算法提高 第一期 KMP扩展算法

1## 具体思路：

和KMP算法的是想类似，充分利用已经比较字符性质来减少冗余的字符比较次数。KMP的思想是充分的利用模式串中所有前缀字串（以模式串为开头的字串）的真前缀和真后缀（指子串的开始字符与子串的最后字符相等的个数）来减少不必要的字符比较，真前缀和真后缀相等的个数保存在next数组中。扩展KMP算法则是利用子串T中的所有后缀子串suffix[i]与字串T的最长公共前缀来减少字符的比较次数，这个最长公共前缀的个数也记录在next数组中。

假设我们已经求出了extend[0...k]并且记录了a和p，p表示在S串中从第i（i=0...k）个字符开始匹配的过程中达到的最远的位置，a表示取p这个最大值所对应的i值。现在求extend[k+1]，可以分下面三种情况：

k+1==p(p肯定是大于或等于k+1的)

直接S[k+1]与T[0]开始比较，并更新a和p的值

k + 1 + next[k - a + 1] <= p

extend[k+1] = next[k - a + 1]

k + 1 + next[k - a + 1] > p

直接S[p]与T[p - k -1]开始比较，extend[k+1]也对应的从p - k - 1开始往后加，并更新a和p的值

对于第二种和第三种情况怎么得到的呢？这就要靠我们保存的a和p了。如果p > k + 1，那么必然有S[k+1,p-1] = T[k-a+1,p-a]，这个可以通过S[a,p-1] = T[0,p-a]推出。我们在next[k-a+1]中保存了T的suffix[k-a+1]子串与T的最长公共前缀的长度，假设L=next[k-a+1]，那么T[k-a+1,k-a+L]=T[0,L-1]。如果k+1+L<= p，通过S[k+1,p-1] = T[k-a+1,p-a]，可以得到S[k+1,k+L]=T[k-a+1,k-a+L]=T[0,L-1]，并且S[k+L+1]!=T[0,L]的（因为如果相等的话，T[k-a+1,k-a+L+1]=T[0,L]，这与前面的T[k-a+1,k-a+L]=T[0,L-1]是矛盾的），所以extend[k+1]=L。如果k+1+L> p，那么S[k+1,p-1] = T[k-a+1,p-a]=T[0,p-k-2]，所以extend[k+1]至少等于p-k-1，然后我们应该继续从p开始比较，因为从p开始都是没有比较过的。

求next的思路和求extend的思路是一样的，只不过是T对自己求extend。

模板：

for(int i = 2; i <= m + n; i ++)
	{
		if(i <= r) z[i] = min(z[i - l + 1], r - i + 1);
		while(s[1 + z[i]] == s[i + z[i]]) z[i] ++;
		if(i + z[i] - 1 > r) l = i, r = i + z[i] - 1; 
	}

例题：

AC代码：

#include<bits/stdc++.h>

using namespace std;

typedef long long ll;
typedef pair<int, int>PII;
const int N=3e5+10;
const int MOD = 1e9 + 7;
const int INF=0X3F3F3F3F;
const int dx[]={-1,1,0,0,-1,-1,+1,+1};
const int dy[]={0,0,-1,1,-1,+1,-1,+1};
const int M = 1e6 + 10;

int z[1001000];
int n, m;

int main()
{
	cin >> n;
	string a, b;
	cin >> a;
	cin >> m;
	cin >> b;
	string s = ' ' + a + b;
	int l = 1, r = 0;
	z[1] = n + m;//n小m大
	for(int i = 2; i <= m + n; i ++)
	{
		if(i <= r) z[i] = min(z[i - l + 1], r - i + 1);
		while(s[1 + z[i]] == s[i + z[i]]) z[i] ++;
		if(i + z[i] - 1 > r) l = i, r = i + z[i] - 1; 
	}
	for(int i = n + 1; i <= m + n; i ++)
	{
		if(z[i] == n) cout << i - n - 1 << " ";
	}
	return 0;
}