MATLAB 集成

MATLAB 集成(Integration)

集成处理两种本质上不同的问题。

在第一种类型中,给出了函数的导数,我们想找到函数。因此,我们从根本上扭转了分化的过程。这种反向过程称为反微分,或者找到原始函数,或者找到indefinite integral。

第二类问题涉及相加大量非常小的数量,然后随着数量的大小接近零而取一个极限,而项的数量趋于无穷大。此过程导致的定义definite integral。

定积分用于查找面积,体积,重心,惯性矩,力完成的功以及许多其他应用。

使用MATLAB查找不定积分

根据定义,如果函数的导数f(x)是f'(x),那么我们说f'(x)相对于x的不定积分是f(x)。例如,由于x 2的导数(相对于x)为2x,因此可以说2x的不定积分为x 2。

在符号中-

f'(x2) = 2x, 所以,

∫ 2xdx = x2.

不定积分不是唯一的,因为对于常数c的任何值,x 2 + c的导数也将是2x。

这用符号表示为-

∫ 2xdx = x2 + c。

其中,c被称为"任意常数"。

MATLAB提供了int用于计算表达式积分的命令。为了导出一个函数的不定积分的表达式,我们写:

int(f);

例如,从我们之前的示例中-

syms x

int(2*x)

MATLAB执行上述语句并返回以下结果-

ans =

x^2

实例1

在此示例中,让我们找到一些常用表达式的积分。创建一个脚本文件并在其中键入以下代码-

syms x n

int(sym(x^n))

f = 'sin(nt)'
int(sym(f))
syms a t
int(a
cos(pi*t))

int(a^x)

运行文件时,它显示以下结果-

ans =

piecewise([n == -1, log(x)], [n ~= -1, x^(n + 1)/(n + 1)])

f =

sin(nt)
ans =
-cos(n
t)/n

ans =

(asin(pi t))/pi

ans =

a^x/log(a)

实例2

创建一个脚本文件并在其中键入以下代码-

syms x n

int(cos(x))

int(exp(x))

int(log(x))

int(x^-1)

int(x^5cos(5 x))

pretty(int(x^5cos(5x)))

int(x^-5)

int(sec(x)^2)

pretty(int(1 - 10*x + 9 * x^2))

int((3 + 5x -6 x^2 - 7x3)/2*x2)
pretty(int((3 + 5
x -6x^2 - 7 x3)/2*x2))

请注意,pretty函数以更易读的格式返回表达式。

运行文件时,它显示以下结果-

ans =

sin(x)

ans =

exp(x)

ans =

x*(log(x) - 1)

ans =

log(x)

ans =

(24cos(5 x))/3125 + (24x sin(5x))/625 - (12 x^2cos(5 x))/125 + (x^4cos(5 x))/5 - (4x^3 sin(5x))/25 + (x^5 sin(5*x))/5

2 4

24 cos(5 x) 24 x sin(5 x) 12 x cos(5 x) x cos(5 x)

----------- + ------------- - -------------- + ------------

3125 625 125 5

复制代码
    3             5 

4 x sin(5 x) x sin(5 x)

------------- + -----------

25 5

ans =

-1/(4*x^4)

ans =

tan(x)

2

x (3 x - 5 x + 1)

ans =

  • (7x^6)/12 - (3x^5)/5 + (5*x^4)/8 + x^3/2

    复制代码
    6      5      4    3 

    7 x 3 x 5 x x

    • ---- - ---- + ---- + --
      12 5 8 2
      使用MATLAB查找定积分
      根据定义,定积分基本上是总和的极限。我们使用定积分来查找面积,例如曲线和x轴之间的面积以及两条曲线之间的面积。在其他情况下也可以使用定积分,在这种情况下,所需数量可以表示为总和的极限。

int通过传递要计算积分的极限,该函数可用于确定积分。

计算

定积分

我们写,

int(x, a, b)

例如,要计算值,实例我们写:

int(x, 4, 9)

MATLAB执行上述语句并返回以下结果-

ans =

65/2

以下是上述计算的Octave等效-

pkg load symbolic

symbols

x = sym("x");

f = x;

c = [1, 0];

integral = polyint©;

a = polyval(integral, 9) - polyval(integral, 4);

display('Area: '), disp(double(a));

Octave执行代码并返回以下结果-

Area:

32.500

可以使用quad()Octave提供的功能给出代替解决方案,如下所示:

pkg load symbolic

symbols

f = inline("x");

a, ierror, nfneval\] = quad(f, 4, 9); display('Area: '), disp(double(a)); Octave执行代码并返回以下结果- Area: 32.500 实例1 让我们计算在x轴和曲线y = x 3 -2x + 5以及纵坐标x = 1和x = 2之间所包围的面积。 所需面积由下式给出: 面积计算 创建一个脚本文件并输入以下代码- f = x\^3 - 2\*x +5; a = int(f, 1, 2) display('Area: '), disp(double(a)); 运行文件时,它显示以下结果- a = 23/4 Area: 5.7500 以下是上述计算的Octave等效- pkg load symbolic symbols x = sym("x"); f = x\^3 - 2\*x +5; c = \[1, 0, -2, 5\]; integral = polyint©; a = polyval(integral, 2) - polyval(integral, 1); display('Area: '), disp(double(a)); Octave执行代码并返回以下结果- Area: 5.7500 可以使用quad()Octave提供的功能给出代替解决方案,如下所示: pkg load symbolic symbols x = sym("x"); f = inline("x\^3 - 2\*x +5"); \[a, ierror, nfneval\] = quad(f, 1, 2); display('Area: '), disp(double(a)); Octave执行代码并返回以下结果- Area: 5.7500 实例2 找出曲线下的面积: f(x)= x 2 cos(x)表示−4≤x≤9。 创建一个脚本文件并编写以下代码- f = x\^2\*cos(x); ezplot(f, \[-4,9\]) a = int(f, -4, 9) disp('Area: '), disp(double(a)); 定积分 输出如下- a = 8*cos(4) + 18* cos(9) + 14*sin(4) + 79*sin(9) Area: 0.3326 以下是上述计算的Octave等效- pkg load symbolic symbols x = sym("x"); f = inline("x\^2\*cos(x)"); ezplot(f, \[-4,9\]) print -deps graph.eps \[a, ierror, nfneval\] = quad(f, -4, 9); display('Area: '), disp(double(a));

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