题目
动态规划
思路
这道题主要考察对状态转移的理解。说实话,动态规划问题只要想到了就简单,想不到就很难,除了像背包问题那一类有固定套路的题以外,其实大部分的动态规划问题都没什么所谓的公式。还是得多练,多见识不同的题型才能更好地思考动态规划问题。
题目中给定了 n n n 个人组成一个环,要求从第 x x x 个人开始,经过 m m m 次传球之后球又回到第 x x x 个人手中的不同方法数。其中 x x x 表示球最开始在的那个人,题目中是小蛮,这可以认为是一个定值。
首先需要明确的是,假设我现在身处这个环中,要接到球有几种可能?只有两种可能,要么从右边的人手中接到球,要么从左边的人手中接到球 。
其实如果最开始就是往这个方向想的话,那么离正确答案也就不远了。但是我也是这么想的,却没有得到正确答案,原因是什么呢?就是那种"感觉"没有培养到位,换句话说:题练少了。
明确了这一点之后,那么显然 ,球到我手里的不同方法数,其实就是球到我左边的人手里的方法数 + + + 球到我左边的人手里的方法数。
这样一来就有递推的感觉了,也就有动态规划的影子了。
那么按照动态规划的模板思考:
设置一个 d p [ i ] [ j ] dp[i][j] dp[i][j] 数组表示经过 i i i 次传球球又回到编号为 j j j 的人手中的不同方法数。则状态转移方程为:
d p [ i ] [ j ] = d p [ i − 1 ] [ ( j − 1 + n ) % n ] + d p [ i − 1 ] [ ( j + 1 ) % n ] dp[i][j]=dp[i-1][(j-1+n)\%n]+dp[i-1][(j+1)\%n] dp[i][j]=dp[i−1][(j−1+n)%n]+dp[i−1][(j+1)%n]注意是环形的,要取模。式子中的 % \% % 表示取模。
假设小蛮的编号为 0 0 0,那么最终的答案就是 d p [ m ] [ 0 ] dp[m][0] dp[m][0],即传了 m m m 次球球又回到编号为 0 0 0 的人手中。边界条件为 d p [ 0 ] [ 1... n − 1 ] = 0 , d p [ 0 ] [ 0 ] = 1 dp[0][1...n-1]=0,dp[0][0]=1 dp[0][1...n−1]=0,dp[0][0]=1,因为初始球就在编号为 0 0 0 的人手中,经过 0 0 0 次传球,不同的方法数为 1 1 1(球没动)
有了上面的思路就可以写出代码并解决问题了。但是不应满足于此,动态规划问题往往可以用滚动数组优化,这道题也行,具体见代码。
代码
cpp
#include <stdio.h>
int main(void) {
int n = 0, m = 0;
scanf("%d%d", &n, &m);
// 滚动数组,只保留两行,然后用奇偶性进行切换
int dp[2][n], i = 0, j = 0, idx = 0;
// 初始化
for (i = 0; i < n; i++) {
dp[0][i] = 0;
}
// 小蛮为0号
dp[0][0] = 1;
for (i = 1; i <= m; i++) {
for (j = 0; j < n; j++) {
idx = i & 1; // idx仅仅是为了简化代码写法,可以去掉
dp[idx][j] = dp[!idx][(j - 1 + n) % n] + dp[!idx][(j + 1) % n];
}
}
printf("%d\n", dp[m & 1][0]);
return 0;
}