap 函数（先序遍历）：

cpp 复制代码 
//前序
void Swap(BiTree& T){
	//（先序遍历） 
	if(T){
	//根节点 
		if(T->lchild||T->rchild){
			BiTree p;
			p= T->lchild;
			T->lchild = T->rchild;
			T->rchild = p;
		}
		Swap(T->lchild);
		Swap(T->rchild);
	}
}

Swap 函数（中序遍历）××× 不可行：

cpp 复制代码 
//中序的不行 
void Swap2(BiTree& T){
	//（中序遍历） 
	
	if(T){
	//根节点 
		Swap2(T->lchild);
		if(T->lchild||T->rchild){
			BiTree p;
			p= T->lchild;
			T->lchild = T->rchild;
			T->rchild = p;
		}
		Swap2(T->rchild);
		
	}
}

Swap 函数（后序遍历）：

cpp 复制代码 
//后序
void Swap3(BiTree& T){
	//（后序遍历） 
	
	if(T){
	//根节点 
		Swap3(T->lchild);
		Swap3(T->rchild);
		if(T->lchild||T->rchild){
			BiTree p;
			p= T->lchild;
			T->lchild = T->rchild;
			T->rchild = p;
		}
	}
	
	
}

综上可行的只有先序和后序这两种方法：

cpp 复制代码 
//交换二叉树每个结点的左右孩子
//先序
void XXSwap_LandRchild(BiTree &T){
    BiTree p;
    if(T==NULL) return;
    else{//先序
        if(!T->lchild&&!T->rchild) return;

        p=T->lchild;
        T->lchild=T->rchild;
        T->rchild=p;

        XXSwap_LandRchild(T->lchild);

        XXSwap_LandRchild(T->rchild);
    }
}
//后序
void HXSwap_LandRchild(BiTree &T){
    BiTree p;
    if(T==NULL) return;
    else{//后序
        if(!T->lchild&&!T->rchild) return;
        HXSwap_LandRchild(T->lchild);
        HXSwap_LandRchild(T->rchild);

        p=T->lchild;
        T->lchild=T->rchild;
        T->rchild=p;
    }
}

完整代码示例：

cpp 复制代码 
//设二叉树采用二叉链表存储，设计递归算法实现二叉树中所有结点的左右孩子交换。
#include<iostream>
using namespace std;

//二叉链表
typedef struct BiTNode{
    char data;
    struct BiTNode *lchild,*rchild;
} BiTNode, *BiTree;

//二叉树的建立的算法(按先序遍历序列建立)
void CreateBiTree(BiTree &T) {
	char ch; 
    scanf("%c",&ch);
    if (ch=='#') T = NULL;
    else {
        T = (BiTNode*)malloc(sizeof(BiTNode));
        T->data = ch;      // 生成根结点
        CreateBiTree(T->lchild); // 构造左子树
        CreateBiTree(T->rchild); // 构造右子树
    }
}


void XXSwap_LandRchild(BiTree &T){
    BiTree p;
    if(T==NULL) return;
    else{//先序
        if(!T->lchild&&!T->rchild) return;

        p=T->lchild;
        T->lchild=T->rchild;
        T->rchild=p;

        XXSwap_LandRchild(T->lchild);

        XXSwap_LandRchild(T->rchild);
    }
}

void HXSwap_LandRchild(BiTree &T){
    BiTree p;
    if(T==NULL) return;
    else{//后序
        if(!T->lchild&&!T->rchild) return;
        HXSwap_LandRchild(T->lchild);
        HXSwap_LandRchild(T->rchild);

        p=T->lchild;
        T->lchild=T->rchild;
        T->rchild=p;
    }
}


void XXPrintTree(BiTree T){
    if(T==NULL) return;
    else{
        cout<<T->data<<" ";
        XXPrintTree(T->lchild);
        XXPrintTree(T->rchild);
    }
}


int main()
{
    BiTree T;
    CreateBiTree(T);
    XXPrintTree(T);
    cout<<endl;
    XXSwap_LandRchild(T);
    XXPrintTree(T);
    cout<<endl;
    HXSwap_LandRchild(T);
    XXPrintTree(T);
    cout<<endl;
    return 0;
}

二、非递归算法求森林中有几棵树

树的二叉链表(孩子-兄弟)存储表示法

[fc,data,nb]

cpp 复制代码 
typedef struct CSNode{
    int data;
    struct CSNode *fc, *nb;
}CSNode, *CSTree;

树中每个结点三部分：

数据域（data），长子指针域(fc)，

右邻兄弟指针域(nb)

树和二叉树的转换

• 树以孩子兄弟表示法 存，相当于将树转换成二叉树，但此二叉树根结点无右子树

• 好处：借助二叉树的操作实现树的操作

森林与二叉树的转换

⮚ 树采用二叉链表(孩子-兄弟)存储表示法，转换成二叉树

⮚ 森林由多棵树组成： F = ( T 1 , T 2 , ... , T n ) F = ( T1, T2, ..., Tn ) F=(T1,T2,...,Tn); 将其每棵树转换成二叉树 B T 1 , B T 2 , ... , B T n BT₁, BT₂, ..., BTn BT1,BT2,...,BTn;

