LeetCode 题目 118：杨辉三角

题目描述

给定一个非负整数 numRows，生成杨辉三角的前 numRows 行。在杨辉三角中，每个数是它左上方和右上方的数的和。

杨辉三角解析

在这个详解中，我们将使用 ASCII 图形来说明杨辉三角的构建过程，包括逐行添加新的行的过程。这个图解可以帮助理解每一行是如何基于前一行构建的。

杨辉三角的构建过程

初始状态

1. 开始时，杨辉三角是空的。

第1行

2. 添加第一行，只有一个数字 1。

   1

第2行

3. 第二行有两个 1，每个都位于行的边界。

   1
   1 1

第3行

4. 第三行中间的数字是上一行两个相邻数字之和（1 + 1）。

   1
   1 1
   1 2 1

第4行

5. 第四行，中间的两个数字分别是上一行相邻两数之和（1+2 和 2+1）。

    1
   1 1
   

   1 2 1
   1 3 3 1

第5行

6. 第五行，中间三个数字由上行相邻数字之和得到（1+3、3+3 和 3+1）。

      1
     1 1
    1 2 1
   1 3 3 1
   

   1 4 6 4 1

总结过程

• 杨辉三角的每一行都从 1 开始和结束。
• 除了第一个和最后一个数字外，每个数字都是它正上方两个数字的和。
• 第 n 行（从 1 开始计数）有 n 个数字。

解题思路与算法

方法一：逐行构建

解题步骤：

1. 初始化一个空列表 triangle 作为结果。
2. 遍历从 0 到 numRows-1 的每一行。
3. 对于每一行，创建一个长度等于行号加一的新行，首尾元素设为1。
4. 对于每一行的中间元素，按照杨辉三角的规则，由上一行的相邻两个元素求和得到。
5. 将构建好的行添加到 triangle 中。

Python 代码示例

def generate(numRows):
    """生成杨辉三角的前numRows行"""
    triangle = []
    for row_num in range(numRows):
        row = [None for _ in range(row_num + 1)]
        row[0], row[-1] = 1, 1  # 第一个和最后一个元素始终为1
        for j in range(1, len(row) - 1):
            row[j] = triangle[row_num - 1][j - 1] + triangle[row_num - 1][j]
        triangle.append(row)
    return triangle

方法二：一行代码解

解题步骤：

1. 使用列表推导式和递推公式直接生成杨辉三角的每一行。
2. 利用 Python 的生成器语法简化代码实现。

Python 代码示例

def generate(numRows):
    """一行代码生成杨辉三角"""
    return [[1 if j == 0 or j == i else triangle[i-1][j-1] + triangle[i-1][j] for j in range(i+1)] for i in range(numRows)]

方法三：动态规划

解题步骤：

1. 初始化一个空列表 triangle 。
2. 从第一行到第 numRows 行，利用动态规划的思想，每一行基于前一行生成。
3. 同样地，每行的首尾元素为1，其他元素由上一行的两个相邻元素相加得到。
4. 每生成一行即存入 triangle。

Python 代码示例

def generate(numRows):
    triangle = []
    for row_num in range(numRows):
        row = [1] * (row_num + 1)  # 每行元素初始化为1
        for j in range(1, row_num):
            row[j] = triangle[-1][j - 1] + triangle[-1][j]
        triangle.append(row)
    return triangle

方法四：使用递归

解题步骤：

1. 定义递归函数，如果请求行数为1，返回只包含一行的杨辉三角。
2. 否则，递归调用自身生成前 numRows - 1 行，然后基于最后一行计算新的一行，并添加到结果中。

Python 代码示例

def generate(numRows):
    if numRows == 1:
        return [[1]]
    else:
        result = generate(numRows - 1)
        last_row = result[-1]
        new_row = [1]
        for i in range(1, len(last_row)):
            new_row.append(last_row[i - 1] + last_row[i])
        new_row.append(1)
        result.append(new_row)
        return result

方法五：迭代改进版

解题步骤：

1. 初始化一个包含第一行的列表。
2. 迭代从第二行开始，每一行都通过上一行来计算。
3. 使用临时列表存储当前行，计算完成后加入最终结果。

Python 代码示例

def generate(numRows):
    triangle = [[1]]
    for row_number in range(1, numRows):
        prev_row = triangle[-1]
        current_row = [1]
        for j in range(1, row_number):
            current_row.append(prev_row[j-1] + prev_row[j])
        current_row.append(1)
        triangle.append(current_row)
    return triangle

算法分析

• 时间复杂度 ：
  • 所有方法的时间复杂度基本为 (O(n^2))，其中 (n) 是行数。每行的计算成本大约与行号成正比。
• 空间复杂度 ：
  • 方法一、三、四和五：(O(n^2))，需要存储整个三角形。
  • 方法二：同样是 (O(n^2))，但因为使用了列表推导，可能有额外的内存开销。

不同算法的优劣势对比

• 逐行构建（方法一）直观易理解，适合大多数初学者。
• 一行代码解（方法二）代码简洁，但可能在理解和调试时较为复杂。
• 动态规划（方法三）标准且易于理解，展示了动态规划思想的典型应用。
• 使用递归（方法四）代码简洁，但对于大的行数可能导致调用栈溢出。
• 迭代改进版（方法五）提供了介于方法一和方法三之间的解决方案，保持了代码的清晰性和执行的高效性。

应用示例

杨辉三角可以用于计算组合数学中的二项式系数，这在概率论、统计学和算法设计中非常有用。例如，它可以用来计算多项式展开的系数，或者在计算概率时快速找到相关的系数。在图形设计中，杨辉三角也被用于计算贝塞尔曲线等复杂图形的点。