【NC16619】传球游戏

题目

动态规划

思路

这道题主要考察对状态转移的理解。说实话，动态规划问题只要想到了就简单，想不到就很难，除了像背包问题那一类有固定套路的题以外，其实大部分的动态规划问题都没什么所谓的公式。还是得多练，多见识不同的题型才能更好地思考动态规划问题。

题目中给定了 n n n 个人组成一个环，要求从第 x x x 个人开始，经过 m m m 次传球之后球又回到第 x x x 个人手中的不同方法数。其中 x x x 表示球最开始在的那个人，题目中是小蛮，这可以认为是一个定值。

首先需要明确的是，假设我现在身处这个环中，要接到球有几种可能？只有两种可能，要么从右边的人手中接到球，要么从左边的人手中接到球 。

其实如果最开始就是往这个方向想的话，那么离正确答案也就不远了。但是我也是这么想的，却没有得到正确答案，原因是什么呢？就是那种"感觉"没有培养到位，换句话说：题练少了。

明确了这一点之后，那么显然，球到我手里的不同方法数，其实就是球到我左边的人手里的方法数 + + + 球到我左边的人手里的方法数。

这样一来就有递推的感觉了，也就有动态规划的影子了。

那么按照动态规划的模板思考：

设置一个 d p $i$ $j$ dp $i$ $j$ dp $i$ $j$ 数组表示经过 i i i 次传球球又回到编号为 j j j 的人手中的不同方法数。则状态转移方程为：
d p $i$ $j$ = d p $i - 1$ $( j - 1 + n ) % n$ + d p $i - 1$ $( j + 1 ) % n$ dp $i$ $j$ =dp $i-1$ $(j-1+n)\\%n$ +dp $i-1$ $(j+1)\\%n$ dp $i$ $j$ =dp $i-1$ $(j-1+n)%n$ +dp $i-1$ $(j+1)%n$

注意是环形的，要取模。式子中的 % \% % 表示取模。

假设小蛮的编号为 0 0 0，那么最终的答案就是 d p $m$ $0$ dp $m$ $0$ dp $m$ $0$ ，即传了 m m m 次球球又回到编号为 0 0 0 的人手中。边界条件为 d p $0$ $1... n - 1$ = 0 ， d p $0$ $0$ = 1 dp $0$ $1...n-1$ =0，dp $0$ $0$ =1 dp $0$ $1...n-1$ =0，dp $0$ $0$ =1，因为初始球就在编号为 0 0 0 的人手中，经过 0 0 0 次传球，不同的方法数为 1 1 1（球没动）

有了上面的思路就可以写出代码并解决问题了。但是不应满足于此，动态规划问题往往可以用滚动数组优化，这道题也行，具体见代码。

代码

cpp 复制代码

#include <stdio.h>

int main(void) {
    int n = 0, m = 0;
    scanf("%d%d", &n, &m);
    // 滚动数组，只保留两行，然后用奇偶性进行切换
    int dp[2][n], i = 0, j = 0, idx = 0;
    // 初始化
    for (i = 0; i < n; i++) {
        dp[0][i] = 0;
    }
    // 小蛮为0号
    dp[0][0] = 1;
    for (i = 1; i <= m; i++) {
        for (j = 0; j < n; j++) {
            idx = i & 1;  // idx仅仅是为了简化代码写法，可以去掉
            dp[idx][j] = dp[!idx][(j - 1 + n) % n] + dp[!idx][(j + 1) % n];
        }
    }
    printf("%d\n", dp[m & 1][0]);
    return 0;
}