⮚ 每棵二叉树BT的根的右子树皆为空树，从BTn开始依次将其根结点链为前一棵二叉树的根的右孩子

⮚ 将森林转换成一棵二叉树，森林的操作可借助二叉树的操作完成

森林和二叉树的转换

• 森林以孩子兄弟表示法存，相当于将森林转换成二叉树

• 好处：借助二叉树的操作实现森林的操作

因此只需要一直向右下数结点的个数就行：

cpp 复制代码 
typedef struct CSNode{
    int data;
    struct CSNode *fc, *nb;
}CSNode, *CSTree;

//非递归算法求森林中有几棵树。
int CountForestTrees(CSTree F){
    CSTree p=F;
    int num=1;
    while(p){
        p=p->nb;//右子树
        num++;
    }
    return num;
}

完整代码示例：

cpp 复制代码 
//设森林采用根节点为T的二叉链表存储，设计非递归算法求森林中有几棵树。
#include<iostream>
using namespace std;

typedef struct CSNode{
    int data;
    struct CSNode *fc, *nb;
}CSNode, *CSTree;


//二叉树的建立的算法(按先序遍历序列建立)
void CreateBiTree(CSTree &T) {
	char ch; 
    scanf("%c",&ch);
    if (ch=='#') T = NULL;
    else {
        T = (CSNode*)malloc(sizeof(CSNode));
        T->data = ch;      // 生成根结点
        CreateBiTree(T->fc); // 构造左子树
        CreateBiTree(T->nb); // 构造右子树
    }
}


//非递归算法求森林中有几棵树。
int CountForestTrees(CSTree F){
    CSTree p=F;
    int num=1;
    while(p){
        p=p->nb;//右子树
        num++;
    }
    return num;
}


int main()
{
    CSTree T;
    CreateBiTree(T);
    cout<<"森林一共有"<<CountForestTrees(T)<<"棵树"<<endl;

    return 0;
}

三、判断二叉树是否为完全二叉树

判断二叉树是否为完全二叉树的函数：

cpp 复制代码 
//完全二叉树的性质
bool check(BiTree T){
    if((T->lchild && T->rchild)||(!T->lchild && !T->rchild))
        return true;
    return false;
}       


//判断是否的完全二叉树
bool is_Complete_Binarytree(BiTree T){
    BiTree p=T;
    SqQueue Q;
    if(!T) return true;//空树也是完全二叉树
    InitQueue(Q);
    EnQueue(Q,p);
    while(!is_QueueEmpty(Q)){
        DeQueue(Q,p);
        if(!check(p)) return false;
        else{
            if(p->lchild) 
                EnQueue(Q,p->lchild);
		    if(p->rchild) 
                EnQueue(Q,p->rchild);
        }
    }
    return true;
}

(带main函数)题解代码示例：

cpp 复制代码 
//给定一个二叉树，找出其最小深度。
//最小深度是从根节点到最近叶子节点的最短路径上的节点数量。

#include<iostream>
using namespace std;


//判断二叉树是否为完全二叉树

//结点定义入下：
//二叉链表
typedef struct BiTNode{
    char data;
    struct BiTNode *lchild,*rchild;
} BiTNode, *BiTree;

//若用到队列，请用循环队列，并请实现队列的相关操作以供调用。

#define MAXQSIZE 100

typedef struct {
    BiTree *base;
    int front,rear;
} SqQueue; //定义循环队列


//二叉树的建立的算法(按先序遍历序列建立)
void CreateBiTree(BiTree &T) {
	char ch; 
    scanf("%c",&ch);
    if (ch=='#') T = NULL;
    else {
        T = (BiTNode*)malloc(sizeof(BiTNode));
        T->data = ch;      // 生成根结点
        CreateBiTree(T->lchild); // 构造左子树
        CreateBiTree(T->rchild); // 构造右子树
    }
}
//队列的初始化
void InitQueue(SqQueue &Q){
    Q.base = (BiTree *)malloc(MAXQSIZE*sizeof(BiTree));
    Q.front = Q.rear = 0;//队列初始化
}

//队空
bool is_QueueEmpty(SqQueue Q){
    if(Q.rear==Q.front) return true;
    return false;
}

//队满
bool is_QueueMAX(SqQueue Q){
    if((Q.rear+1)%MAXQSIZE == Q.front) return true;
    return false;
}


//入队
void EnQueue(SqQueue &Q,BiTree e){
    if(!is_QueueMAX(Q)){
        Q.base[Q.rear]=e;
        Q.rear = (Q.rear + 1) % MAXQSIZE;
    }
    
    else{
        cout<<"ERROR!!! 队列已满"<<endl;
    }
}
//出队
void DeQueue(SqQueue &Q,BiTree &e){
    if(!is_QueueEmpty(Q)){
        e = Q.base[Q.front];
        Q.front = (Q.front + 1) % MAXQSIZE;
    }
    else{
        cout<<"ERROR!!! 队列为空"<<endl;
    }
}

