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B题 未来新城交通需求规划与可达率问题需要建立的模型和算法:
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图论
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网络流模型
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线性规划/整数规划
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组合优化
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随机过程
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概率论与数理统计
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列生成算法
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启发式算法
B题 未来新城背景下的交通需求规划与可达率问题
2024五一数学建模B题问题重述如下：
随着城市化的持续发展，交通规划在新兴城市建设中显得尤为关键。在未来新城规划中，自动驾驶技术预期将成为交通出行的主导模式，彻底改变出行方式和城市规划的基础理念。自动驾驶车辆，得益于先进的传感器、智能算法和通信技术，能够自动遵循预设路线，无需人为操作。将自动驾驶技术整合到一个特定未来新城的交通需求规划中，以期实现更高效、更可持续的城市交通网络。
交通需求指从特定起点出发，到达指定终点的交通量(车辆数)。以图1中的交通网络1为例，假设(起点,终点)对(1,4)的交通需求为100辆，其中40辆分配到路径1-2-4，60辆车分配到路径1-3-4，该过程称为交通需求分配。在道路完全通畅的情况下，从起点1到达终点4的交通量比例(以下称为"可达率")为(40+60)/100=100%。而一旦产生突发状况，例如路段1-2发生了交通事故导致该路段无法通行，那么原本选择通过1-2-4路径的交通需求将无法满足。此时，只有通过路径1-3-4的交通需求才能够被实现，交通需求可达率为60/100=60%。
图1交通网络1
假设每个(起点,终点)对之间使用的路径数不超过5(各路段长度均为单位1，优先选择距离短的路径)。假设交通网络中所有车辆均为无人驾驶车辆，并且所有车辆都服从系统预先规划的路径进行出行。注意：本题的图2和图3中的路段为双向路段，即路段2-3和路段3-2是两条不同的路段。在本题中，不要求交通流量值取整数，即交通流量值可以为任意的非负实数。请依据附件1~3，建立数学模型，完成以下问题：
问题1：图2为一个小型交通网络。各(起点,终点)对之间的交通需求见附件1。请建立数学模型，给出各(起点,终点)对之间交通需求分配到对应路径上的交通量，使得网络中任意1条路段出现突发状况时(每个路段出现突发状况概率相同)，网络中所有交通需求的期望可达率最大。在表1中填入指定(起点,终点)对规划的路径，以及对应分配的交通量(若规划路径数不足5条无需填满表格)。
图2交通网络2
表1 问题1结果
| (起点,终点) | 规划路径(依次给出经过的所有节点，例如:1-2-3-6-9) | 分配交通量 |
|---|---|---|
| (1,9) | ||
| (3,7) | ||
问题2：在图3所示的交通网络中，各(起点,终点)对之间的交通需求见附件2。请建立数学模型，给出各(起点,终点)对之间交通需求分配到对应路径上的交通量，使得网络中任意5条路段出现突发状况时(每个路段出现突发状况概率相同)，网络中所有交通需求的期望可达率最大。在表2中填入指定(起点,终点)对规划的路径，以及对应分配的交通量(若规划路径数不足5条无需填满表格)。
图3交通网络3
表2 问题2结果
| (起点,终点) | 规划路径(依次给出经过的所有节点，例如： 27-35-41-10-16-36-6) | 分配交通量 |
|---|---|---|
| (27,6) | ||
| (19,25) | ||
问题3：在交通网络3中，各(起点,终点)对之间的交通需求见附件2，各路段的容量上限见附件3。请建立数学模型，给出各(起点,终点)对之间交通需求分配到对应路径上的交通量，使得网络中任意5条路段出现突发状况时(每个路段出现突发状况概率相同)，网络中所有交通需求的期望可达率最大，且交通需求分配到对应的路径后，各路段上的交通量不能超过路段容量(路段交通量计算方法：路段交通量=经过该路段的路径交通量之和。例如，路径1-0-6与路径1-0-3均经过路段1-0，则路段1-0交通量=路径1-0-6交通量+路径1-0-3交通量)。在表3中填入指定(起点,终点)对规划的路径，以及对应分配的交通量(若规划路径数不足5条无需填满表格)。
表3 问题3结果
| (起点,终点) | 规划路径(依次给出经过的所有节点，例如： 27-35-41-10-16-36-6) | 分配交通量 |
|---|---|---|
| (32,39) | ||
| (17,8) | ||
问题4：现计划在交通网络3中新修建6条路段(单向直线路段且长度为单位1，例如节点31至节点32)，新建路段起点和终点必须是交通网络中的任意两个节点，并且假设新建路段的容量足够大。新建路段不能跨越其他路段(例如，不能在节点21与节点39之间修建路段)，只能在网络内部修建(例如，不能在节点4与节点34之间修建路段)。请建立数学模型，给出新修建路段方案，使得在新网络中任意5条路段出现突发事故时(包括新建路段，每个路段出现突发状况概率相同)，网络中所有交通需求的期望可达率尽可能最大，且交通需求分配到对应的路径后，各路段上的交通量不能超过路段容量(新建路段容量足够大，不用考虑这个因素)。在表4中填入期望可达率最大的5种方案及其可达率。