//完全二叉树的性质
bool check(BiTree T){
    if((T->lchild && T->rchild)||(!T->lchild && !T->rchild))
        return true;
    return false;
}       


//判断是否的完全二叉树
bool is_Complete_Binarytree(BiTree T){
    BiTree p=T;
    SqQueue Q;
    if(!T) return true;//空树也是完全二叉树
    InitQueue(Q);
    EnQueue(Q,p);
    while(!is_QueueEmpty(Q)){
        DeQueue(Q,p);
        if(!check(p)) return false;
        else{
            if(p->lchild) 
                EnQueue(Q,p->lchild);
		    if(p->rchild) 
                EnQueue(Q,p->rchild);
        }
    }
    return true;
}

//层次遍历算法 
void LevelOrderTraverse(BiTree T)
{	BiTree p = T;
	SqQueue Q;
	
	
	if(!T) return;	
	
	InitQueue(Q); EnQueue(Q,p);
	while (!is_QueueEmpty(Q))
	{	DeQueue(Q,p);
		printf("%c ", p->data);
		if(p->lchild) EnQueue(Q,p->lchild);
		if(p->rchild) EnQueue(Q,p->rchild);
	}
}




int main(){
	 
	BiTree T;
	//例如输入：ABC##DE##F### 来创建二叉树 
	CreateBiTree(T);
    LevelOrderTraverse(T);
    cout<<endl;
    if(is_Complete_Binarytree(T)){
        cout<<"是完全二叉树"<<endl;
    }
    else{
        cout<<"不是完全二叉树"<<endl;
    }
	

	return 0; 
}

四、求二叉树的最小深度 以及 二叉树树高

给定一个二叉树，找出其最小深度。

最小深度是从根节点到最近叶子节点的最短路径上的节点数量。

求二叉树的最小深度的函数：

cpp 复制代码 
//直接就是将求树高的程序进行修改，将找左右子树最大树高 改为求左右子树 最小树高
//求二叉树的最小深度
int Get_minHeigt(BiTree T){
    //二叉树的最小深度
    if(T==NULL) return 0;
    else{
        int Left_Height = Get_minHeigt(T->lchild);
        int Right_Height = Get_minHeigt(T->rchild);
        int Tree_minHeight = 1+(Left_Height < Right_Height?Left_Height:Right_Height);//取最短路径
        return Tree_minHeight;
    }

}

(带main函数)题解代码示例：

cpp 复制代码 
//给定一个二叉树，找出其最小深度。
//最小深度是从根节点到最近叶子节点的最短路径上的节点数量。

#include<iostream>
using namespace std;


typedef struct TreeNode{
	int data;//数据域
	TreeNode *rchild;//右孩子指针
	TreeNode *lchild;//左孩子指针
}TreeNode, *BiTree;


//二叉树的建立的算法(按先序遍历序列建立)
void CreateBiTree(BiTree &T) {
	char ch; 
    scanf("%c",&ch);
    if (ch=='#') T = NULL;
    else {
        T = (TreeNode*)malloc(sizeof(TreeNode));
        T->data = ch;      // 生成根结点
        CreateBiTree(T->lchild); // 构造左子树
        CreateBiTree(T->rchild); // 构造右子树
    }
}


//求树高 
int Get_Height(BiTree node){//递归 求树高 
	if(node==NULL) return 0;
	else{
		int Left_Height = Get_Height(node->lchild);
		int Right_Height = Get_Height(node->rchild);
		int Tree_Height = 1 + (Left_Height > Right_Height?Left_Height:Right_Height);//计算树高
    	return Tree_Height;
	}
	
}
//求二叉树的最小深度
int Get_minHeigt(BiTree T){
    //二叉树的最小深度
    if(T==NULL) return 0;
    else{
        int Left_Height = Get_minHeigt(T->lchild);
        int Right_Height = Get_minHeigt(T->rchild);
        int Tree_minHeight = 1+(Left_Height < Right_Height?Left_Height:Right_Height);//取最短路径
        return Tree_minHeight;
    }

}


int main(){
	 
	BiTree T;
	//例如输入：ABC##DE##F### 来创建二叉树 
	CreateBiTree(T);

	cout<<"树高为：" ;
	cout<<Get_Height(T)<<endl;
    cout<<"根节点到叶节点的最短路径上的节点数量为：";
    cout<<Get_minHeigt(T)<<endl;

	return 0; 
}

感谢阅读！！！

  1. 树与二叉树知识点文章: 【数据结构】树与二叉树（递归法先序、中序、后序、层次遍历二叉树、二叉树的建立以及求树高的方法）
  2. 二叉树遍历算法的应用: 【数据结构】树与二叉树遍历算法的应用（求叶子节点个数、求树高、复制二叉树、创建二叉树、二叉树存放表达式、交换二叉树每个结点的左右孩子）
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