表4 问题4结果
| 新建路段1(给出新建路段的起点和终点，例如9-16) | 新建路段2(给出新建路段的起点和终点，例如9-16) | 新建路段3(给出新建路段的起点和终点，例如9-16) | 新建路段4(给出新建路段的起点和终点，例如9-16) | 新建路段5(给出新建路段的起点和终点，例如9-16) | 新建路段6(给出新建路段的起点和终点，例如9-16) | 可达率 | |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 方案1 | |||||||
| 方案2 | |||||||
| 方案3 | |||||||
| 方案4 | |||||||
| 方案5 |
B题分析
问题1分析:
这个问题给出了一个小型交通网络,需要对各起点终点对之间的交通需求进行路径规划和流量分配。与一般的流量分配问题不同,这里的目标是最大化网络在任意单条路段发生故障时的期望可达率。可达率是指从起点能够成功到达终点的交通量占总交通需求的比例。通过最大化期望可达率,可以提高网络的可靠性和容错能力。
为解决这一问题,需要建立数学模型描述网络拓扑结构、交通需求、路径规划、路段故障概率以及可达率之间的关系。可以使用图论相关理论对网络进行建模,节点代表路口,边代表路段。每个起点终点对的交通需求可以作为决策变量,通过约束条件确定其在不同路径上的分配比例。路段的故障可以视为一个随机事件,赋予一定的概率分布。可达率则可以表示为每个路径在各种路段故障情况下的可达率之和,并按照各种情况的概率加权求和得到期望可达率。
确定了模型框架后,可以构造目标函数为期望可达率的最大化,并给出相应的约束条件,如交通需求分配方案的可行性、各路径的选择限制等。然后可以应用线性规划、整数规划等运筹学方法进行求解,得到最优的交通需求分配方案。在表1中需要填入指定起点终点对规划的最优路径序列及其对应的分配交通量。该问题可以作为B题中最基础和最小规模的情况,模型和算法可以为后续更复杂的情况奠定基础。
问题2分析:
这一问题给出了一个规模较大的交通网络,且需要考虑5条路段同时发生故障的情况。这使得问题的复杂度大幅提高。由于路段数量较多,需要考虑更多的路段组合,模型将更加复杂。同时,由于需要考虑多路段同时发生故障,期望可达率的计算也将更加繁琐。
在问题1的基础上,需要对模型做出调整和扩展。首先需要增加对多路段同时故障情况的建模,这可以通过列举所有5条路段同时故障的组合情况来实现。针对每种组合情况,都需要计算相应的可达率,然后按发生概率加权求和得到期望可达率。其次,由于规模增大,网络中可选路径数量也将急剧增加,需要对路径选择策略做出限制,避免组合爆炸。此外,求解过程的计算量也将大幅增加,可能需要采用更高效的算法和技术,如列Generation算法等。
针对该问题,表2需要填入指定起点终点对在各种约束条件下的最优路径规划方案及其对应的分配交通量。由于规模较大,各路径的长度可能较长,需要防止表格过于冗余。求解时也可以先固定某些路径,分阶段进行求解,以降低复杂度。总的来说,这一问题是在问题1的基础上,进一步放宽了约束条件,以考察模型和算法的适用能力和鲁棒性。
问题3分析:
在问题2的基础上,该问题进一步增加了路段容量的限制条件。即在最大化期望可达率的同时,还需要确保在交通需求分配后,各路段上的实际交通量不会超过其设定的容量上限。这种情况并不少见,很多实际的交通网络系统都有类似的路段容量限制。
为了满足路段容量约束,需要在问题2的模型基础上,引入新的决策变量和约束条件。具体而言,可以将路段容量作为参数输入模型,然后对各路径的交通流量求和,计算每条路段的总交通量,并将其限制在路段容量以下作为约束条件加入模型。此外,由于增加了额外约束,可能会导致之前的最优解不再可行,需要对交通需求的分配方案进行调整,以满足新的约束条件。这可能会导致期望可达率有所降低。
在表3中需要填入在满足路段容量约束的前提下,指定起点终点对的最优路径规划方案及对应分配交通量。求解时可以先确定满足容量约束的可行解空间,然后在此空间内寻找期望可达率最大的解。由于约束条件增多,求解难度也会进一步上升,需要设计更高效的算法策略。该问题反映了在实际交通规划中,需要平衡多种目标和约束的复杂情况。
问题4分析:
这是B题中最后一个子问题,在问题3的基础上,增加了新建路段的选址决策。具体是要求在现有网络中新增6条路段,使得在任意5条路段(包括新建路段)同时发生故障时,整个网络的期望可达率最大,且需要满足各路段的容量约束条件。这就把新路段的起点和终点位置引入了模型,成为需要优化的决策变量。
新路段的引入会改变整个网络的拓扑结构,从而影响路径规划和交通流量分配。因此,需要在问题3的模型基础上,增加新的决策变量来表示新路段的起点和终点位置,同时相应地更新网络拓扑结构和可供选择的路径集合。此外,新建路段的容量视为足够大,无需作为约束考虑。求解时,可以先固定新路段位置,解决一个经典的最大化期望可达率问题,再通过枚举或启发式方法确定新路段的最优位置。
在表4中需要填入最多5种新建路段方案,使得在满足各种约束条件的前提下,期望可达率达到最大。每种方案包括6条新路段的起点和终点位置,以及相应的期望可达率值。求解过程需要综合运用组合优化、图论、概率论等多种数学理论,设计高效的算法框架,处理复杂的约束和优化目标。该问题反映了在现有交通网络系统的基础上,如何通过新建路段来提高其可靠性和容量的决策需求。
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